高考一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明教案 理

1、吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2015屆高考一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明教案 理知識梳理：常用的不等式的證明方法:1、比較法比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論；為了判斷作差出的符號，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或者幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。2、綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（均值不等式）和不等式的性質(zhì)，推出所經(jīng)證明的不等式，這個(gè)證明方法叫做綜合法，利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)要注意它們各自成立的條件。 綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：即從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所經(jīng)證明的結(jié)論B。3分析法：證

2、明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫分析法。4、反證法：正難則反先假設(shè)要證明的問題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知的條件、應(yīng)用公理，定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等）矛盾結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種證明方法稱為反證法。5、放縮法：證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種方法叫放縮法。所謂的放縮技巧：即欲證AB，欲

3、尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使得ACB，由“A到C就是“放”，則B到C就上“縮”。二、題型探究探究一：比較法：例1：若水杯中b克糖水中含有a克糖，假如再加入m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來，并加以證明。探究二：分析法和綜合法例2：已知正數(shù)a，b，求證：+探究三：放縮法：例3：求證：1+例4：證明不等式：1+ （n）探究五：反證法：例5：已知a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個(gè)不大于 。四、反思感悟 五、課時(shí)作業(yè)【說明】 本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）1.設(shè)0x1，則a=,b=1

4、+x,c=中最大的一個(gè)是（ ）A.a B.b C.c D.不能確定答案：C解析：因0x1,故 1-x20,即1+x,bc,又1+x-=()2+0,故ab,即最大的是C.2.(2010北京東城區(qū)一模，4)已知a0,b-1,則下列不等式成立的是（ ）A.a B.aC.a D.a答案：C解析：a0,b-1,則0,b-1.則b21.1.又a0,0a.a.故選C.3.設(shè)ab0，則下列關(guān)系式成立的是（ ）A.aabb B.aabbC.aabb= D.aabb與的大小不確定答案：A.解析：aabb=,因ab0,故ab1,a-b0,1.4.設(shè)a,bR+，且ab-a-b1，則有（ ）A.a+b2(+1) B.a

5、+b+1C.a+b+1 D.a+b2(+1)答案：A.解析：由ab1+a+b()21+a+b,將a+b看作一整體即可.5.若0x,設(shè)a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是( )A.ab B.a=b C.ab D.ab答案：D解析：a-b=2-xsinx-cos2x.=sin2x-xsinx+1=(sinx-)2+1-,因?yàn)?x,所以01.所以a-b0.6.設(shè)a,b,c為ABC的3條邊，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則( )A.S2P B.PS2P C.SP D.PS2P答案：D.解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-

6、c)2+(a-c)20,SP.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)b2+c2+a2=S,2PS.7.若a,xyR+,且+a恒成立，則a的最小值是( )A.2 B. C.2 D.1答案：B.解析：因()2=1+1+=2,故的最大值為.即amin=.二、填空題（每小題5分，共15分）8.在ABC中，三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，若2b=a+c，則角B的范圍是_.答案：0B.解析：cosB=.0B.9.已知ab+bc+ca=1，則當(dāng)_時(shí)，|a+b+c|取最小值_.答案：a=b=c= ，解析：|a+b+c|2=a

7、2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比越大，采光條件越好，則同時(shí)增加相等的窗戶面積與地板面積，采光條件變_（填“好”或“壞”）.答案：好解析：設(shè)窗戶面積為a，地板面積為b，則ab,且10%,設(shè)增加面積為m，易知.三、解答題（1113題每小題10分，14題13分，共43分）11.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,當(dāng)p、q滿足p+q=1時(shí)，試證明pf(x)+qf(y)f(px+qy)對任意實(shí)數(shù)x、y都成立的充要條件是：0p1.證明：pf(x)+qf(y)-f(px+q

8、y)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2.(x-y)20,欲使pq(x-y)20對任意x、y都成立，只需pq0p(1-p)0p(p-1)00p1.故0p1是pf(x)+qf(y)f(px+qy)成立的充要條件.12.若a、bR+且a+b=1,求證：2.證明：2a+b+1+241ab+1ab.ab()2=成立,原不等式成立.13.已知a、b、x、yR+且,xy.求證:.證法一：（作差比較法）,又且，a、bR+,ba0.又xy0,bxay.0，即.證法二：（分析法）x、y、a、bR+,要證,只需證明x(y+b)y(x+a),即證xbya,而同0,ba0.又xy0,知xbya顯然成立，故原不等式成立.14.給出不等式(xR).經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)c=1,2,3時(shí)，對于x取一切實(shí)數(shù)，不等式都成立