高二數(shù)學(xué)PPT之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課件：2.1比較法.ppt

1、第二講證明不等式的基本方法 比較法,高二數(shù)學(xué)PPT之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課件：2.1比較法,【自主預(yù)習(xí)】 比較法的定義 比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種.,(1)作差比較法:要證明ab,只要證明_;要證明 a0,b0,要證明ab,只要證明 1;要證明ba,只要證明_.這種證明不等式的方 法,叫做作商比較法.,a-b0,a-b0,【即時(shí)小測(cè)】 1.已知a+b0,bb-b-aB.a-b-ab C.a-bb-aD.ab-a-b 【解析】選C.由a+b0,b-b0,于是a-bb-a.,2.設(shè)a,bR且a+|b|0B.a2+b20 C.a2-b20D.a+b0 【解析】選D.由a+|

2、b|0,知a-|b|0, 所以a+bb-|b|0,即a+b0.故選D.,3.若aR且a1,則a2+1與2a的大小關(guān)系是_. 【解析】因?yàn)閍R且a1,所以a2+1-2a=(a-1)20, 即a2+12a. 答案:a2+12a,【知識(shí)探究】 探究點(diǎn)比較法證明不等式 1.作差比較法的主要適用類型是什么?實(shí)質(zhì)是什么? 提示:作差比較法適用于具有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明.實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系.,2.作商比較法主要適用類型是什么? 提示:作商比較法主要用于積(商)、冪(根式)、指數(shù)形式的不等式證明.其證明的一般步驟:作商變形(化簡(jiǎn))判斷商值與1的大小關(guān)

3、系結(jié)論.,【歸納總結(jié)】 1.作差法的依據(jù) 若a,bR,則a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab. 2.作差法的步驟 作差變形判斷符號(hào)(與0比較大小)結(jié)論.,3.作商法的依據(jù) 若a0,b0,則 1ab; =1a=b; 1ab. 4.作商比較法適用證明的不等式的特點(diǎn) 適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等 式或某些不同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較.,類型一作差比較法 【典例】已知a,bR,求證:a2+b2+1ab+a+b. 【解題探究】典例中作差后,如何與0比較大小? 提示:化為幾個(gè)完全平方式的和,然后與0比較大小.,【證明】因?yàn)閍2+b2-ab-a-b+1= (a-b)2+(a-1)2+ (

4、b-1)20,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào),所以 a2+b2+1ab+a+b.,【方法技巧】作差比較法證明不等式的技巧 (1)作差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少.,(2)變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法. (3)因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷差式的符號(hào),常將差式變形為一個(gè)常數(shù),或幾個(gè)因式積的形式,當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí),常用判別式法判斷符號(hào).,【變式訓(xùn)練】1.(2015浙江高考)有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同.

5、已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且xyz,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用(單位:元)是(),A.ax+by+czB.az+by+cx C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz,【解析】選B.由x0,故ax+by+czaz+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x) +c(x-z)=(x-z)(c-b)0,故ay+bz+cxay+bx+cz; az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y) +b(y-z)=(a-b)(z-y)0,故az+by+cxay+bz+cx,所以最低費(fèi)用為a

6、z+by+cx.,2.已知abc,證明:a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2. 【證明】因?yàn)閍2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2) +(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). 因?yàn)閍bc,所以a-c0,a-b0,b-c0,所以(a-c)(a-b)(b-c)0,即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.,類型二作商比較法 【典例】設(shè)a0,b0,求證:aabb 【解題探究】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a,b滿足什么條 件時(shí)ab1? 提示:若01;

7、若a1,則b0時(shí),ab1.,【證明】因?yàn)閍abb0, 0, 所以 所以當(dāng)a=b時(shí),顯然有 =1; 當(dāng)ab0時(shí), 當(dāng)ba0時(shí),由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,有 綜上可知,對(duì)任意a0,b0,都有aabb,【延伸探究】 1.典例中的條件不變,試證明:abba 【證明】因?yàn)閍bba0, 0, 所以 所以當(dāng)a=b時(shí),顯然有 =1;,當(dāng)ab0時(shí), 當(dāng)ba0時(shí), 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,有 綜上可知,對(duì)任意a0,b0,都有abba,2.將典例中的條件改為“abc0”,求證: a2ab2bc2cab+cbc+aca+b. 【證明】由abc0,得ab+cbc+aca+b0,a2ab2bc2c0. 所證不等式左邊除以右邊,得

8、=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=,因?yàn)閍b0,所以 1,a-b0,所以 1. 同理 1, 1. 所以 1,所以a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.,【方法技巧】作商比較法證明不等式的一般步驟 (1)作商:將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商. (2)變形:化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式. (3)判斷:判斷商與1的大小關(guān)系,也就是判斷商大于1或小于1或等于1. (4)得出結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】已知a2,求證:loga(a-1)2,則a-11,所以loga(a-1)0, log(a+1)a0, 由于 =loga(a-1)loga(a+1),因?yàn)閍2,所以00,所以loga(a-1)log(a+1)a.,自我糾錯(cuò)利用比較法證明不等式 【典例】設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足等式b+c=6-4a+3a2; c-b=4-4a+a2;試比較a,b,c的