高宏032013年9月24日1 41 5純白_W

1、2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有1高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教師：張延北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院碩博課程2013年9月24日 作業(yè)： Romer ,David( 1996 ) , AdvancedMacroeconomics NewYork:McGraw-Hill. （ 中譯本： 戴維 羅默 著 高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 商務(wù)印書館 1999年版） 第47頁：1.1、1.3、1.4、1.5、1.9、1.1011 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 作業(yè)： Romer ,David( 1996 ) , AdvancedMacroeconomics NewYork:McGraw-Hi

2、ll. （ 中譯本： 戴維 羅默 著 高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 商務(wù)印書館 1999年版） 第47頁：1.2、1.6 1.8、1.11、1.12 10月8日交第一次作業(yè)。 二、對產(chǎn)量y的影響： 我們常常不僅關(guān)心一個(gè)模型的定性含義，還關(guān)心其定量預(yù)測。例如，如果儲蓄率的一個(gè)不大的增加對增長的影響在幾個(gè)世紀(jì)之后仍然較大， 那么如果得出結(jié)論說，該影響是暫時(shí)的，就沒有太大意義。 對于大多數(shù)模型來說(包括本模型)，要得到嚴(yán)格的定量結(jié)果，就得對函數(shù)形式和各參數(shù)值予以設(shè)定；通常也得用數(shù)字例子進(jìn)行分析。yk(t)sycc s 變化的直接影響 1、儲蓄率對產(chǎn)量長期影響的定性分析 y*s=f(k*)( k*s )(1.16)

3、 其中y* 為處于平衡增長路徑上的每單位有效勞動(dòng)的平均產(chǎn)量水平。 k* 是由k= 0 定義的 k*滿足： s f(k*) = ( n + g +)k*(1.17) k* 是( s、n、g、)的隱函數(shù)，方程(1.17)對于( s、n、g、)都成立。 方程(1.17)兩端對s 的導(dǎo)數(shù)相等： f(k*) + s f(k*)( k*s ) = ( n + g +)( k*s ) k*f(k*) =(1.19) s( n + g + ) sf(k*) 在前邊方程(1.15)中，我們就看到s 的上升提高k*。這也是方程(1.19)的一個(gè)推論，注意( n+ g + )是持平投資線的斜率，而s f(k*)是實(shí)

4、際投資線在 k* 處的斜率。 開始的時(shí)候，曲線 s f(k)先比直線(n+g+)k 陡峭，然后隨著k的上升，曲線 s f(k) 逐漸變得 比直線 (n+g+)k 平坦 這兩條線最終肯定會 相交 必定存在一個(gè)交點(diǎn)。 在k = k* 處，由于持平投資線(n+g+)k 比實(shí)際投資線s f(k)陡峭 (見圖1.2)，可知(119)的分母為正： ( n + g + ) s f(k*) 因而 k* s 0 s與k* 同方向變動(dòng)。 把(1.19)代入(1.16)，得到 ： y* s=f(k*)( k* s ) f(k*)=f(k*) (n+g+) sf(k*) 因而 y* s 0 s 與y* 同方向變動(dòng)。

5、結(jié)論： s 的一次性上升 導(dǎo)致 y*上升 。yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0st0t1t新 s舊 02013-9-24 高宏（3） t高宏講義，張延著。版權(quán)所有12 2、儲蓄率對產(chǎn)量長期影響的定量分析 我們常常不僅關(guān)心一個(gè)模型的定性含義， 還關(guān)心其定量預(yù)測。 兩邊同乘以 sy* ，得到： y*ssf(k*)f(k*) = sy*y*(n+g+) sf(k*)152013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 y*ssf(k*)f(k*) = sy*y*(n+g+) sf(k*) sf(k*)= ( n + g + ) sf(k*) f(k*)= ( n + g + )s

6、 f(k*) sf(k*) = ( n + g + ) k* 把( n + g + ) s=f(k*) k* 代入上式，得到： y*sf(k*) = sy*f(k*) k*f(k*) f(k*) k* f(k*)= 1 f(k*) k* f(k*) f(k*) k* f(k*) 為 k = k*處的單位產(chǎn)出的資本彈性。 f(k*) 資本的邊際產(chǎn)量 f(k*) k* 資本獲得的收入 f(k*) k* f(k*) 資本在單位產(chǎn)出中所占的份額(%) 令 aK (k*) =f(k*) k* f(k*) y*saK(k*) = sy*1aK (k*)302013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版

7、權(quán)所有 y*sy* y* =lims 0 sy*s s y*s=lims 0 sy* 單位產(chǎn)出變動(dòng)的百分比 = 儲蓄率變動(dòng)的百分比 在大多數(shù)國家，aK (k*) =13 。 可知在長期，產(chǎn)出的儲蓄率彈性為： (y*s)(sy*) =(13 )(1-13 ) =12 儲蓄率增加10%，與儲蓄率不變時(shí)相比，將使每工人平均產(chǎn)量在長期內(nèi)提高大約5%。即使儲蓄率增加50%，也僅使 y* 增加大約22%。這樣， 儲蓄率的顯著變化對于平衡增長路徑上的產(chǎn)量水平只有較小影響。 單位產(chǎn)出的資本彈性 aK (k*)較小的含義： (1)aK (k*) 較小的幾何意義 aK (k*) =f(k*) k* f(k*) 其

8、中的f(k*) 較小 表明實(shí)際投資曲線 s f(k)彎曲得相當(dāng)厲害（變得更加平坦） f(k*) k* f(k*) k* 較小。f(k)0實(shí)際投資曲線 s f(k)彎曲得相當(dāng)厲害k（變得更加平坦） (2) aK (k*) 較小的經(jīng)濟(jì)含義 資本的邊際產(chǎn)量 f (k*) 較小 資本的收入較小 f(k*) k* 資本占單位產(chǎn)出的份額 f(k*) k* f(k*)較小 aK (k*)=f(k*) k* f(k*)單位產(chǎn)出變動(dòng)的百分比 =資本變動(dòng)的百分比 較小的aK(k*)值意味著k* 的變化對y* 的影響較小。 例如，(n + g + )一般為每年6(比如， 若人口增長率為12，每工人平均產(chǎn)量增長12，

9、折舊率為34)。若資本的收 入份額大致為13 。 若 n + g + = 6 ，aK( k*) = 13 則 = 1- aK (k*)(n + g + ) = 4 。 因此，y 每年向 y* 移動(dòng)剩余距離的4，要走完到其平衡增長路徑值的距離的一半約需18年時(shí)間。 因此在我們的例子中，如果儲蓄率增加10，那么在1年后產(chǎn)量高于其以前路徑0.04(5)= 0.2；18年后高出0.5(5) = 2.5%，且此比例漸趨近5。這樣，不僅儲蓄率變化較大時(shí)的總體影響較小，而且其作用的出現(xiàn)也不很快 3、人均產(chǎn)量 y =YL 隨s的變化 每工人平均產(chǎn)量YL 的變動(dòng)是我們特別感興趣的東西。 y=YL=Af(k)。

10、s k YL y*s=A f(k*)( k*s ) 因而 y*s 0s 與y* 同方向變動(dòng)。 結(jié)論： s 的一次性上升 導(dǎo)致 y*上升 。 y=Af(k) y y=AA+f (k)f(k)=g+f (k)f(k)=g+f(k)kf(k)yk(t)sycc s 變化的間接影響 (1)在t0之前的k*舊上存在： k = dkdt= 0 y y=AA= g yy 為一條固定水平g 的、不隨t 變動(dòng)的平行于橫軸的直線。 (2)在t1 之后的k*新 上存在： k= dkdt = 0 y y= AA=g yy 為一條固定水平g 的、不隨t 變動(dòng)的平行于橫軸的直線。 經(jīng)濟(jì)含義： 如果k達(dá)到均衡的k 值，就只

11、有A 的增長對YL的增長有貢獻(xiàn)，則YL的增長率就是A 的增長率g 。yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0k* t0t1t新k* 舊02013-9-24 高宏（3） t高宏講義，張延著。版權(quán)所有30 (3)在 t0 和 t1之間，由于k 0，所以 y y g，若k 遞增，則YL同時(shí)由于A 和 k 的增長而增長。這時(shí)其增長率超過 g 。這些結(jié)果總結(jié)于p24圖1.5圖 (c)。t0表示儲蓄率增加的時(shí)間。 按假定，s在t0時(shí)跳升并從此保持不變。每工人平均產(chǎn)量的增長率開始時(shí)為g，在t0 時(shí)向上跳升，有一個(gè)快速上升的突變。隨后逐漸回到其初始水平。 32 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張

12、延著。版權(quán)所有 yy=g+f(k)k f(k) 在t0 和t1之間，由于 k 0 y y g 所以 按假定，s 在 t0時(shí)跳升并從此保持不變。每工人平均產(chǎn)量的增長率開始時(shí)為g ， 在 t0時(shí)向上跳升，有一個(gè)快速上升的突變。yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)gt00t1tk* 新k* 舊02013-9-24 高宏（3） t高宏講義，張延著。版權(quán)所有33 (4)yy 對時(shí)間 t 的一階導(dǎo)。37 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 d( yy )dt f(k)d f(k) k dt - f(k) k df(k)dt=f(k)2 f(k) f(k) kk+ f(k) dk

13、/dt - f(k) k f(k) k= f(k)2 f(k) f(k)( k)2 + f(k) dkdt f(k) k 2=f(k)2 在 t0 至 t1 之間，dkdt 0 ， 并且 f(k) 0 d( y y )dt 0 隨著 t，y y單調(diào)， y y 為一條單調(diào)下降的直線。 這些結(jié)果總結(jié)于p24圖1.5 圖(c)。t0表示儲蓄率增加的時(shí)間。按假定，s在t0時(shí)跳升并從此保持不變。k從k*的原值逐漸上升至新值。每工人平均產(chǎn)量的增長率開始時(shí)為g，在t0時(shí)向上跳升，隨后逐漸回到其初始水平。yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0st0t1t新 s舊 02013-9-24 高宏（3） t高

14、宏講義，張延著。版權(quán)所有38 結(jié)論： 儲蓄率的一個(gè)永久性增加產(chǎn)生了每工人平均產(chǎn)量增長率的暫時(shí)性增加。因?yàn)閗在一定時(shí)期內(nèi)上升，但最終將增加到一定水平，在這一水平上增加的儲蓄被全部用于維持k的較高水平。45 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 4、ln YL的變化 (人均產(chǎn)量的對數(shù)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義) P24圖15圖(d)之所以給出了每工人平均產(chǎn)量的對數(shù)值而非每工人平均產(chǎn)量水平， 是因?yàn)楫?dāng)一個(gè)變量以一不變速率增長時(shí)，該變量的對數(shù)作為時(shí)間的函數(shù)在圖形上反映為一條直線。 定式：一變量的增長率 = 該變量的對數(shù)， 對時(shí)間 t 的一階導(dǎo)數(shù)。 d ln(X) d t=( 1X )(d

15、Xd t)=XX，即： dln y d t=d ln( YL)d t=yy dln 2 yd t 2=dln 2( YL)d t 2=d( yy)dt y y=g+f(k)k f(k) yy是 ln y對t 的一階導(dǎo)數(shù)。 一階導(dǎo)數(shù) y y 始終 0 ln (YL)始終隨t 的上升而單調(diào)上升， 只不過上升速率的變化分成三個(gè)階段： (1) 在 t0 之前，yy=g ln (YL)是一條斜率為固定水平 g 的單調(diào)上升的直線。 (2) 在 t1之后，yy=g ln (YL) 是一條斜率為固定水平 g 的單調(diào)上升的直線。 t1之后的 ln (YL)與t0之前的 ln (YL)是否是同一條直線，取決于to

16、 和t1 之間ln (Y L)上升的形式：線性、遞增的速率還是遞減的速率。 (3)在t0 至t1 之間，y y 單調(diào)下降 d(yy )dt 0 d ln2(YL)dt2 0 ln (YL)是一條以遞減的斜率上升的曲線( ln (YL) 凹向原點(diǎn))。 yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(d)g0ttt ln y0102013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有46t 結(jié) 論： 儲蓄率的變化有水平效應(yīng)，但沒有增長效應(yīng)：它改變經(jīng)濟(jì)的平衡增長路徑，因而改變?nèi)我粫r(shí)點(diǎn)上每工人的平均產(chǎn)量水平，但并不影響處于平衡增長路徑時(shí)每工人平均產(chǎn)量的增長率。的確，在索洛模型中只有技術(shù)進(jìn)步率的變化有增長效應(yīng)；

17、所有其他變化都只有水平效應(yīng)。2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有47yyP24圖1.5水平效應(yīng)和增長效應(yīng)(d)g0ttt ln y0102013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有48t 三、對c 的影響 1、c函數(shù) 若將家庭引入模型，其福利將取決于消費(fèi)，而非產(chǎn)量：投資只是未來生產(chǎn)中的一種投入品。因此，在許多情況下，我們很可能更關(guān)心消費(fèi)的變動(dòng)而非產(chǎn)量的變動(dòng)552013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 yk(t)sycc s 變化的直接影響 當(dāng) Y = Yd的條件下， Y = C + S Y AL =CAL+SAL y=c+ ( sY )AL y=

18、c+sy c= (1 s) y=(1 s) f(k)=f(k) s f(k) 幾何意義：對于任何一個(gè)k ，f(k)與 s f(k) 之間的垂直距離即為c 。 f(k)f(k)s f(k)0kc的幾何圖形k s舊 s新1- s舊 1- s新 c新 c舊 在t0之前，c為一條較高水平的直線。在t0之后，c為一條陡降（突變）的曲線。 c=f(k*) sf(k*)舊新舊 然后，隨著k 的上升，在s 的更高值不變的情況下，消費(fèi)將逐漸上升。如P24圖1.5中最后一圖(e)所示。 每單位有效勞動(dòng)的平均消費(fèi)等于每單位有效勞動(dòng)的平均產(chǎn)量乘以該產(chǎn)量中用于消費(fèi)的比例(1-s)。因此，由于s 在t0 時(shí)發(fā)生非連續(xù)性變

19、化，而k 卻不是這樣，所以每單位有效勞動(dòng)的平均消費(fèi)開始時(shí)猛烈下降c*0t0t1ts新 s舊 02013-9-24 高宏（3）P24圖1高.宏5講儲義，蓄張延率著。增版權(quán)加所有的影響圖(e)56t 2、可以使c 達(dá)到最大化的黃金律的資本存量水平k* 。 當(dāng) k= dk dt = 0 時(shí) ， 存在一個(gè)k* ，滿足： s f(k*) = ( n + g + )k*2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有57 令c*表示處于平衡增長路徑上的每單位有效勞動(dòng)的平均消費(fèi)。c*等于每單位有效勞動(dòng)的平均產(chǎn)量f(k*)減去每單位有效勞動(dòng)的平均投資s f(k*)。在平衡增長路徑上，實(shí)際投資等于持平投

20、資(n+g+)k*2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有58 這樣，c*=f(k*) -s f(k*)=f(k*) -( n+g+)k* 實(shí)現(xiàn) c* 最大化的一階條件是： dc*dk* =f(k*) - ( n+g+) =02013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有59 即： f(k*) =( n + g +) f(k*) 資本的邊際產(chǎn)量，f(k*)在 k* 點(diǎn)切線的斜率 。 ( n + g +) 直線( n + g +)k* 的斜率。 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有60 在 k = k*上，如果滿足： f (k*)=( n + g +

21、) 則這個(gè)使 c*達(dá)到最大化的 k*水平， 稱為黃金律 ( golden rule ) 的資本存量水平kGR 。2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有61 在 k = k* 時(shí)， c*=f(k*) -s f(k*) 達(dá)到最大化。 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有62f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)0kGRk 使c 達(dá)到最大化的黃金律的資本存量水平k*2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有63kGRk* dc*dk* =f (k*) - ( n+g+) = 02013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有64 3、s

22、 變動(dòng)對c* 的影響（定性分析） 消費(fèi)最終是否會超過s上升前的原來水平并非一目了然的。 在平衡增長路徑上，c* 是k* 的函數(shù) 。 c*=f(k*) - ( n + g + )k*(1.14) 而k* 是s 的函數(shù)，k* 的位置取決于s 和該模型中的其他參數(shù)n、g和。 k* =k* ( s、n、g、)2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有65 因此c* 是s 的隱函數(shù) 。我們運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法，可寫出： c*df(k*)k*k* = ( n+g+) sdk*ss= f k*( s、n、g、) - ( n + g + ) k*( s、n、g、)s 2013-9-24 高宏（3）高

23、宏講義，張延著。版權(quán)所有66 c*s= f(k*) - ( n+g+)( k* s)(1.15) 我們知道s 的增加提高 k*， 即： k*s 0 對這一結(jié)論的證明見前面。 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有67 因此，s 的增加是否在長期提高消費(fèi)， 取決于資本的邊際產(chǎn)品 f(k*)是大于還 是小于n+g+。 c*s和 c*k* 的符號取決于 f(k*) - ( n + g + ) 的符號 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有68 (1)當(dāng) f(k*) - ( n + g + ) 0時(shí)， c*s 0 ，s 的上升導(dǎo)致c*下降。 P27 圖1.6(a)

24、所示 。 c*k* 0 ，k* 的上升導(dǎo)致c*下降 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有69f(k)(n+g+)kf(k) s新 f(k) s舊 f(k)0k*舊k*新k P27 圖1.6(a) s 和k* 的上升導(dǎo)致c*下降2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有70 經(jīng)濟(jì)含義： 直觀地看，如果k上升，要使k的這種 上升得以維持，(每單位有效勞動(dòng)的平均)投資必須上升n+g+乘以k的變化量。如果f (k*) 小于n+g+，那么從增加的資本上獲得的增加的產(chǎn)量不足以將資本存量維持在其較高水平上。此時(shí)，消費(fèi)必須下降以維持較高的資本存量。2013-9-24 高宏（3

25、）高宏講義，張延著。版權(quán)所有71 (2) 當(dāng) f(k*) - ( n + g + ) 0時(shí)， c*s 0 ，s 的上升導(dǎo)致c*上升。 c*k* 0 ，k* 的上升導(dǎo)致c*上升。2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有72f(k)f(k)(n+g+)ks新 f(k)s舊 f(k)0k*舊k*新k P27 圖1.6(b) s 和k* 的上升導(dǎo)致c*上升2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有73 另一方面，如果f(k*)大于n+g+，增加的產(chǎn)量大于將k維持在較高水平上所需的產(chǎn)量增加，因而消費(fèi)上升。如P27圖1.6(b)所示。該圖不僅給出了 (n+g+)k 和sf(k

26、)，還給出了f(k)。在平衡增長路徑上、 c為f(k) 和(n+g+)k之間的距離。在上圖中，f(k* )小于n+g+，因此，即使當(dāng)經(jīng)濟(jì)已達(dá)到新的平衡增長路徑時(shí)，儲蓄率的增加也降低消費(fèi)。在中圖中，相反的情況出現(xiàn)，儲蓄率的增加在長期內(nèi)提高消費(fèi)。2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有74 (3)當(dāng) f(k*) - ( n + g + ) = 0 時(shí)， c* s= 0 ，s 的上升導(dǎo)致c* 達(dá)到最大值。 c* k*= 0 ，k* 的上升導(dǎo)致c* 達(dá)到最大值。2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有75 最后，在P27圖1.6(c)中，f(k*)恰好等于n+g+，也就

27、是說，在k = k*處 ，f(k) 的切線和(n+g+)k平行。此時(shí)，s 的一個(gè)邊際變化在長期內(nèi)對消費(fèi)沒有影響，且消費(fèi)在所有可能的平衡增長路徑中達(dá)到其可能取的最大水平。這一k* 值就是所謂的黃金律資本存量水平 kGR 。 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有76高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有77f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)0kGRk P220713圖-9-241.6(c)使c 達(dá)到最大化的黃金律的資本存量水 平k* yk(t)sycc s 變化的間接影響80 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 4、c* 隨t 的變化 c*=(1 s

28、) y*=(1 s) f(k*) dc*dt=(1-s) f(k)k (1)在 t0之前的k*上存在：舊 k=dkdt= 0 dc*dt=(1-s) f(k)k=0 c* 為一條固定水平的、不隨t 變動(dòng)的直線。新 (2)、在 t1之后的k*上存在： k= dkdt = 0 dc*dt =(1-s) f(k)k = 0 c* 為一條固定水平的、不隨 t變動(dòng)的直線。c*t00t1ts新 s舊 02013-9-24 高宏（3）P24圖1高.宏5講儲義，蓄張延率著。增版權(quán)加所有的影響圖(e)81t (3) 在 t0 和t1 之間，由于 k 0 所以 dc*dt =(1-s) f(k)k 0 隨著 t，

29、c* 單調(diào) c* 與 t同方向變動(dòng)。 83 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 d 2c*dt2=(1-s) kf (k)k+ (1-s) f(k)dkdt=(1-s)(k)2 f (k)+ (1-s) f (k)dkdt f (k) 0 ，且 dkdt 0 d 2c*dt 2 0 隨著t，c* 以遞減的速率單調(diào) c* 凹向原點(diǎn)。 c*t00t1ts新 s舊 02013-9-24 高宏（3）P24圖1高.宏5講儲義，蓄張延率著。增版權(quán)加所有的影響圖(e)84t 消費(fèi)最終是否會超過s上升前的原來水平并非一目了然的。取決于 f(k*) - ( n+g+) 的符號，存在三種可能

30、性。992013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 在索洛模型中，儲蓄是外生的，平衡增長路徑中的資本存量等于黃金律水平的理由，并不多于平衡增長路徑中的資本存量等于任意其他可能值的理由。kGRk* dc*dk* =f (k*) - ( n+g+) = 0 c= (1 s) y=(1 s) f(k)=f(k) s f(k) 由于消費(fèi)c是每單位有效勞動(dòng)的平均資本量k的函數(shù)，而k* 并不必然等于 kGR 在索洛模型中，儲蓄率的上升對消費(fèi)的影響，進(jìn)而對消費(fèi)者福利的影響是不確定的，可能存在三種情況。 經(jīng)濟(jì)增長并不必然導(dǎo)致消費(fèi)者福利狀況的改進(jìn)。 1.5索洛模型與增長理論的中心問題 經(jīng)濟(jì)增長的源

31、泉 一、增長因素分析的基本框架 索洛剩余 在索洛模型中，每工人平均產(chǎn)量的長期增長僅僅取決于技術(shù)進(jìn)步。但短期增長則可能或取決于技術(shù)進(jìn)步，或取決于資本積累。因此，索洛模型表明，確定短期增長的來源是一經(jīng)驗(yàn)問題。 由阿布拉莫維茨(1956年)和索洛(1957年)首開先 河的增長因素分析，為解決這一問題提供了一條途徑。 Abramowitz, Moses (1956) “Resource and Output Trends in the United States since 1870”, American Economic Review, 46, pp.5.-23. Solow, Robert M.

32、(1957), “Technical Change and the Aggregate Production Function.” R. of E. S. 39: 312-320 為了解增長因素分析，再次考慮生產(chǎn)函數(shù) Y(t) =F K(t)，A(t)L(t) 采用鏈?zhǔn)椒?。由于Y是K、L和A的一個(gè)函數(shù)，其中每一個(gè)又是t的函數(shù)，那么存在： Y=( YK)K+ (YL)L+ (YA)A(1.28)則：Y=(YK)K+ (YAL)A L+ (YAL)L AY=(YK)K+ (YL)L+(YA)A 兩邊同除以Y，得到： Y Y =(YK)(KY)(KK)+(YL)(LY)(LL)+(YA)(AY)(A

33、A)=aK(t)(KK ) + aL(t)(LL)+R(t)(1.29) 這里 aK(t) =(YK)(KY) 單位產(chǎn)出的資本彈性 aL(t)=(YL)(LY) 單位產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性 R(t) =( YA)(AY)(A A) 根據(jù)歐拉定理： Y = ( YK)K+ (YL)L ( 分配耗盡定理 ) 兩邊同除以Y，得到： 1 =( YK)(KY) + (YL)(LY) 1 =aK(t) +aL(t) aL(t)=1 -aK(t) Y Y=aK(t)( KK ) + aL(t)( LL) + R(t)=aK(t)(KK) + 1 - aK(t)(LL)+ R(t) YY-LL=aK(t)( KK -

34、LL ) +R(t) 一個(gè)變量的增長率指的是其變動(dòng)率XX 易于證實(shí)： 兩變量之積的增長率等于其增長率之和： ( X1 X2 )( X1 X2 ) =X1X1 +X2X2 兩變量之比的增長率等于其增長率之差： ( X1X2 )(X1X2 )=X1 X1-X2 X2 設(shè)：y =YL ，k =KL yy=aK(t)(kk ) + R(t) (1.30) 因此，(1.30)把每工人平均產(chǎn)量的增長分解為 每工人平均資本增長的貢獻(xiàn)和一個(gè)余項(xiàng)即索洛剩余。 再次驗(yàn)證P24頁圖cyyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)gt00t1tk* 新k* 舊02013-9-24 高宏（3） t高宏講義，張延著。版權(quán)所有

35、99 （1） 若k不變，則 y 以速率 g 增長。 在t0 之前，k= dkdt = 0， Y Y= ( n + g ) yy=YY-LL=( n + g ) - n = g102 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 (2)如果k達(dá)到新的k* 值，又只有A的增長對YL的增長有貢獻(xiàn)，則y 的增長率又是g了。 在t1之后，k= dkdt = 0 Y Y= ( n + g ) y y=Y Y-L L= ( n + g ) - n= g (3) 若k遞增，則 y 同時(shí)由于A和k的增長而增長。這時(shí)其增長率超過 g 在t0至t1之間，k = dkdt 0 y y=a K(t)(k k

36、) +R(t) g 索洛模型確定了每工人平均產(chǎn)量發(fā)生變動(dòng)的兩個(gè)可能來源 每工人平均資本(KL)的變動(dòng)和勞動(dòng)的有效性(A)的變動(dòng)。無論是每工人平均產(chǎn)量隨時(shí)間變動(dòng)還是隨地域變動(dòng)，上述兩個(gè)變動(dòng)之源都應(yīng)該是適用的。107 2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 二、資本積累對經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn) 假定資本積累影響產(chǎn)量的渠道是傳統(tǒng)渠道：資本對生產(chǎn)有直接的貢獻(xiàn)，它由此得到的報(bào)酬是其邊際產(chǎn)品。是否可以通過高投入，導(dǎo)致高產(chǎn)出。 在以資本的差異為基礎(chǔ)解釋收入的較大差別時(shí)，會遇到兩個(gè)問題。 1、首先，所需要的資本差別實(shí)在太大 比如，考慮每工人平均產(chǎn)量相差10倍的情形。例如美國現(xiàn)在的每工人平均產(chǎn)量是 1

37、00年前的10倍，也是現(xiàn)在的 的10倍。假定生產(chǎn)函數(shù)為柯 格拉斯函數(shù)(Cobb- Douglas)(見方程(1.5)，且其密集形式為： y=f(k) =k a 易測得：aK單位產(chǎn)出的資本存量彈性、或者資本在收入中的份額。 aK(k)=f(k) k f(k)=a ka-1 k ka = a k1美國現(xiàn)在的每工人平均資本 y1 美國現(xiàn)在的平均產(chǎn)量 k2 美國100年前每工人平均資本 y2 美國100年前的平均產(chǎn)量（可用于縱向比較） k3現(xiàn)在的每工人平均資本 y3現(xiàn)在的平均產(chǎn)量（可用于橫向比較）國別 時(shí)期 期初人均GDP（美元） 期末人均GDP（美元） 年均增長率（%） 日本 1890-1990 8

38、42 16144 3.00 巴西 1900-1987 436 3417 2.39 國 1870-1990 1330 17070 2.15 美國 1870-1990 1223 14288 2.07 中國 1900-1987 401 1478 1.17 墨西哥 1900-1987 649 2667 1.64 英國 1870-1990 2693 13589 1.36 阿根廷 1900-1987 1284 3302 1.09 西 亞 1900-1987 499 1200 1.01 巴基斯坦 1900-1987 413 885 0.88 1900-1987 378 662 0.65 孟加拉國 1900-

39、1987 349 375 0.08 長期經(jīng)濟(jì)增長國際比較2013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有108 y1 = k1 a ，y2= k2a ，y3= k3a 若 y1 y2= 10 =( k1 k2 ) a k1 k2=10 1/a=10 1/aK 若 aK = 13 ，則 10 1/aK= 1000 若 aK = 12 ，則 10 1/aK= 100 ( 遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)際情況。)1192013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 這樣，若以資本差異為基礎(chǔ)解釋每工人平均產(chǎn)量的10倍的差別，則要求每工人平均資本間存在10 1aK 倍的差別。如果 aK= 1/3，這個(gè)倍數(shù)

40、就是1000。即使 aK = 1/2， 所需倍數(shù)也為100；而 aK = 1/2遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于資本收入份額數(shù)據(jù)所反映的情況。 沒有證據(jù)表明資本存量有如此大的差別。1.3節(jié)提到的關(guān)于增長的特征事實(shí)之一是， 資本 產(chǎn)量比隨時(shí)間大體保持不變。因此，美國的每工人平均資本存量大約也是100年前的10倍，而非100倍或1000倍。 1192013-9-24 高宏（3）高宏講義，張延著。版權(quán)所有 K Y = (KL)(YL) =ky k1 y1= k2 y2=常數(shù) 縱向比較 k1 k2 =y1 y2=常數(shù) y1 y2= 10k1k2=10 與100倍相差甚遠(yuǎn)，更不用說1000倍了。 同樣，盡管資本 產(chǎn)量比在國家間有所不同，但差別不十分大。美國的資本 產(chǎn)量比大約為 的23倍；因此，美國的每工人平均資本大約“僅”為