高中數(shù)學(xué) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象提高知識(shí)講解 新人教A版必修

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的三種方法；2.掌握三角函數(shù)圖象的作用，會(huì)用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法 1描點(diǎn)法：按照列表、描點(diǎn)、連線三步法作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的方法2幾何法利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在內(nèi)的圖象，再通過(guò)平移得到和的圖象3五點(diǎn)法先描出正弦曲線和余弦曲線的波峰、波谷和三個(gè)平衡位置這五個(gè)點(diǎn)，再利用光滑曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象在確定正弦函數(shù)在上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是要點(diǎn)詮釋：（1）熟記正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)（

2、2）若，可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的圖象，然后通過(guò)左、右平移可得到和的圖象（3）由誘導(dǎo)公式，故的圖象也可以將的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到要點(diǎn)二：正弦曲線、余弦曲線（1）定義：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線（2）圖象要點(diǎn)詮釋：（1）由正弦曲線和余弦曲線可以研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如，方程根的個(gè)數(shù)要點(diǎn)三：函數(shù)圖象的變換圖象變換就是以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)通過(guò)對(duì)稱、平移而得到【典型例題】類型一：“五點(diǎn)法”作正、余弦函數(shù)的圖象例1作出下列函數(shù)在2，2上的圖象（1）；（2）【思路點(diǎn)撥】（1）先利用五點(diǎn)

3、法作出函數(shù)在0，2上的圖象，然后作出它關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象即可（2）由于，因此只需作出函數(shù)y=|cos x|，x2，2的圖象即可【解析】 （1）描點(diǎn)、作圖 x011 其圖象如下圖所示 （2）函數(shù)y=|cos x|，x2，2的圖象可采用將函數(shù)y=cos x，x2，2的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方的方法得到，所得圖象如下圖所示 【總結(jié)升華】 作圖是一項(xiàng)很重要的能力，而“五點(diǎn)法”是作三角函數(shù)圖象的一種非常簡(jiǎn)便的方法在利用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定要弄清楚是哪五點(diǎn)，為什么要取這五點(diǎn)等此外第（2）小題中我們使用了對(duì)稱變換，并且我們還可以發(fā)現(xiàn)，加了絕對(duì)值后，其周期變?yōu)樵瓉?lái)的一半了舉一反三：【變式1】用五點(diǎn)

4、法作出下列函數(shù)的圖象（1），；（2），【思路點(diǎn)撥】（1）取上五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)（0，2）、（，1）、（2，2）（2）取上五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)【解析】 （1）找出五點(diǎn)，列表如下：x001010y=2u21232描點(diǎn)作圖（如下圖） （2）找出五點(diǎn)，列表如下：0xy=cos u10101描點(diǎn)作圖（如下圖） 【總結(jié)升華】 在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，即可得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種近似的“五點(diǎn)法”是非常實(shí)用的類型二：利用圖象變換作出函數(shù)的圖象例2（1）作函數(shù)的圖象；（2）作函數(shù)的圖象【思路點(diǎn)撥】（1）要善于利用函數(shù)的圖象來(lái)作及的圖象（2）函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk，kZ，因此

5、作出函數(shù)的圖象后，要把x=k（kZ）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)去掉【解析】 （1）將化為，其圖象如下圖 （2）當(dāng)，即xk（kZ）時(shí)，有，即（xk，kZ）其圖象如下圖 【總結(jié)升華】 函數(shù)的圖象變換除了平移變換外，還有對(duì)稱變換，一般地，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，和圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱舉一反三：【變式1】利用圖象變換作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：【解析】 先作出的圖象，然后利用對(duì)稱作出的圖象，最后向上平移1個(gè)單位即可，如下圖 類型三：利用函數(shù)圖象解簡(jiǎn)單的三角不等式例3根據(jù)正弦曲線求滿足的x的范圍【思路點(diǎn)撥】先在一個(gè)周期內(nèi)求出x的范圍，然后加上周期的整數(shù)倍【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)

6、作出函數(shù)y=sin x與的圖象，如下圖 觀察在一個(gè)周期的閉區(qū)間內(nèi)的情形，滿足的因?yàn)檎液瘮?shù)的周期是2，所以滿足的x的范圍是【總結(jié)升華】（1）一般地，對(duì)于y=sin x，觀察其一個(gè)周期常常是0，2或；對(duì)于y=cos x，觀察其一個(gè)周期常常是0，2或，（2）數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，它能把抽象的問(wèn)題形象化、直觀化，平時(shí)解題時(shí)要注意運(yùn)用（3）正、余弦函數(shù)的圖象有很多重要的應(yīng)用，其中利用正弦函數(shù)的圖象求角的范圍（即解三角不等式）是基本的應(yīng)用之一，要注意結(jié)合函數(shù)的圖象特點(diǎn)和正、余弦函數(shù)的周期性等進(jìn)行求解舉一反三：【變式1】已知，解不等式【解析】畫(huà)出函數(shù)y=sin x，的圖象，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如下圖，兩函

7、數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中，故滿足的x的取值范圍是 類型四：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例4（1）方程的解的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D3（2）若函數(shù)，x0，2的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍（3）當(dāng)k為何值時(shí)，方程sin x+2|sin x|=k有一解、兩解、三解、四解？【答案】 （1）D （2）1k3（3）k=3時(shí)，方程有一解；1k3時(shí)，方程有兩解；k=1或k=0時(shí)，方程有三解；0k1時(shí)，方程有四解【解析】 （1）作出與的圖象，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，與再無(wú)交點(diǎn)如圖所示，由圖知有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)解（2）圖象如圖，由圖象可知1k3（3）由圖象易各k=3時(shí)，方程有一解；1k3時(shí)，方程有兩解；k=1或k=0時(shí)，方程有三解；0k1時(shí)，方程有四解【總結(jié)升華】利用函數(shù)圖象討論不等式的解集和方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，既直觀又簡(jiǎn)捷，這就是我們常說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的應(yīng)用，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)舉一反三：【變式1】畫(huà)出圖象，判斷在0，2內(nèi)使sin xcos x成立的x的取值范圍 【解