高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）學(xué)案 新人教A版必修

1、3.4 基本不等式（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式知識點一算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)思考如圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQa，BQb，過點Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？答案|PO|.易證RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ|.梳理一般地，對于正數(shù)a，b，為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即.其幾何意義如上圖中的|PO|PQ|.知識點二基本不等式及其常見推論思考如何證明不

2、等式(a0，b0)?答案ab2()2()22()20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立梳理(a0，b0)當(dāng)對正數(shù)a，b賦予不同的值時，可得以下推論：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同號)；(3)當(dāng)ab0時，2；(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)類型一常見推論的證明例1證明不等式a2b22ab(a，bR)證明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究證明不等式()2(a，bR)證明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，兩邊同除以4，即得()2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號反思與感悟(1)本例證明的不等式成立的條件是a，bR

3、，與基本不等式不同(2)本例使用的作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為任意的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca.證明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立類型二用基本不等式證明不等式例2已知x、y都是正數(shù)求證：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.證明(1)x，y都是正數(shù)，0，0，22，即2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立(2)x，y都是正數(shù)，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2

4、)(x3y3)8x3y3，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立反思與感悟利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事項：多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用跟蹤訓(xùn)練2已知a、b、c都是正實數(shù)，求證：(ab)(bc)(ca)8abc.證明a，b，c都是正實數(shù)，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)

5、2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立類型三用基本不等式比大小例3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x(a，b，x均大于零)則()Ax BxCx Dx答案B解析第二年的產(chǎn)量為AAaA(1a)，第三年產(chǎn)量為A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增長率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1x)2.依題意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.反思與感悟基本不等式一端為和，一端為積，使用基本不等式比大小要擅于利用這個橋梁化和為積或者化積為和跟蹤訓(xùn)練3

6、設(shè)ab1，P，Q，Rlg ，則P，Q，R的大小關(guān)系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ答案B解析ab1，lg alg b0，即QP.又，lg lg(lg alg b)，即RQ.綜合，有PQR.1已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2 C4 D5答案C解析a0，b0，2224 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立2若0ab BbaCba Dba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.3設(shè)a、b是實數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D8答案B解析ab3，2a2b2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立4設(shè)a0，b0，給出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a2

7、96a.其中恒成立的是_(填序號)答案解析由于a21a20，故恒成立；由于a2，b2.4，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，故恒成立；當(dāng)a3時，a296a，故不恒成立綜上，恒成立的是.1兩個不等式a2b22ab與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號”這句話的含義要有正確的理解一方面：當(dāng)ab時，；另一方面：當(dāng)時，也有ab.2. 在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或把恒等式變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1若a，b，c0且a(abc)bc42，則2abc的最小值

8、是()A.1 B.1C22 D22答案D解析由a(abc)bc42a(ab)(ab)c(ab)(ac)42，而2abc(ab)(ac)222(1)22.當(dāng)且僅當(dāng)abac，即bc時等號成立2若a，bR且ab0，則下列不等式中恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A錯誤；對于B、C，當(dāng)a0，b0，2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立3若x0，y0且xy4，則下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.1答案B解析若x0，y0，由xy4，得1，(xy)(22)1，當(dāng)且僅當(dāng)xy2時，等號成立4設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()

9、A8 B4C1 D.答案B解析由題意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因為a0，b0，所以(ab)222 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立5已知a，b(0，)，則下列不等式中不成立的是()Aab2 B(ab)4C.2 D.答案D解析ab2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，A成立；(ab)224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，B成立；a2b22ab0，2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，C成立；ab2，且a，b(0，)，1，.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，D不成立6設(shè)0a12答案C解析0a1b，logab0，logba0，logba0，(logab)(logba)(logab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立，logablogba2.二、填空題7若a1，則a有最_(填“大”或“小”)值，為_答案大1解析a1，a10，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明(1)2，ab1，a0，b0，2224，8(當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立)(2)方法一a0，b0，ab1