高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.3 排序不等式知識(shí)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修

1、三 排序不等式知識(shí)梳理1.基本概念 設(shè)a1a2a3an,b1b2b30,由不等式的單調(diào)性，知abacbc,.由排序原理，知ab+ac+bcab+ac+bc，即所證不等式成立. 綠色通道：要利用排序原理解答相關(guān)問(wèn)題，必須構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)組，并且要排列出大小順序，因此比較出數(shù)組中的數(shù)間的大小關(guān)系是解答題的關(guān)鍵和基礎(chǔ).【變式訓(xùn)練】 設(shè)a,b都是正數(shù)，求證：()2+()2+.思路分析：觀察不等式找出數(shù)組，并比較大小，用排序原理證明.證明：由題意不妨設(shè)ab0.由不等式的單調(diào)性，知a2b2,.所以.根據(jù)排序原理，知.即()2+()2+.【例2】 設(shè)a1,a2,an是1，2，n的一個(gè)排列，求證：+.思路分析：

2、構(gòu)造出數(shù)組，利用排序原理證明.證明：設(shè)b1,b2, ,bn-1是a1,a2, ,an-1的一個(gè)排列，且b1b2bn-1；c1,c2, ,cn-1是a2,a3, ,an的一個(gè)排列，且c1c20,可知a12a22an2,an-1an-1-1a1-1.由排序原理，得a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a12a1-1+a22a2-1+an2an-1即a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a1+a2+an.問(wèn)題探究問(wèn)題：有十人各拿一只水桶去打水，如果水龍頭灌滿第i個(gè)人的水桶需要ti分鐘，且這些ti（i=1,2, ,10)各不相等，試問(wèn)： 若有兩個(gè)相同的水龍頭供水時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的

3、次序，使他們花費(fèi)的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間是多少？導(dǎo)思：考慮兩個(gè)水龍頭，要注意數(shù)組的搭配與數(shù)組中的大小順序，可以聯(lián)系教材上一個(gè)水龍頭供水時(shí)的設(shè)定方法去求解.探究：如果有兩個(gè)水龍頭，設(shè)總時(shí)間最少時(shí)有m個(gè)人在第一個(gè)水龍頭打水，設(shè)依次所需時(shí)間為p1,p2, ,pm;有10-m個(gè)人在第二個(gè)水龍頭打水，依次所需時(shí)間設(shè)為q1,q2, ,q10-m.顯然必有一個(gè)水龍頭的打水人數(shù)不少于5人，不妨設(shè)為第一個(gè)水龍頭，也不可能有一個(gè)水龍頭沒(méi)人去打水，則5m10.設(shè)p1p2pm，q1q2q10-m.總花費(fèi)的時(shí)間為：T=mp1+(m-1)p2+pm+(10-m)q1+(9-m)q2+q10-m.其中p1,p2, ,pm,q1,q2, ,q10-m=t1,t2, ,t10,t1t20. 即當(dāng)m5時(shí)，我們讓第一水龍頭的第一人到第二水龍頭去后，總時(shí)間減少.故在m=5時(shí)，總時(shí)間可能取得最小值. 由于m=5，故兩個(gè)水龍頭人一樣多，總用時(shí):T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5). 由于p1p2p5,q1q2q5. 不妨設(shè)p1=t1.下證q10. 即經(jīng)交換后總時(shí)間變少.故q1p2.也即q1=t2. 類似地我們可以證明：piqipi+1(i=1,2,3,4),p5q5.從而最省