計(jì)算方法——常微分方程初值問題的數(shù)值解法.ppt

1、計(jì) 算 方 法,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,第六章 常微分方程初值 問題的數(shù)值解法,計(jì)算方法課程組,6.1 基本離散方法,6.2 Runge-Kutta方法,6.3 線性多步法,6.4 收斂性與穩(wěn)定性,6 常微分方程數(shù)值解法,基本思想: 根據(jù)微分中值定理有：,6.2 龍格 - 庫(kù)塔方法,建立高精度的單步遞推格式。,問題：計(jì)算近似值 的關(guān)鍵是如何選擇算法確定平均斜率 ？,龍格 - 庫(kù)塔方法的基本思想,考察Euler格式：,它簡(jiǎn)單的取點(diǎn) 的斜率值 作為平均斜率 , 精度較低。,考察改進(jìn)的Euler格式：,它可以理解為用 與 兩個(gè)點(diǎn)的斜率值 和 取算數(shù)平均斜率 。,龍格-庫(kù)塔方法,這個(gè)處理過程啟示我

2、們，如果設(shè)法在 內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們加權(quán)平均作為平均斜率 ，則有可能構(gòu)造出更高精度的計(jì)算格式。,二階方法,推廣改進(jìn)的Euler格式，對(duì)于區(qū)間 內(nèi)任意給定一點(diǎn) ：,用 和 兩個(gè)點(diǎn)的斜率值 和 加權(quán)平均得到 ：,即令,（ 為待定參數(shù)）,取,問題是如何取,先用Euler格式預(yù)報(bào) ： 將 和 值代入 ，得到,二階龍格-庫(kù)塔方法,基本形式,二階龍格-庫(kù)塔方法,接下來(lái)問題在于如何選取參數(shù)值，使其具有較高精度。,考查近似關(guān)系式：,不管 取值如何，它都具有一階精度?？梢赃m當(dāng)?shù)倪x取參數(shù) ，使其具有二階精度。,為簡(jiǎn)化處理，令 ，上式可以化簡(jiǎn)為：,令它對(duì)于 準(zhǔn)確成立，可得：,二階龍格-庫(kù)塔方法,滿足

3、這一條件的二階基本形式 統(tǒng)稱為二階的龍格-庫(kù)塔格式。,二階龍格-庫(kù)塔方法,特別地，當(dāng) 時(shí)，有,改進(jìn)歐拉格式,三階庫(kù)塔格式,用三個(gè)點(diǎn) ， ， 的斜率的加權(quán)平均得到平均斜率 。其形式：,取 用Euler格式預(yù)報(bào)得： ，可得,（3） 和 已知，用線性插值可得,三階庫(kù)塔格式,問題在于如何選取 值。,同二階方法，得近似關(guān)系式：,它對(duì) 成立，令它對(duì)于 準(zhǔn)確成立，可得,三階庫(kù)塔格式,綜上所述，這樣設(shè)計(jì)出的差分格式具有形式：,這種三階格式稱作庫(kù)塔格式。,四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔格式,繼續(xù)前面的推導(dǎo)過程，設(shè)法在區(qū)間 內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們加權(quán)平均作為平均斜率，即可設(shè)計(jì)出更高精度的單步格式。這類格式統(tǒng)稱為龍

4、格-庫(kù)塔格式。,實(shí)際計(jì)算中常用的為四階經(jīng)典格式：,按照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般方法，繼續(xù)上面的做法，經(jīng)過較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理和計(jì)算，可以導(dǎo)出常用的四階龍格庫(kù)塔格式。,四階精度的計(jì)算框圖：,四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔格式,算例： 分別用Euler公式，改進(jìn)的Euler公式，經(jīng)典4階R-K 公式計(jì)算一階常微分方程初值問題。,并與準(zhǔn)確解 比較。,解：Euler公式, 改進(jìn)的Euler公式取步長(zhǎng)h=0.1,經(jīng)典4階R-K公式取步長(zhǎng)h=0.2。,4階R-K公式：,計(jì)算結(jié)果見下表：,分析：?jiǎn)螐拿恳徊娇?，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差越??；但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了，步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。因此，同積分的數(shù)值計(jì)算一樣，微分方程的數(shù)值解法也需要選擇步長(zhǎng)。在選擇步長(zhǎng)時(shí)，需要考慮的問題：,如何衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度； 如何依據(jù)所判定的精度來(lái)處理步長(zhǎng)。,龍格 - 庫(kù)塔方法,小結(jié),龍格-庫(kù)塔方法的實(shí)質(zhì)就是通過幾個(gè)點(diǎn)上的預(yù)報(bào)斜率值估算平均斜