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1、高考數(shù)學(xué)分類復(fù)習(xí)數(shù)列常見題型和方法一、基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)1.等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的判斷:定義法或。(2)等差數(shù)列的通項:或。(3)等差數(shù)列的前和:,。如a.數(shù)列 中,前n項和,則,;b.已知數(shù)列 的前n項和,求數(shù)列的前項和.(4).等差數(shù)列的性質(zhì):(1)當(dāng)公差時,等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.(2)若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。(3)當(dāng)時,則有,特別地,當(dāng)時,則有.如a.等差數(shù)列中,則_;b.設(shè)與是兩個等差數(shù)列,它們的前項和分別為和,若,那么_ c.等差數(shù)列中,問此數(shù)列前多少項和最大?并求此最大值。2.
2、等比數(shù)列:(1)等比數(shù)列的判斷:定義法,其中或。如:數(shù)列中,=4+1 ()且=1,若 ,求證:數(shù)列是等比數(shù)列。(2)等比數(shù)列的通項:或。如設(shè)等比數(shù)列中,前項和126,求和公比. (3)等比數(shù)列的前和:當(dāng)時,;當(dāng)時,。如等比數(shù)列中,2,S99=77,求 (4)等比中項:若成等比數(shù)列,那么A叫做與的等比中項。如:有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個成等比數(shù)列,且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。(5).等比數(shù)列的性質(zhì):(1)當(dāng)時,則有,特別地,當(dāng)時,則有.如:各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則 。(2) 若是等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列;若成等比數(shù)列,則、成等比
3、數(shù)列; 若是等比數(shù)列,且公比,則數(shù)列 ,也是等比數(shù)列。當(dāng),且為偶數(shù)時,數(shù)列 ,是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列. 如: 在等比數(shù)列中,為其前n項和,若,則的值為_3.數(shù)列的通項的求法:公式法:等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式。已知(即)求,用作差法:。如:數(shù)列滿足,求. (3)若求用累加法:。如已知數(shù)列滿足,則=_ (4)已知求,用累乘法:。 (5)已知遞推關(guān)系求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。如:a.已知,求;b.已知,求.C已知,求;D已知數(shù)列滿足=1,求. 7.數(shù)列求和:(1)公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式,特別聲明:運用等比數(shù)列求和公式,務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系,必要時需分
4、類討論.;常用公式:,.如:等比數(shù)列的前項和S2,則_; (2)分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和. 如求: (3)倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),則??煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如:求證:; (4)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如:設(shè)為等比數(shù)列,已知,求數(shù)列的首項和公比;求數(shù)列的通項公式.(5)裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:; ; ;.如:求和: ;二、題型訓(xùn)練1. 已知數(shù)列的前項和為,設(shè)是與2的等差中項,數(shù)列中,點在直線上.()求;()若數(shù)列的前項和為,比較與2的大小;()令,是否存在正整數(shù),使得對一切正整數(shù)都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.1.解 ()由題意,得,. ,.數(shù)列是以2為公比,首項的等比數(shù)列,N)
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