人教A數(shù)學(xué)選修21同課異構(gòu)教學(xué)課件113四種命題間的相互關(guān)系探究導(dǎo)學(xué)課型

1、1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系,【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識(shí)結(jié)構(gòu)閱讀教材，并識(shí)記四種命題間的相互關(guān)系及真假關(guān)系，并會(huì)將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化.,【知識(shí)鏈接】 1.四種命題：原命題、逆命題、否命題、逆否命題. 2.判斷命題真假的方法：根據(jù)已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，直接判斷或推證或取特值否定.,主題一：四種命題之間的相互關(guān)系 【自主認(rèn)知】 1.觀察下面四個(gè)命題，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ (1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù). (2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù). (3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù). (4)若f(x)不是周期函數(shù)

2、，則f(x)不是正弦函數(shù).,提示：命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論，且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件，對(duì)于命題(1)和(3)，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定；對(duì)于命題(1)和(4)，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定.,2.通過問題1中的探究，你發(fā)現(xiàn)其中任意兩個(gè)命題之間的相互關(guān)系嗎？你能用數(shù)學(xué)語言描述出來嗎？ 提示：命題(2)(3)是互為逆否命題，命題(2)(4)是互否命題，命題(3)(4)是互逆命題.,根據(jù)以上探究過程，試著寫出四種命題之間的相互關(guān)系：,若q,則p,若p,則q,若q,則p,【合作探究】 1.判斷兩個(gè)命題之間

3、的關(guān)系關(guān)鍵看命題的條件與結(jié)論的哪方面？ 提示：判斷兩個(gè)命題之間的關(guān)系關(guān)鍵看兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間是否互換了，是否都否定了. 2.一個(gè)命題的逆命題與否命題是等價(jià)命題嗎？ 提示：可以通過命題的結(jié)構(gòu)形式，即它的條件和結(jié)論分析，逆命題與否命題是互為逆否命題，故逆命題與否命題是等價(jià)的.,3.在四種命題中，原命題是固定的嗎？ 提示：不固定，是相對(duì)而言的.,【過關(guān)小練】 1.命題p：“若m0，則x2+x-m=0有實(shí)根”，與命題q：“若x2+x-m=0沒有實(shí)根，則m0”的關(guān)系是() A.互逆 B.互否 C.互為逆否 D.互否或互為逆否 【解析】選C.因q的條件為p的結(jié)論的否定，而結(jié)論為p的條件的否定.,2.

4、命題p：“若x2+y2=0，則x，y全為零”，與命題q：“若x2+y20，則x，y不全為零”的關(guān)系是_. 【解析】由四種命題之間的關(guān)系知為互否命題. 答案：互否命題,主題二：四種命題的真假性及等價(jià)關(guān)系 【自主認(rèn)知】 1.主題一自主認(rèn)知1中的四個(gè)命題，它們的真假性如何？ 提示：命題(1)為真命題，(2)是假命題，(3)是假命題，(4)是真命題.,2.若命題(1)為原命題，你發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)命題的真假性相同？這種關(guān)系是否對(duì)任意的有這種關(guān)系的兩個(gè)命題都成立？ 提示：原命題與逆否命題，逆命題與否命題，真假性相同.且這種關(guān)系對(duì)任意兩個(gè)互為逆否的命題都成立.,根據(jù)以上探究過程，試著寫出四種命題真假性之間的關(guān)系：

5、 1.兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有_的真假性. 2.兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.,相同,【合作探究】 1.在四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)可能有幾個(gè)？ 提示：因?yàn)樵}與逆否命題、逆命題與否命題均互為逆否命題，它們同真或同假，所以真命題的個(gè)數(shù)可能是0，2或4. 2.當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí)可否利用其逆否命題的真假判斷？ 提示：因?yàn)樵}與逆否命題總是具有相同的真假性，所以當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí)，可以利用它與逆否命題的等價(jià)性來證明.,【拓展延伸】等價(jià)命題的證法與反證法的區(qū)別 運(yùn)用逆否命題的證法實(shí)質(zhì)是把命題等價(jià)轉(zhuǎn)化，而反證法是先假設(shè)結(jié)論不成立，接著推出矛盾，從而得出

6、假設(shè)不成立.,【過關(guān)小練】 1.命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價(jià)命題是() A.若q正確，則p不正確 B.若q不正確，則p正確 C.若p正確，則q不正確 D.若p正確，則q正確 【解析】選D.與逆命題等價(jià)的是否命題，否命題是若p正確，則q正確.,2.已知命題p：“若|a|=|b|，則a=b”，則命題p及其逆命題、否命題、逆否命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是() A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解析】選B.因?yàn)閍=-b時(shí)，|a|=|b|，則命題p為假命題，命題p的逆命題為：若a=b，則|a|=|b|，為真命題； 又因?yàn)槊}的逆命題與否命題互為逆否命題，原命題與其逆否命題互為逆否命題

7、，故真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).,【歸納總結(jié)】 1.對(duì)四種命題間關(guān)系的說明 對(duì)于兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，若“只換位不換質(zhì)”，則兩者之間就是“互逆命題”；若“只換質(zhì)不換位”，則兩者之間就是“互否命題”；若“既換位又換質(zhì)”，則兩者之間就是“互為逆否命題”.,2.等價(jià)命題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)當(dāng)兩個(gè)命題互為逆否命題時(shí)，這兩個(gè)命題是等價(jià)命題. (2)由于原命題與其逆否命題，原命題的逆命題與原命題的否命題是互為逆否關(guān)系，所以原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，原命題的逆命題與原命題的否命題是等價(jià)命題.,類型一：四種命題之間的相互關(guān)系 【典例1】(1)命題“若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則它的圖象不過第四象限”與命

8、題“若函數(shù)y=f(x)不是冪函數(shù)，則它的圖象過第四象限”的關(guān)系是_. (2)命題“等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形”與命題“全等三角形是等底等高的兩個(gè)三角形”的關(guān)系是_. (3)命題“若ab，則c-2ac-2b”與命題“若c-2ac-2b，則ab”的關(guān)系是_.,【解題指南】解答本題先要分清涉及兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，再比較兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)而得到兩個(gè)命題間的相互關(guān)系. 【解析】(1)已知兩命題的條件和結(jié)論分別互否，故它們是互否關(guān)系. (2)已知兩命題的條件和結(jié)論正好互換，故它們是互逆關(guān)系. (3)已知兩命題的條件和結(jié)論分別互否且正好交換，故它們是互為逆否關(guān)系. 答案：(1)互否關(guān)

9、系(2)互逆關(guān)系(3)互為逆否關(guān)系,【規(guī)律總結(jié)】判斷四種命題關(guān)系的兩個(gè)要領(lǐng) (1)分清條件與結(jié)論.在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件和結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系. (2)兩個(gè)互為逆否命題.原命題與逆否命題互為逆否命題，逆命題與否命題也互為逆否命題.,【鞏固訓(xùn)練】下列說法中，不正確的是() A.“若p，則q”與“若q，則p”互為逆命題 B.“若p，則q”與“若q，則p”互為逆否命題 C.“若p，則q”是“若p，則q”的逆否命題 D.“若p，則q”與“若p，則q”互為否命題 【解析】選C.A正確，滿足互逆命題的概念；B正確，滿足互為逆否命題的概念；D正確，滿足互否命題

10、的概念，只有C是錯(cuò)誤的，應(yīng)是否命題，而不是逆否命題.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法錯(cuò)誤的是_. “四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊相等的四邊形不是正方形”； “若x2=9，則x=3”的否命題的逆否命題是“若x29，則x3”； “若ab，則7a7b”的逆否命題是“若7a7b，則ab”. 【解題指南】從條件和結(jié)論的關(guān)系上進(jìn)行分析判斷.,【解析】“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題應(yīng)為：“四條邊不相等的四邊形不是正方形”，說法錯(cuò)誤；“若x2=9，則x=3”的否命題的逆否命題應(yīng)為：“若x=3，則x2=9”，說法錯(cuò)誤；正確. 答案：,類型二：四種命題的真假性 【典例2】(2014陜西高考)原命題

11、為“若 nN*，則an為遞減數(shù)列”，關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假,【解題指南】因?yàn)樵}和其逆否命題同真假，逆命題和否命題同真假，所以只要判斷原命題和它的逆命題的真假即可. 【解析】選A.由已知條件可以判斷原命題為真，所以它的逆否命題也為真；而它的逆命題為真，所以它的否命題亦為真.,【延伸探究】若把本例中“若 a2a3”，其他條件不變，則結(jié)果如何？ 【解析】由已知條件可以判斷原命題為真，所以它的逆否命題也為真，而它的逆命題為真，所以它的否命題亦為真.,【規(guī)律總結(jié)】判斷四種命題真假的兩種方法 (1

12、)直接判斷：利用命題真假判斷的方法判斷. (2)等價(jià)轉(zhuǎn)化：由于互為逆否命題的真假具有等價(jià)性，因而在判斷四種命題的真假時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為先判斷原命題和逆(否)命題的真假，再利用互為逆否命題的真假具有等價(jià)性即可完成.,【鞏固訓(xùn)練】已知命題p：若a0，則方程ax2+2x=0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)() A.4 B.2 C.1 D.0 【解析】選B.易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】命題“已知a，b為正實(shí)數(shù)，若 則ab”與它的 逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】選D.互為逆

13、否的命題同真假，原命題是真命題，故其逆否命 題也為真，逆命題為“已知a，b為正實(shí)數(shù)，若ab，則 ”， 這個(gè)命題是真命題，故否命題也為真，從而有4個(gè)是真命題.,類型三：等價(jià)命題的確定及應(yīng)用 【典例3】判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，則a2”的逆否命題的真假. 【解題指南】利用原命題與逆否命題的真假性相同判斷.,【解析】方法一：原命題的逆否命題為“已知a，x為實(shí)數(shù)，若a2，則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集”. 判斷真假如下： 拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2的開口向上，判別式=(2a+1)2-4(a2+

14、2) =4a-7， 因?yàn)閍2，所以4a-70， 即拋物線與x軸有交點(diǎn)，所以關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真.,方法二：先判斷原命題的真假如下： 因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集， 所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70. 所以a 2. 所以原命題是真命題. 因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題.,【延伸探究】 1.(改變問法)判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，則a2”的逆命題的真假.,【解析】原命題的逆命題

15、為“已知a，x為實(shí)數(shù)，若a2，則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判斷真假如下： 拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2的開口向上，判別式=(2a+1)2-4(a2+2) =4a-7， 因?yàn)閍2，所以4a-71，當(dāng)01時(shí)拋物線與x軸有交點(diǎn)，當(dāng)0時(shí)拋物線與x軸無交點(diǎn). 故原命題為逆命題為假.,2.(變換條件)判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20的解集是R，則a ”的逆否命題的真假.,【解析】先判斷原命題的真假如下： 因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為R，且 拋物線y=x2+(2a+1)x

16、+a2+2的開口向上，所以=(2a+1)2-4(a2+2)= 4a-70. 所以a .所以原命題是真命題. 因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真 命題.,【規(guī)律總結(jié)】等價(jià)命題的兩大應(yīng)用 (1)判斷命題的真假 當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難，或者在判斷真假時(shí)，涉及分類討論時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，因?yàn)榛槟娣衩}的真假是等價(jià)的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略. (2)正面證明較難入手的命題 直接證明較困難時(shí)，常常考慮用證明其逆否命題的方法.,【拓展延伸】轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題；它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以將較為煩瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡(jiǎn)單的問題；通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對(duì)來說，自己較熟悉的問題)，并通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.命題“若x+y5，則x2或y3”是_命題(填“真”或“假”). 【解析】借助數(shù)軸對(duì)結(jié)論否定，可得其逆否命題：“若x2且y3，