建筑力學(xué)梁的彎曲課件.ppt

1、第九章 梁的彎曲,9.1 工程中梁彎曲的概念,梁平面彎曲的概念,以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形 或簡(jiǎn)稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。,當(dāng)梁上所有外力均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，變形后的梁軸線也仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為 平面彎曲。,9.1.2單跨靜定梁的類型 梁的約束反力能用靜力平衡條件完全確定的梁，稱為靜定梁。根據(jù)約束情況的不同，單跨靜定梁可分為以下三種常見形式： (1)簡(jiǎn)支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座。 (2) 懸臂梁。梁的一端固定，另一端自由。 (3) 外伸梁。簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外。,9.2 梁的內(nèi)力

2、剪力和彎矩,9.2.1梁的剪力和彎矩,梁在外力作用下，其任一 橫截面上的內(nèi)力可用截面 法來(lái)確定。現(xiàn)分析距A端 為x處橫截面m-m上的內(nèi) 力。如果取左段為研究 對(duì)象，則右段梁對(duì)左段梁 的作用以截開面上的內(nèi)力 來(lái)代替。存在兩個(gè)內(nèi)力 分量：內(nèi)力FQ與截面相 切，稱為剪力， 內(nèi)力偶矩M稱為彎矩，,9.2.2剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定,即微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)， 橫截面上的剪力FQ為正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。,當(dāng)微段的彎曲為向下凸即該微段的下側(cè)受拉時(shí)， 橫截面上的彎矩為正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。,9.2.3計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩,例題9.1 外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2 都無(wú)限接近于截面A，截

3、面3-3和4-4也都無(wú)限接 近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。,解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力,2.求截面1-1的內(nèi)力,3.求截面2-2的內(nèi)力,4.求截面3-3的內(nèi)力,5.求截面4-4的內(nèi)力,比較截面1-1和2-2的內(nèi)力發(fā)現(xiàn)說(shuō)在集中力的兩側(cè) 截面剪力發(fā)生了突變，突變值等該集中力的值。,比較截面3-3和4-4的內(nèi)力在集中力偶兩側(cè)橫截面 上剪力相同，而彎矩突變值就等于集中力偶矩。,梁的內(nèi)力計(jì)算的兩個(gè)規(guī)律：,（1）梁橫截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：,若外力使選取研究對(duì)象繞所求截面產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，等式右邊取正號(hào)；反之，取負(fù)

4、號(hào)。此規(guī)律可簡(jiǎn)化記為“順轉(zhuǎn)剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負(fù)。,（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于截面一側(cè) （左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對(duì)該截面形心O的力 矩的代數(shù)和。即：,若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時(shí)，等式右方取正號(hào)，反之，取負(fù)號(hào)。此規(guī)律可簡(jiǎn)化記為“下凸彎矩正” 或“左順，右逆彎矩正” ，相反為負(fù)。,例題9.2 一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。,解：1.根據(jù)平衡條件求出約束力反力,2.求指定截面上的剪力和彎矩,截面C：根據(jù)截面左側(cè)梁上的外力得：,截面B左、B右：取右側(cè)梁計(jì)算，得：,在集中力作用截面

5、處，應(yīng)分左、右截面計(jì)算剪力；,在集中力偶作用截面處，也應(yīng)分左、右截面計(jì)算彎矩。,9.3 梁的內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖,9.3.1 剪力方程和彎矩方程,在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可 以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，,FQ=FQ (x),M=M(x),梁的剪力方程,梁的彎矩方程,9.3.2剪力圖和彎矩圖,以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示FQ (x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡(jiǎn)稱FQ圖和M圖。繪圖時(shí)一般規(guī)定正號(hào)的剪力畫在x軸的上側(cè)，負(fù)號(hào)的剪力畫在x軸的下側(cè)；正彎矩畫在x軸下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸上側(cè)，即把彎矩畫在梁受拉的一側(cè)。

6、,例題9.3 圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖,解： 1.列剪力方程和彎矩方程,(0 xl ),(0 xl),2.作剪力圖和彎矩圖,由剪力圖和彎矩圖可知：,例題9.4 簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，如圖示， 作此梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力由對(duì)稱關(guān)系，可得：,最大剪力發(fā)生在梁端，其值為FQ,max=,2.列剪力方程和彎矩方程,3.作剪應(yīng)力圖和彎矩圖,最大彎矩發(fā)生在跨中，它的數(shù)值為Mmax,例題9.5 簡(jiǎn)支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪力方程和彎矩方程,（0xa）,(0 xa),AC段：,例題9.6 簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用，如圖

7、示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程,AB段：,（0xl）,CB段：,(axl),(0 xl),3.作剪力圖和彎矩圖,CB段：,(axl),AC段：,(0 xa),3.繪出剪力圖和彎矩圖,例題9.6 簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。,解：1.求約束反力,2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程,AB段：,（0xl）,CB段：,(axl),(0 xl),3.作剪力圖和彎矩圖,9.4.1 分布荷載集度與剪力、 彎矩 (q與FQ、M)之間的微分關(guān)系,9.4 彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系,微段的平衡，得,彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。,二

8、階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來(lái)判定曲線的凹凸向，,若q(x)0,彎矩為上凸曲線， 彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致.,9.4.2 常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系,1.剪力圖與荷載的關(guān)系,(1)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)x坐標(biāo)自左向右取時(shí)， 若q(x)方向向下，則FQ圖為下斜直線； 若q(x)方向向上，F(xiàn)Q圖為上斜直線。,剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度；,(2)無(wú)荷載作用區(qū)段，即q(x)=0， FQ圖為平行x軸的直線。 (3)在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變方向與外 力一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。 (4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖 是連續(xù)無(wú)變化。,2.彎矩圖

9、與荷載的關(guān)系,在均布荷載作用的區(qū)段，M圖為拋物線。,(2)當(dāng)q(x)朝下時(shí)，,M圖為上凹下凸。,當(dāng)q(x)朝上時(shí)，,M圖為上凸下凹。,(3) 在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力 向下，則M圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。,(4) 在集中力偶作用處，M圖產(chǎn)生突變，順時(shí)針 方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之， 由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。,(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于 該截面上的剪力。 (2) 當(dāng)FQ圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的M圖為二次 拋物線。當(dāng)FQ圖為平行于x軸的直線時(shí)， M圖為斜直線。,3. 彎矩圖與剪力圖的關(guān)系,(3) 剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，

10、彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。 左右剪力有不同正、負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。,解： 1. 求約束反力,例題9.7 簡(jiǎn)支梁如圖所示， 試用荷載集度、剪力和彎 矩間的微分關(guān)系作此梁的 剪力圖和彎矩圖。,2. 畫FQ圖,各控制點(diǎn)處的FQ值如下：,FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN 10kN=5kN FQD=5kN F QB左=15kN,3. 畫M圖,MA = 0, MC =15kN2m=30 kN.m MD = 15kN4m10kN2m=40kN.m MD右= 15kN4m5kN4m2m=20 kN.m MB=0,例題9.8 一外伸梁如圖示。試用荷載集度、 剪力

11、和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的FQ、M圖。,解：1.求約束力,2.畫內(nèi)力圖,(1)剪力圖,ACB段：,FQA右=FQC=FQB左=5kN,FQ圖為一水平直線,BD段：FQ圖為右下斜直線。,FQB右=4kN/m2m=8kN，F(xiàn)QD=0,作梁的剪力圖,(2) 彎矩圖,AC段：FQ0，故M圖為一右上斜直線,MA=0，MC左=5kN2m=10kN.m,CB段：,FQ0,故M圖為一右上斜直線， 在C處彎矩有突變。,MC右=5kN2m+12kN.m MB=4kN/m2m1m=8kN.m,BD段：,段內(nèi)有向下均布荷載，M圖為下凸拋物線，,MB=8KN.m，ME=410.5=2KN.m, MD=0,9.5 用疊加

12、法作梁的彎矩圖,疊加法是先求出單個(gè)荷載作用下的內(nèi)力 （剪力和彎矩），然后將對(duì)應(yīng)位置的內(nèi)力相加， 即得到幾個(gè)荷載共同作用下的內(nèi)力的方法。,例題9.9 簡(jiǎn)支梁所受荷載如圖，試用疊加法作M圖。,解：1. 荷載分解,2. 作分解荷載的彎矩圖,3. 疊加作力偶和均布荷載共同作用下的彎矩圖,注意：彎矩圖的疊加，不是兩個(gè)圖形的簡(jiǎn)單疊加，而是對(duì)應(yīng)點(diǎn)處縱坐標(biāo)的相加。,9.6 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論,9.6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是研究通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)的 各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況。,應(yīng)力狀態(tài)分為空間應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)。 全部應(yīng)力位于同一平面內(nèi)時(shí)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)； 全部應(yīng)力不在同一平面內(nèi)，在空間分

13、布， 稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力狀態(tài)分類：,在三對(duì)相互垂直的相對(duì)面上剪應(yīng)力等于零， 而只有正應(yīng)力。這樣的單元體稱為主單元體， 這樣的單元體面稱主平面。主平面上的正應(yīng)力 稱主應(yīng)力。 通常按數(shù)值排列，用字母1、2和 3分別表示。,主應(yīng)力、主平面：,應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類：,（1）單向應(yīng)力狀態(tài)。在三個(gè)相對(duì)面上三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零。,（2）雙向應(yīng)力狀態(tài)。在三個(gè)相對(duì)面上三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零。,（3）三向應(yīng)力狀態(tài)。其三個(gè)主應(yīng)力都不等于零。 例如列車車輪與鋼軌接觸處附近的材料就是處在 三向應(yīng)力狀態(tài)下，,9.6.2 強(qiáng)度理論,1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）：,理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起

14、斷裂的主要因素 。,最大拉應(yīng)力1達(dá)到該材料在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)最大拉 應(yīng)力的危險(xiǎn)值材料引起斷裂。,其強(qiáng)度條件為： 1,理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材 料受軸向壓縮時(shí)，沿縱向發(fā)生的斷裂破壞。,2、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)：,理論認(rèn)為最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。,拉斷時(shí)伸長(zhǎng)線應(yīng)變的極限值為,斷裂準(zhǔn)則為：,第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：,理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時(shí)的斷裂破壞。,3、最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）,理論認(rèn)為最大剪應(yīng)力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪應(yīng)力max達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。,單向拉伸下，當(dāng)與軸線成45。的斜截面上的,max=,s/2時(shí),任意應(yīng)力狀態(tài)下,屈服準(zhǔn)則：,第三強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件為：,4、形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)：,第四強(qiáng)度理論認(rèn)為： 形狀改變比能是引起塑性屈服的主要因素。,單向拉伸時(shí)， 的形狀改變比能。,就是導(dǎo)致屈服的形狀改變比能的極限值。,在機(jī)械和鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常用此理論。,形狀改變比能屈服準(zhǔn)則為：,在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，單元體的形狀改變比能為:,整理后得屈服準(zhǔn)則為：,按第四強(qiáng)度理論得到其強(qiáng)度條件為：,5、莫爾強(qiáng)度理論,莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。 綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素,把一點(diǎn)處材料破壞時(shí)的最