剛體力學_華南理工大學.ppt

1、大學物理,電子教案,大學物理教研組,編寫：李紹新 文德華 范素芹 盧義剛 趙純,力學,剛體力學,第四章 剛體力學,4.1 剛體運動學,4-5 剛體定軸轉動的角動量定理 和角動量守恒定律,返回總目錄,4-2 剛體的角動量 轉動動能 轉動慣量,4-3 力矩 剛體定軸轉動定律,4-4 剛體定軸轉動的動能定理,4-6 進動,本章教學要求： 了解轉動慣量概念。理解剛體轉動中的功和能的 概念。理解剛體繞定軸轉動的轉動定律和剛體在 繞定軸轉動情況下的角動量守恒定律。了解進動 的概念。,本章重點： 剛體繞定軸轉動的轉動定律和剛體在繞定軸轉動 情況下的角動量守恒定律。剛體質點系統(tǒng)的運動 問題 本章難點： 剛體繞

2、定軸轉動，剛體角動量守恒定律,返回目錄,下一頁,上一頁,3.1 剛體運動學,返回本章目錄,下一頁,上一頁,剛體在平動時，在任意一段時間內，剛體中所質點的位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質點的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內任何一個質點的運動，都可代表整個剛體的運動。,當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。,3. 剛體的定軸轉動,定軸轉動：,剛體上各點都繞同一轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內轉過相同的角度。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-1 一飛輪轉速n=1500r/min，受到制動后均勻

3、地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。 （1）求角加速度 和飛輪從制動開始到靜止所轉過 的轉數(shù)N； （2）求制動開始后t=25s 時飛 輪的加速度 ； （3）設飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時邊緣上一點的速 度和加速度。,解 （1）設初角度為0方向如圖所示，,返回本章目錄,下一頁,上一頁,量值為0=21500/60=50 rad/s，對于勻變速轉動，可以應用以角量表示的運動方程，在t=50S 時刻 =0 ，代入方程=0+t 得,從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及轉數(shù)N 分別為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,（2）t=25s 時飛輪的角速度為,從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及轉數(shù)N 分別為,返

4、回本章目錄,下一頁,上一頁,（3）t=25s 時飛輪邊緣上一點P 的速度。,的方向與0相同 ；,的方向垂直于 和 構成的平面，如圖所示相應的切向加速度和向心加速度分別為,由,返回本章目錄,下一頁,上一頁,邊緣上該點的加速度 其中 的方向與 的方向相反， 的方 向指向軸心. 的大小 為,的方向幾乎和 相同。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-2 一飛輪在時間t內轉過角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飛輪上某點角位置可用表示為 at+bt3-ct4 將此式對t求導數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為,角加速度是角速度對t的導數(shù)，因此得,由此可見飛輪作的是變加

5、速轉動。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,42 剛體的定軸轉動定律,質點系角動量定理，即,z軸方向的分量式,4-2-1力矩,略去下標z,返回本章目錄,下一頁,上一頁,力矩,轉動平面,力不在轉動平面內,注 （1）在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉動平面內的分力對轉軸的力矩。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,是轉軸到力作用線的距離，稱為力臂。,（2）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,略去下標Z，,返回本章目錄,下一頁,上一頁,J=mr2稱為質點對于轉軸的轉動慣量,4-2-2剛體定軸轉動的角動量，轉動定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,定義：剛體對于轉軸的轉動慣

6、量J為：,4-2-2剛體定軸轉動的角動量，轉動定律,略去下標z，有,上式稱剛體的定軸轉動定律。它表明，剛體繞某一定軸轉動，它受的合外力矩等于剛體的轉動慣量與角加速度的乘積。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,質元的質量,質元到轉軸的距離,轉動慣量是轉動中慣性大小的量度。,質量是平動中慣性大小的量度。,對比：,線動量,角動量,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-3 求質量為m、長為 l 的均勻細棒對下面 三種轉軸的轉動慣量： （1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直； （3）轉軸通過棒上距中心為h的一點 并和棒垂直。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,解 如圖所示，在棒上離

7、軸x 處，取一長度元dx，如 棒的質量線密度為，這長度元的質量為dm=dx。,（1）當轉軸通過中心并和棒垂直時，我們有,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因l=m，代入得,（2）當轉軸通過棒的一端A并和棒垂直時，我們有,返回本章目錄,下一頁,上一頁,（3）當轉軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂 直時，我們有,這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉軸，轉動慣量并不相同。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-4 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的 轉動慣量。設圓盤的半徑為R，質量為m，密度均勻。,解 設圓盤的質量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、 寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的

8、質量dm= 2rdr ?？傻?返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-2-4剛體定軸轉動定律的應用,1分析問題，視解題方便選定轉軸正向。,2根據(jù)右手螺旋法則，如果某力對轉軸力矩方向與轉軸正向一致為正，否則為負。合外力矩應為各力矩的代數(shù)和。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-3 剛體定軸轉動中的功和能,1.力矩的功,力矩的功：當剛體在外力矩作用下繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。,力 對P 點作功：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因,力矩作功：,對于剛體定軸轉動情形，因質點間無相對位移，任何一對內力作

9、功為零。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-3-2剛體定軸轉動的動能,與質點運動的動能公式,對比，轉動慣量,相當于慣性質量，角速度取代了線速度,4-3-3.定軸轉動的動能定理,根據(jù)定軸轉動定理,外力矩所做元功為：,總外力矩對剛體所作的功為：,則物體在 時間內轉過角位移 時,返回本章目錄,下一頁,上一頁,剛體定軸轉動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,表明：一個不太大的剛體的重力勢能與它的質量集中在質心時所具有的勢能一樣。,3.剛體的重力勢能,即：,質心高度為：,對于一個不太大的質量為 的物體，它的重力勢能應是組成剛體的各個質點的重力勢能之和

10、。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-7如圖，沖床上配置一質量為5000kg的飛輪， r1=0.3m, r2=0.2m.今用轉速為900r/min的電動機借皮帶傳動來驅動飛輪，已知電動機的傳動軸直徑為d=10cm。（1）求飛輪的轉動動能。 （2）若沖床沖斷0.5mm厚 的薄鋼片需用沖力9.80104 N，所消耗的能量全部由飛 輪提供，問沖斷鋼片后飛輪 的轉速變?yōu)槎啻螅?返回本章目錄,下一頁,上一頁,解 （1）為了求飛輪的轉動動能，需先求出它的轉動慣量和轉速。因飛輪質量大部分分別布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉動慣量公式，得,皮帶傳動機構中，電動機的傳動軸是主動輪，飛輪是從動輪。兩輪的

11、轉速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉速為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,由此得飛輪的角速度,這樣飛輪的轉動動能是,（2）在沖斷鋼片過程中，沖力F所作的功為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)?由,求得此時間的角速度為,而飛輪的轉速變?yōu)?返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,力矩作功：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,【例4-6】如圖4-13，繞在定滑輪上輕繩的一端固定于定滑輪邊上，另一端與一質量為m=2.00 kg的物體相連，已知定滑輪質量M=1.00 kg，半徑R=0.100m，且軸承光滑，定滑輪轉動慣量,，其

12、初角速度,=5.00rads，方向垂直于紙面向內，求(1)定滑輪的角加速度,(2)定滑輪角速度變化到,時，物體上升的高度。,解 (1)研究定滑輪的轉動，選向內作為轉軸正向，重力、軸支撐力對轉軸力矩為零，對轉動沒有影響,繩張力對轉軸力矩為,，則根據(jù)轉動定律，有,選x軸向上，根據(jù)牛頓定律，有 T-mg=ma 關聯(lián)方程,聯(lián)立以上三式解得,(2)研究物體m、定滑輪M及地球組成的系統(tǒng)，在物體m上升、定滑輪轉動過程中，機械能守恒，選開始m所在處為重力勢能零點，有,式中，,，代人數(shù)據(jù)，解得 h=0.0159 m,1. 定軸轉動剛體的角動量定理,剛體定軸轉動定理：,4-6 剛體角動量和角動量守恒定律,返回本章

13、目錄,下一頁,上一頁,我們用沖量矩表示力矩對時間的積累效果，即沖量矩等于力矩乘以力矩所作用的時間。上式中的Mdt為沖量矩。,設剛體tl時刻角速度為,，t2時刻角速度為,則對上式兩邊積分，有,上式稱剛體定軸轉動的角動量定理，它表明：剛體在一段時間內所受的沖量矩，等于剛體在這段時間內角動量的增量。(4-23)式是角動量定理的微分形式。,(4-23),2. 定軸轉動剛體的角動量守恒定律,恒量,返回本章目錄,下一頁,上一頁,這就是說：剛體(或質點系)對某一定軸所受合外力矩為零，則它對這一固定軸的角動量保持不變，這稱為剛體(或質點系)繞定軸轉動的角動量守恒定律。,四、角動量守恒定理,返回本章目錄,下一頁

14、,上一頁,實際生活中的一些現(xiàn)象,藝術美、人體美、物理美相互結合,高！,高！,、芭蕾舞演員的高難動作,返回本章目錄,下一頁,上一頁,當滑冰、跳水、體操運 動員在空中為了迅速翻轉 也總是曲體、減小轉動慣 量、增加角速度。當落地 時則總是伸直身體、增大 轉動慣量、使身體平穩(wěn)落 地。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因此，開始不旋轉的物體，當其一部分旋轉時，必引起另一部分朝另一反方向旋轉。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-11 一勻質細棒長為l ，質量為m，可繞通過其端點O的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與

15、放在地面上的物體相撞。該物體的質量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質心C 離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,解： 這個問題可分為三個階段進行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，其余內力與外力都不作功，所以機械能守恒。我們把棒在豎直位置時質心所在處取為勢能,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,零點，用表示棒這時的角速度,則,返回本章目錄,下一頁,上一頁,機械能守恒,（1）,第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉軸O的

16、外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則,（2）,式中棒在碰撞后的角速度，它可正可負。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為,（3）,由勻減速直線運動的公式得,由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得,（5）,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,（1）,（2）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,亦即l6s；當取負值，則棒向右擺，其條件為,亦即l 6s,棒的質心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，

17、所求結果為,當取正值，則棒向左擺，其條件為,(6),定軸轉動剛體的角動量守恒定律,（5）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-12 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉動慣量為JA=10kgm2，B的轉動慣量為JB=20kgm2 。開始時A輪的轉速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,解 以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉軸的

18、力矩為零，后者對轉軸有力矩，但為系統(tǒng)的內力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得,為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，于是,以各量的數(shù)值代入得,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,或共同轉速為,在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損失的機械能為,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-13 恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時星的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸

19、每45天轉一周，它的內核半徑R0約為2107m，坍縮成半徑R僅為6103m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內核均看作是勻質圓球。,解 在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因此恒星的角動量應該守恒，則它的內核在坍縮前后的角動量J00和J應相等。因,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,代入J00=J中，整理后得,由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強的無線電波、光或X射線。當這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測到的脈沖星超過300個。,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回

20、本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-14 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為J= 2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多長時間才能使飛船停止旋轉。,解 把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質量為m?？梢哉J為廢氣質量遠小于飛船的質量，,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即,在噴氣過程中，以

21、dm表示dt時間內噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為dm r(u+v)，方向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠大于飛船的速率v(= r) ，所以此角動量近似地等于dm ru。在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,當宇宙飛船停止旋轉時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為,在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即L0=L1 ，由此得,即,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,于是所需的時間為,定軸轉動剛體的角動量守恒定

22、律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例1 一長為l 、質量為m 的勻質細桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內擺動。當桿靜止時，一顆質量為m0 的子彈水平射入與軸相距為a 處的桿內，并留在桿中，使桿能偏轉到q=300，求子彈的初速v0。,解：分兩個階段進行考慮,其中,(1)子彈射入細桿,使細桿獲得初速度。因這一過程進行得很快,細桿發(fā)生偏轉極小,可認為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動量守恒條件。子彈射入細桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動量分別為,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,(2)子彈隨桿一起繞軸O 轉動。以子彈、細桿及地球構成一系統(tǒng)，只有保守內力作功

23、，機械能守恒。選取細桿處于豎直位置時子彈的位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機械能為：,由角動量守恒，得：,(1),定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,由機械能守恒，E=E0, 代入q=300，得：,將上式與 聯(lián)立，并代入J 值，得,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例2 A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉動，角速度分別為：wA=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知A 圓盤半徑RA=0.2m, 質量mA=2kg, B 圓盤的半徑RB=0.1m, 質量mB=4kg. 試求兩圓盤對心銜接后的角速度w .,解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接

24、過程中有重力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內力。因此系統(tǒng)角動量守恒，得到,定軸轉動剛體的角動量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例）質量為M、半徑為R的轉盤，可繞通過中心的豎直軸轉動。開始質量為m的人相對轉盤靜止在離轉軸中心R/2處。開始系統(tǒng)以角速度 旋轉。然后人相對于轉盤以速度v垂直于R方向走動（與原轉動方向相反），求轉盤相對于地的角速度。,已知：,求：,解：以M、m為研究對象,故角動量守恒,以地面為參照，建立轉軸的正方向(向下)如圖,M,m,返回本章目錄,下一頁,上一頁,開始人和盤繞軸角動量為：,M,m,人和轉臺繞軸轉動慣量分別為,t時刻人相對地的角速度為：,上式的投影為為：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,M,m,根據(jù)題意，人相對盤的角速度為：,t時刻系統(tǒng)的角動量為：,由系統(tǒng)的角動量守恒，可得：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,