固體中的應(yīng)力波

1、固體中的應(yīng)力波李 清中國礦業(yè)大學(xué)（北京）參考書：1 王禮立. 應(yīng)力波基礎(chǔ)第2版(2005年8月1日)，國防工業(yè)出版社2 李玉龍. 應(yīng)力波基礎(chǔ)簡明教程第1版 (2007年4月1日)，西北工業(yè)大學(xué)3 丁啟財(cái)(美國). 固體中的非線性波，中國友誼出版公司4 宋守志. 固體中的應(yīng)力波，煤炭工業(yè)出版社5 楊善元. 巖石爆破動力學(xué)基礎(chǔ)，煤炭工業(yè)出版社6 萊茵哈特(楊善元譯). 固體中的應(yīng)力瞬變，煤炭工業(yè)出版社7 徐小荷. 沖擊鑿巖的理論基礎(chǔ)與電算方法，東工出版社8 郭自強(qiáng). 固體中的波，地震出版社目 錄第0章 緒論11 波動現(xiàn)象12 應(yīng)力波的概念13 應(yīng)力波分類34 應(yīng)力波理論與其它力學(xué)理論的關(guān)系35 應(yīng)

2、力波理論的發(fā)展36 應(yīng)力波理論在巖土工程中的應(yīng)用3第1章 一維應(yīng)力波基礎(chǔ)41.1波動方程及其解41.1.1 一維縱波的波動方程41.1.2 波的傳播速度41.1.3 波動方程的解51.1.4 解的物理意義61.2 應(yīng)力波的幾個(gè)基本參量71.3 應(yīng)力波的能量71.4 波的衰減81.4.1 原因81.4.2 度量81.4.3 衰減率的測定91.5 考慮桿的橫向效應(yīng)的波動方程101.6 桿中的扭轉(zhuǎn)波與彎曲波121.6.1 扭轉(zhuǎn)波121.6.2 彎曲波13第2章 二維和三維彈性波理論基礎(chǔ)142.1 彈性體的運(yùn)動微分方程142.2 彈性體的無旋波與等容波152.2.1 無旋波(縱波、P波)152.2.2

3、 等容波(橫波、S波)162.3 平面波的傳播172.3.1 平面縱波(V/c)172.3.2 平面橫波(Vc)182.4 薄板中的應(yīng)力波192.4.1 控制方程192.4.2 縱波202.4.3 橫波212.4.4 各種波速關(guān)系212.5 球面波222.5.1 波動方程及其解222.6 柱面波23第3章 應(yīng)力波的相互作用243.1 一維應(yīng)力波在界面的反射和透射243.1.1 應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射253.1.2應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射263.2 兩桿相撞的入射波273.3 傳播圖與狀態(tài)圖293.3.1傳播圖293.3.2 狀態(tài)圖303.4 彈性桿中波的傳播（圖解法舉例）323

4、.4.1 沖錘撞擊桿件應(yīng)力波的傳播323.4.2 雙圓柱活塞撞擊釬桿應(yīng)力波傳播333.5 平面波的邊界效應(yīng)363.5.1 平面波在界面上的垂直入射363.5.2 平面波在界面上的傾斜入射373.6 應(yīng)力波引起的破裂393.6.1金屬絲沖擊波拉伸斷裂393.6.2 Hopkinson壓桿與飛片413.6.3 斷裂準(zhǔn)則413.6.4 簡單反射拉伸波引起的層裂或剝裂423.6.5 物體形狀對應(yīng)力波引起破裂的影響453.7 沖擊波基本問題45第4章 固體中的非線性波基礎(chǔ)484.1 彈塑性加載波及其相互作用484.1.1 強(qiáng)間斷彈塑性波的迎面加載484.1.2弱間斷彈塑性波的迎面加載504.2 卸載波的

5、控制方程和特征線51第5章 巖石動態(tài)力學(xué)性質(zhì)與應(yīng)力波的相互作用535.1 巖石動態(tài)本構(gòu)關(guān)系與動態(tài)強(qiáng)度535.2 巖石動態(tài)力學(xué)參數(shù)測試545.3 本構(gòu)關(guān)系對應(yīng)力波傳播的影響545.4 應(yīng)變率相關(guān)的應(yīng)力波理論555.4.1 Voigt體555.4.2 Maxwell體55第6章 應(yīng)力波在巖土工程中的應(yīng)用556.1 應(yīng)力波在沖擊鑿巖中的應(yīng)用556.1.1 沖擊鑿巖的應(yīng)力波的傳遞556.1.2 鑿巖機(jī)的鑿入機(jī)理556.1.3 入射波形對鑿入效果的影響566.1.4 沖擊鑿巖的破壞原理566.2 應(yīng)力波在爆破工程中的應(yīng)用566.3 應(yīng)力波在土動力學(xué)中的應(yīng)用566.3.1緒論566.3.2 土的動應(yīng)力-應(yīng)

6、變關(guān)系及其描述586.4 應(yīng)力波在地震工程學(xué)的應(yīng)用58第7章 應(yīng)力波測試分析技術(shù)簡介 了解607.1 膨脹環(huán)測試技術(shù)607.2 Hopkinson桿測試技術(shù)607.3 Taylor圓柱測試技術(shù)617.4 高速沖擊載荷的實(shí)驗(yàn)技術(shù)61第0章 緒論1 波動現(xiàn)象波動現(xiàn)象：水波、聲波、電磁波、光波等。波是一種擾動或狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播，波動是非常普遍存在的一種運(yùn)動形式，一般可分為兩大類：機(jī)械波和電磁波。這里所述的應(yīng)力波屬于機(jī)械波，是機(jī)械擾動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程。機(jī)械波產(chǎn)生于可變形介質(zhì)的強(qiáng)迫運(yùn)動，通過質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近的振動來傳遞能量。2 應(yīng)力波的概念介質(zhì)的某部分受力發(fā)生了一種狀態(tài)的擾動，離開初始平衡位置

7、，與相鄰介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生相對運(yùn)動(變形)，并和周圍介質(zhì)產(chǎn)生壓力差，這種壓力差將導(dǎo)致周圍介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)投入運(yùn)動，但由于介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)具有慣性，而使某相鄰質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動滯后，外載荷在表面上的擾動就這樣在介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地傳播出去而形成應(yīng)力波。應(yīng)力波理論主要研究力、位移、速度等物理量在固體中傳播的規(guī)律以及它們對固體的作用效應(yīng)。理論力學(xué)中，物理被認(rèn)為是剛體(不變形)，遵循牛頓慣性定律F=ma材料力學(xué)、彈性力學(xué)，研究物理變形，但不考慮變形而產(chǎn)生的物理運(yùn)動，不考慮物理的慣性，遵循虎克定律現(xiàn)實(shí)的物體，慣性和彈性兼而有之，當(dāng)它受力時(shí)，既改變它的速度又改變它的形狀。物理受力部位的質(zhì)點(diǎn)，克服慣性，發(fā)生速度的變化，這種變化遵循慣性定律(牛

8、頓定律)，速度的變化必然導(dǎo)致變形，變形阻礙速度變化；反過來說，物理受力部位，由于彈性的作用，必定會有變形，這種變形符合虎克定律，但在實(shí)現(xiàn)變形時(shí)，質(zhì)點(diǎn)會出現(xiàn)變速運(yùn)動，變速運(yùn)又阻礙變形的發(fā)展。由此可見，物理內(nèi)部同時(shí)存在著彈性和慣性，相互作用，導(dǎo)致物理中形變和速度的轉(zhuǎn)移，這就是應(yīng)力波。應(yīng)力波得以在連續(xù)介質(zhì)中傳播的基本條件是介質(zhì)的可變形性和慣性。對于不可變形的剛體，局部的擾動（力或位移）可立即傳到整個(gè)物體的每一部分。若介質(zhì)沒有慣性，則擾動的傳遞也是瞬時(shí)完成的，一切實(shí)際材料都具備這兩個(gè)條件，所以一切實(shí)際材料都能傳播應(yīng)力波。固體中的應(yīng)力波的研究主要用于地震、爆作、高速撞擊、爆破、超生波等應(yīng)力波的發(fā)生和傳播

9、過程。應(yīng)力波波陣面介質(zhì)中擾動的區(qū)域和擾動未波及的區(qū)域的界面。分析波陣面的前后狀態(tài)參量的變化關(guān)系，有兩種類型。間斷波波陣面前后質(zhì)點(diǎn)微團(tuán)的狀態(tài)參量有一個(gè)有限的差值。狀態(tài)參量發(fā)生躍變，數(shù)學(xué)上叫強(qiáng)間斷。連續(xù)波波陣面前后質(zhì)點(diǎn)微團(tuán)的狀態(tài)參量的差值為無限小。狀態(tài)參量的分布是連續(xù)的，數(shù)學(xué)上叫弱間斷。強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)間斷波和連續(xù)波是相互轉(zhuǎn)化。彌散波：如介質(zhì)的性質(zhì)使得高應(yīng)力水平增量波具有較低傳播速度，波形在傳播過程中會逐漸拉長、散開的連續(xù)波。匯聚波：如介質(zhì)的性質(zhì)使得高應(yīng)力水平增量波具有較高傳播速度，那么處于后面的高波速的增量波不斷追趕前面的較低波速的增量波，使得連續(xù)波波形逐漸縮短。沖擊波：一定條件下，后面具有高波幅的增量

10、波趕上前面波幅的較低的增量波形成以統(tǒng)一波速傳播的強(qiáng)間斷波波陣面，連續(xù)波轉(zhuǎn)化為沖擊波。間斷波中除了沖擊波之外，還有一種等熵的間斷波，這就是彈性間斷波，因?yàn)閺椥宰冃问强赡娴倪^程，彈性間斷波只是在波形上與連續(xù)波不相同，二者在本質(zhì)上沒有區(qū)別。最后介紹關(guān)于加載波與卸載波的概念。固體介質(zhì)不但能承受壓力，而且能承受拉力。對介質(zhì)加壓，使介質(zhì)壓密就是加載；對已經(jīng)受壓后的介質(zhì)減壓，使介質(zhì)稀疏就是卸載。當(dāng)波陣面通過一個(gè)介質(zhì)微團(tuán)時(shí)，其效果是使微團(tuán)壓密的就是加載波（壓縮波）；其效果是使微團(tuán)稀疏的就是卸載波（拉伸波）。加載波和卸載波的波形如圖示。3 應(yīng)力波分類(1) 按力的特征分拉伸、壓縮波（稀疏波或縱波）；彎曲波、剪切

11、波（橫波）(2) 按波陣面的形狀分平面波、柱面波、球面波(3) 按變形特征分無旋波（膨脹波）、等容波（畸變波）(4) 按介質(zhì)的物理特征分彈性波、塑性波、粘彈波、粘塑波(5) 按介質(zhì)的幾何特性分一維波（桿波）、二維波（平面波）、三維波（空間波）4 應(yīng)力波理論與其它力學(xué)理論的關(guān)系應(yīng)力波理論是固體動力學(xué)的分支。但目前的固體動力學(xué)往往集中研究材料在高應(yīng)變率下的動態(tài)力學(xué)性能，而把已知材料的動態(tài)力學(xué)性能、介質(zhì)受到外部動載作用的規(guī)律研究讓位于應(yīng)力波理論。但二者是相互依賴而發(fā)展，一方面應(yīng)力波理論的發(fā)展必須建立在對材料動態(tài)力學(xué)性能的了解之上；另一方面，材料的動態(tài)力學(xué)性能往往必須通過應(yīng)力波的測試與分析才能得到。應(yīng)

12、力波理論與其它力學(xué)理論的區(qū)別(1)動力學(xué)研究載荷的早期效應(yīng)（瞬時(shí)效應(yīng)，著重研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動和變形等物理量隨時(shí)間的變化過程以及在物理中的傳遞），靜力學(xué)研究的是載荷的后期效應(yīng)（只研究在力的作用下達(dá)到平衡之后的狀態(tài)）；(2)動力學(xué)研究載荷對介質(zhì)的局部效應(yīng)，靜力學(xué)研究載荷對介質(zhì)的整體效應(yīng)；(3)動力學(xué)研究的動載有明顯的耦合效應(yīng)，靜力學(xué)研究的靜載作用于固體的應(yīng)力分布不隨介質(zhì)而變。5 應(yīng)力波理論的發(fā)展線彈性波傳播的數(shù)學(xué)理論早在上個(gè)世紀(jì)中葉由柯西(Cauchy)、泊松(Poisson)、斯托克斯(Stokes)等解決，可直到本世紀(jì)四十年代，由于電子技術(shù)的發(fā)展，人們才直觀地在固體中“看到”波，應(yīng)力波理論才開始在

13、一些工程領(lǐng)域得到應(yīng)用。與此同時(shí)，Donnell、Taylor等人在理論上又發(fā)展了塑性波理論。五十年代前后，考慮應(yīng)變率效應(yīng)的粘塑性波理論又得到了發(fā)展。應(yīng)力波理論特別在地球物理勘探中的“實(shí)時(shí)采集與數(shù)據(jù)處理”技術(shù)得到了迅速發(fā)展。6 應(yīng)力波理論在巖土工程中的應(yīng)用爆破工程、鑿巖工程、樁基工程、巖石動態(tài)力學(xué)、土動力學(xué)、地震工程與抗震工程、地球化學(xué)勘探。第1章 一維應(yīng)力波基礎(chǔ)1.1波動方程及其解1.1.1 一維縱波的波動方程如圖1-1所示，在一等截面的一維桿中取一微段dx，截面面積為A?；炯僭O(shè)為桿的橫截面在變形過程中保持平面，不考慮橫向擴(kuò)展效應(yīng)，桿上只分布沿截面均勻分布的軸向應(yīng)力，因而位移u、工程應(yīng)變、質(zhì)

14、點(diǎn)速度v和應(yīng)力都只是x和t的函數(shù)。其左截面mn與右截面上的作用力F、分別為， 1微元體dx所受的慣性力為：由牛頓定律，得微元體平衡方程即 （1-1）方程1-1是一維縱波的波動方程，c為縱波的波速。1.1.2 波的傳播速度波動方程中的c為稱為波速，（縱波波速）。根據(jù)能量守衡定律和沖量定理可以推導(dǎo)。取一單位面積細(xì)長的桿，一端受到撞擊，撞擊后桿端的初速度為v0，受力為0。經(jīng)過時(shí)間t后，擾動擴(kuò)展到長為l的區(qū)域，在此范圍質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度均為v0，內(nèi)力為0，則時(shí)間t內(nèi)有外力作功擾動區(qū)域的動能擾動區(qū)域的位能根據(jù)能量守衡定律有 （1）根據(jù)沖量定理有 （2）所以有 （3）可見細(xì)長桿受撞擊后，力與質(zhì)點(diǎn)速度v0并非無

15、關(guān)，而是成正比。將（3）式代入（2）式，得到縱波的傳播速度同樣可以彈性橫波的波速以上波速推導(dǎo)中，應(yīng)用了線彈性本構(gòu)關(guān)系，事實(shí)上只要，既應(yīng)力是應(yīng)變的單值函數(shù)，而與應(yīng)變率無關(guān)，波動方程（1-1）就成立。1.1.3 波動方程的解方程（1-1）的解法有分離變量法（駐波法）、積分變換法及行波法等，其中行波法對求解波動方程最為有效。令、，則、，故 （1） （2）將（1）和（2）式代入波動方程，得 （3）對（3）式先對積分，得對（3）式先對積分，得于是有u=f(x+ct)+g(x-ct) （1-2）公式（1-2）是一維波動方程的通解。1.1.4 解的物理意義在某范圍內(nèi)（-l，l）的擾動，在t時(shí)間之后，分為右行

16、波和左行波。右行波的前后沿分別沿著直線和前進(jìn)，而左行波的前后沿分別沿著直線和前進(jìn)，經(jīng)過t時(shí)間之后，分解右行波和左行波的形狀不隨時(shí)間和位置的變化而變化，前進(jìn)的速度均為。1.2 應(yīng)力波的幾個(gè)基本參量右行波u=f(x-ct)：（1）應(yīng)變（2）質(zhì)點(diǎn)速度 2 （1-3）（3）應(yīng)力 （1-4）（4）波阻率：表示單位質(zhì)點(diǎn)速度所需要的應(yīng)力如v=10m/s，（B25釬桿）對于鋼材部分巖石的應(yīng)力波參量如下表所示。部分巖石的應(yīng)力波參量巖石縱波速度m/s巖石比重T/m3波阻率(N/mm2)/(m/s)砂巖140040002.55310頁巖140030002.3037大理巖350060002.65916石英巖50005

17、5002.651316.5板巖350055002.65914.5花崗巖300050002.65813玄武巖450060002.501318巖石的波阻率只有幾到十幾，遠(yuǎn)比鋼材要低，表明巖石中產(chǎn)生單位質(zhì)點(diǎn)速度所需要的應(yīng)力比鋼材中要低得多。1.3 應(yīng)力波的能量一維桿中位能（彈性能） 3一維桿中動能dx微段所具有的總能量為應(yīng)力波的總能量為 （1-5）結(jié)論（1）波動過程中，對任一微段在任一時(shí)刻具有的動能和位能都相等，這是波動和振動的本質(zhì)區(qū)別，一個(gè)作純振動的系統(tǒng)，盡管總能量不變，但總存在著動能和位能的轉(zhuǎn)換。結(jié)論（2）任一微段所具有的總能量是應(yīng)力或應(yīng)變的函數(shù)，應(yīng)力和應(yīng)變是一種波動過程，因此能量也是一個(gè)波動過

18、程，對任一微段來說，其能量是不守衡，沿著波傳播的方向，該段波源獲得能量，使其能量逐漸增大，又逐漸把自身能量傳遞給后面的介質(zhì)，能量隨著波動過程而有規(guī)律地傳播，波動是能量傳遞的一種方式。1.4 波的衰減1.4.1 原因真實(shí)物質(zhì)很少是理想的彈性體，而常常是彈塑性或粘彈性等。當(dāng)波在粘彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，因存在內(nèi)摩擦，將產(chǎn)生能量的損耗；當(dāng)波在熱彈性體中傳播時(shí)，在應(yīng)力波通過時(shí)，固體一部分受壓，另一部分發(fā)生膨脹，壓縮部分溫度升高，膨脹部分溫度降低，這種溫度梯度的出現(xiàn)，將在固體中引起熱的傳遞，并伴隨著不可逆過程的發(fā)生，使應(yīng)力波因熱耗散而發(fā)生衰減?？傊ǖ乃p來源于內(nèi)摩擦和外摩擦的作用：內(nèi)摩擦由材料的粘彈和熱彈性

19、決定；外摩擦決定于材料所處的工作環(huán)境。1.4.2 度量度量波的衰減程度通常采用衰減系數(shù)、損耗因子Q-1。（1）衰減率 振幅衰減率、應(yīng)力衰減率 （1-6）表示應(yīng)力波在單位長度上的振幅衰減。， （1-7）其中，0為在x=0處的應(yīng)力波幅值；為在任一位置x處的應(yīng)力波幅值，相當(dāng)于前面的max。（2）損耗因子Q-1 Q品質(zhì)因素 （1-8）式中 w一次應(yīng)力循環(huán)所損失的能量；w應(yīng)變達(dá)到最大時(shí)所貯存的彈性能。（3）能量衰減率 （1-9）由此可見能量衰減率是振幅衰減率的兩倍。（4）損耗因子Q-1與衰減率的關(guān)系 （1-10）1.4.3 衰減率的測定， （1-11）但在巖土工程中，品質(zhì)因素Q或損耗因子Q-1的應(yīng)用更為

20、普及，大量科研表明損耗因子Q-1對巖石物理性質(zhì)變化的反映比聲速更明顯和可靠。由于衰減系數(shù)在很寬的頻率范圍內(nèi)是線性函數(shù)，因而Q-1與頻率無關(guān)，這時(shí)。損耗因子的測試大多采用頻譜振幅比法，該方法涉及到頻譜分析技術(shù)，比較復(fù)雜。參考應(yīng)用聲學(xué)1987（4）或地震研究1983（4）等有關(guān)文獻(xiàn)。1.5 考慮桿的橫向效應(yīng)的波動方程前面討論的一維應(yīng)力縱波理論都假設(shè)桿的平截面在變形后仍保持平截面，并在平截面上只作用著均勻的軸向應(yīng)力x。這時(shí)實(shí)際忽略了桿中質(zhì)點(diǎn)橫向運(yùn)動的慣性作用，即忽略了桿的橫向收縮或膨脹，因而是一種近似理論，通常稱為初等理論或工程理論。由材料力學(xué)可知，廣義虎克定律如下，當(dāng)一維桿受x作用時(shí)，即y=z=0

21、時(shí)，即，單位體積的平均橫向動能為式中 rg截面對x軸的轉(zhuǎn)動半徑，上面在推導(dǎo)一維波動方程時(shí)，是從分析桿中微段的受力著手，在運(yùn)動著的微元體上作用著一對靜力平衡的力A和一非靜力平衡的力。非靜力平衡的力與微元體的縱向慣性有關(guān)，其所作的功轉(zhuǎn)化為微元體的縱向動能，單位時(shí)間所作的功等于縱向動能的增加率，即整理后，微元桿端的運(yùn)動方程為 （1-12）一對靜力平衡的力A所作的功，在初等理論中全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能。在計(jì)及橫向運(yùn)動的情況下，下可看作由兩部分組成：一部分使微元體應(yīng)變能增加，另一部分轉(zhuǎn)變成了桿的橫向動能。這樣，就單位時(shí)間、單位體積而言，有 （1-13）當(dāng)橫向動能相關(guān)的第二項(xiàng)可忽略時(shí)，上式可以作這樣的理解：在考

22、慮了橫向慣性后，Hook定律應(yīng)被上式所表示的新的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系所代替。既然橫向修正項(xiàng)與成正比，顯然只有在載荷隨時(shí)間有十分顯著變化的情況下，這一修正才是必要。將（1-13）式代入（1-12）式，并將代入，得 （1-14）與（1-1）對照可知，等號右邊的第二項(xiàng)代表橫向慣性效應(yīng)，有了這一項(xiàng)，桿中的彈性縱波將不再如初等理論中那樣恒速傳播，而是對不同頻率f（或波長）的諧波將以不同的波速（相速）c傳播。取，式中k為波數(shù)，；c為相速度，代入式（1-14），得化簡得令，（相對波速），則當(dāng)時(shí)，近似有對于半徑為R的圓柱桿，得 （1-15）式（1-15）是考慮橫向慣性修正的Rayleigh近似解。當(dāng)時(shí)，可不考慮橫向效

23、應(yīng)，對圓截面桿，有，=0.29，即由式（1-15）可知，高頻波（短波）的傳播速度低，而低頻波（長波）的傳播速度較高。對于線彈性波來說，既然任意波形的波總可看作由不同頻率的諧波分量迭加組成，而不同頻率的諧波分量現(xiàn)在將各自按自己的相速傳播，因此波形不能再保持原形而必定在傳播過程中分散開來，即發(fā)生所謂波的彌散，又叫幾何彌散，不同于非線性本構(gòu)彌散和粘性彌散。1.6 桿中的扭轉(zhuǎn)波與彎曲波桿中的橫波包括扭轉(zhuǎn)波和彎曲波。1.6.1 扭轉(zhuǎn)波桿中的扭轉(zhuǎn)波波動方程的推導(dǎo)與縱波波動方程（1-1）完全類似，形式也相同。 （1-16）ct為彈性扭轉(zhuǎn)波波速，與無限介質(zhì)中的剪切波波速相一致。因?yàn)椋?00.5，所以，即縱波傳

24、播速度是扭轉(zhuǎn)波或剪切波的1.41.7倍。鋼材中的縱波速度為5100m/s，而剪切波為3220m/s。需要指出的是：在圓截面桿中，不同頻率的扭轉(zhuǎn)波都以相同的相速，不發(fā)生彌散現(xiàn)象。1.6.2 彎曲波桿中的彎曲波波動方程為 （1-17）彎曲波的波速是變化的，波形也是變化，是一種比較復(fù)雜的波。不作要求。第2章 二維和三維彈性波理論基礎(chǔ)2.1 彈性體的運(yùn)動微分方程仍采用線彈性假設(shè)和小位移假設(shè)，則彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程都將不變。幾何方程，物理方程其中，將幾何方程代入物理方程得出用位移表示應(yīng)力分量的彈性方程但是波動問題中微元體的慣性是不可忽略，因而靜態(tài)平衡微分方程用運(yùn)動方程代替，即在平衡微分方程中加

25、上慣性項(xiàng)。同時(shí)在波動問題中，一般體積力是可以忽略，因而具有如下的運(yùn)動微分方程（靜力平衡方程運(yùn)動微分方程）。 （2-1a） （2-1b） （2-1c）將上式應(yīng)力分量用位移分量表示，即將（3）式代入式（2-1），得式中，、是拉密首先用來表示物理彈性的的兩個(gè)常數(shù)，因而稱為拉密（梅）常數(shù)。2.2 彈性體的無旋波與等容波運(yùn)動方程或波動方程（2-2）的通解是難以獲得，現(xiàn)作如下處理。 （2-2a） （2-2b） （2-2c）2.2.1 無旋波(縱波、P波)將式（2-2）兩邊分別對x、y、z微分，然后相加，得 （2-3）改寫后，得因方程（2-3）或（2-4）中僅含體積應(yīng)變，而不含旋轉(zhuǎn)擾動，因而稱為無旋波或膨脹

26、波，也就是通常所說的縱波或P波。無旋波也可以通過位移勢函數(shù)滿足、來求得。2.2.2 等容波(橫波、S波)將式（2-2b）對x微分減去式（2-2a）對y微分，得令，有在彈性體中的任意一點(diǎn)，是x方向的線段繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，而是y方向的線段繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，因而是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角的平均值，可以表示彈性體在該點(diǎn)的繞z軸的旋轉(zhuǎn)量。作相應(yīng)處理后，得因方程（2-5）只有旋轉(zhuǎn)量，而沒有體積應(yīng)變e，故稱為等容波，也就是通常所說的橫波或S波。其中。等容波也可以通過令=0代入式（2-2）來求得。2.3 平面波的傳播波前為平面的波稱為平面波。當(dāng)觀察區(qū)域與波源相距很遠(yuǎn)時(shí)，波前的曲率半徑為無窮大，波前可以當(dāng)作平面處理。平面波僅有兩

27、種形式?？v波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向平行于波的傳播方向，又稱為P波；橫波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向垂直于波的傳播方向，又稱為S波。2.3.1 平面縱波(V/c)（1）波動方程將波的傳播方向取為x軸，則彈性體的位移分量可表示為，v=w=0由此可以得出、代入波動方程（2-2），其中式（2-2b）、（2-2c）為恒等式，而式（2-2a）為該方程的形式與一維桿中的縱波的初等理論的波動方程相一致，但那是一維應(yīng)力問題，而現(xiàn)在討論的平面縱波實(shí)際是一維應(yīng)變問題。平面縱波的v=w=0、，相當(dāng)于在與波的傳播方向（x軸）相垂直的方向物體的橫向尺寸有無限大，以致于阻礙了任何橫向運(yùn)動。波動方程（2-6）的通解為u=u1+u2=f1(x-c1t)

28、+f2(x+c1t)考慮一個(gè)右行波（2）應(yīng)力狀態(tài)平面縱波中只有、，體積應(yīng)變，代入2-1中的物理方程，得由此可知，由于側(cè)向應(yīng)力y、z的存在，平面縱波實(shí)際上處于三向應(yīng)力狀態(tài)。2.3.2 平面橫波(Vc)將波的傳播方向取為x軸，位移方向與y軸一致，則彈性體的位移分量可表示為，u=w=0由此可以得出e=0、代入波動方程（2-2），其中式（2-2a）、（2-2c）為恒等式，而式（2-2b）為波動方程（2-8）的通解v=v1+v2 =f1(x-c2t)+f2(x+c2t)考慮一個(gè)右行波與之相應(yīng)的平面橫波只有一個(gè)應(yīng)變分量xy和一個(gè)應(yīng)力分量xy其余應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均為零。與位移相應(yīng)，彈性體中的質(zhì)點(diǎn)沿y方向的

29、速度分量為而彈性體中的質(zhì)點(diǎn)沿x方向、z方向的速度分量均為零。由本節(jié)和上一章有關(guān)公式，注意到應(yīng)變分量與質(zhì)點(diǎn)速度分量的關(guān)系不因波的類型變化而變化，只是比例系數(shù)即波速發(fā)生改變。2.4 薄板中的應(yīng)力波2.4.1 控制方程運(yùn)動方程幾何方程，物理方程或 將物理方程代入運(yùn)動方程并利用幾何方程，得波動方程 （2-9a） （2-9b）式中，。2.4.2 縱波只有、，而xy=0或。將波動方程（2-9a）對x求導(dǎo)，方程（2-9b）對y求導(dǎo)，然后相加，得化成改寫為 （2-10）其中，。2.4.3 橫波令、，xy0，則，則波動方程（2-9）變?yōu)?（2-11）其中。兩式合并，得2.4.4 各種波速關(guān)系（1）一維桿中縱波波

30、速（2）二維薄板中縱波波速（3）三維彈性體的縱波波速（平面縱波是特例）（4）桿中扭轉(zhuǎn)波波速ct、二維薄板中的橫波波速cs、三維彈性體的橫波波速（平面橫波是特例）c2對于一般材料有00.5，顯然c2c0cd，并有，cdc1故c2c0cdc1也就是說橫波的傳播速度不隨物理所占空間的維數(shù)的多少而變化，波速值也是最??；而彈性縱波的傳播速度卻與物理所占空間的形式（維數(shù)）相關(guān)，彈性縱波的傳播速度隨物理所占維數(shù)增加而提高。2.5 球面波（參見固體中的應(yīng)力波3-4、P20-24，應(yīng)力波基礎(chǔ)第八章）爆炸或高度集中的沖擊荷載產(chǎn)生的非平面波，在實(shí)際應(yīng)用中有重要的作用。球面波與平面波的顯著區(qū)別是隨著波的傳播，其波前表

31、面積成幾何增長，從而迅速地改變波形中應(yīng)力分布。2.5.1 波動方程及其解球面波在介質(zhì)中傳播時(shí)，其位移存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，滿足，于是，將上式代入式（2-2），得球面波的波動方程 （2-12）設(shè)方程（2-12）的解為其中，r是任意點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑，于是有 （2-13）有 （2-14）同樣 （2-15） （2-16）將式（2-14）、式（2-15）、式（2-16）代入式（2-12），得 （2-17）或 （2-18）式（2-18）為球面彈性波的波動方程，解可寫成 （2-19）式中、為任意函數(shù)。是由原點(diǎn)向外傳播的擾動，波速為c1；是向著原點(diǎn)傳播的擾動，波速為c1。附注：（1）P20倒數(shù)第三式有誤，應(yīng)為，

32、式（3-29）中c1差一個(gè)平方。（2）P23的圖3-4并不是波前的應(yīng)力歷程圖，而是波前經(jīng)過某球面以后，該面上的應(yīng)力歷程圖；（3）該圖縱坐標(biāo)乘上了系數(shù)，同一張圖上不同曲線不能比較大小。（4）對同一條曲線而言，其橫坐標(biāo)上的r是不變的，即只有t在變，但不同曲線的r不相同。2.6 柱面波（參見固體中的應(yīng)力波3-5、P24-27，應(yīng)力波基礎(chǔ)第八章P194-195）對應(yīng)力狀態(tài)的分析，同樣要注意球面波的三個(gè)注意點(diǎn)。第3章 應(yīng)力波的相互作用3.1 一維應(yīng)力波在界面的反射和透射應(yīng)力波如其它波一樣，在介質(zhì)密度、彈性模量或截面積有顯著變化的界面上，會發(fā)生反射和透射。如圖細(xì)長桿中的縱波，經(jīng)過波阻突變的界面，會產(chǎn)生透射

33、波和反射波。（入射：incident；反射：reflect；透射：transmission）界面處應(yīng)滿足邊界條件：（1）作用力等于反作用力；（2）界面處的質(zhì)點(diǎn)速度相等。有且令，解得 （3-1a） （3-1b）和 （3-2a） （3-2b） （3-3a） （3-3b）式中，、。通常將和f分別稱為透射系數(shù)和反射系數(shù)，也將T和Q稱為透射系數(shù)和反射系數(shù)。顯然，有表明透射波等于入射波和反射波之和。分兩種情況討論。3.1.1 應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射設(shè)A1=A2，1c12c2，此時(shí)有 （3-4a） （3-4b）（1）因?yàn)?，故透射波與入射波具有相同性質(zhì)，即壓應(yīng)力波透射后仍為壓應(yīng)力波；拉應(yīng)力波透射后

34、仍為拉應(yīng)力波。f的正負(fù)取決于兩種介質(zhì)波阻率的相對大小。（2）當(dāng)R1，即2c21c1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由“軟”材料進(jìn)入“硬”材料。這時(shí)有f 0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力同號（反射加載）；1，T1，透射波應(yīng)力強(qiáng)于入射波應(yīng)力，質(zhì)點(diǎn)速度小于入射波的質(zhì)點(diǎn)速度；特殊情況下，當(dāng)R（2c2）時(shí)，相當(dāng)于彈性波在剛性壁的反射。這時(shí)，有=1、f=1，T=0、Q=-1。剛性壁上v=0、=2i，速度為零，應(yīng)力加倍。（3）當(dāng)R1，即2c21c1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由“硬”材料進(jìn)入“軟”材料。這時(shí)有f0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力異號（反射卸載）；1，透射波應(yīng)力弱于入射波應(yīng)力，質(zhì)點(diǎn)速度高于入射波的質(zhì)點(diǎn)速度；特殊情況下，當(dāng)R0（2c20

35、）時(shí)，相當(dāng)于彈性波在自由端的反射。這時(shí)有=0、f=-1，T=2、Q=1。自由端上v=2vi、=0，速度加倍，應(yīng)力為零?？梢?，應(yīng)力波的應(yīng)力在剛性壁的傳播特性與應(yīng)力波的質(zhì)點(diǎn)速度在自由端的傳播特性相同。（4）阻抗匹配兩種不同介質(zhì)，即使、c各不相同，但只要波阻率相同，即2c2=1c1，R=1時(shí)，f=0，即彈性波在通過這兩種介質(zhì)的界面時(shí)將不產(chǎn)生反射，稱為阻抗匹配。在鑿巖工程中，為了提高鑿巖機(jī)的能量利用率，要求釬具與巖石阻抗匹配；在爆破工程中，為了提高炸藥的能量利用率，要求炸藥與巖石阻抗匹配。以上幾種情況如下表所示。應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射(A1=A2，R=2c2/1c1)r/it/ivr/viv

36、t/viR0-10120R1(0，1)(1，2)(-1，0)(0，1)R12-103.1.2應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射設(shè)A1A2，1c1=2c2，此時(shí)有 （3-5a） （3-5b） （3-6a） （3-6b）（1）因?yàn)門0，故透射波與入射波具有相同性質(zhì)（同號）。f或Q的正負(fù)取決于A1、A2的相對大小。（2）當(dāng)R1，即A2A1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由小截面進(jìn)入大截面。這時(shí)，有f0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力同號（反射加載）；1，即透射波的總力Ft卻大于入射波的總力Fi。（3）當(dāng)R1，即A2A1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由大截面進(jìn)入小截面。這時(shí)，有f1，因而透射波應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度都將高于入射波的相應(yīng)的值；但1，即透

37、射波的總力Ft卻小于入射波的總力Fi?？梢?，大軸一端受沖擊時(shí)，另一端如有一小軸相連，將起到“捕波器”的作用。不過，當(dāng)時(shí)，T2，所以應(yīng)力波每通過一個(gè)截面積間斷時(shí)，單級應(yīng)力放大倍數(shù)的極阻為2。注意：由于截面積引起波阻的變化與由于界面性質(zhì)引起的波阻的變化而導(dǎo)致的透射應(yīng)力波相對于入射應(yīng)力波的強(qiáng)弱變化不同。以上幾種情況如下表所示。應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射(1c1=2c2，R= A2/ A1)r/ivr/vit/i，vt/viR0-1020R1(0，1)(-1，0)(0，1)R1-103.2 兩桿相撞的入射波如圖，設(shè)兩彈性桿B1、B2的波阻分別為m1、m2，以V1V2的勻速運(yùn)動飛行，在t0=0時(shí)相撞

38、，撞擊后，在撞擊面產(chǎn)生一擾動，擾動在B1桿中產(chǎn)生一左行波，在B2桿中產(chǎn)生一右行波。撞擊面滿足作用力相等（作用力等于反作用力）、質(zhì)點(diǎn)速度相等（速度連續(xù)條件），有， （3-7）即令，解得、 （3-8）和、 （3-9）= （3-10）式中，稱為撞擊系數(shù)。討論幾種特殊情況。（1）當(dāng)V2=0，V1=V沖時(shí)，相當(dāng)于活塞撞擊釬桿的情況。、 （3-11）式中，。這就象有一個(gè)入射波從B1桿傳到B2桿里去一樣，只不過是這一入射波的狀態(tài)為、。也就是說，撞擊相當(dāng)于整個(gè)沖擊速度一半的波從一桿向另一桿透射了，可以這樣理解，具有整體速度V沖的B1桿可看著一個(gè)右行波（，）和一個(gè)左行波（，）的合成作用，撞擊時(shí)，右行波透過撞擊面

39、到B2桿里去了，故和波的透射有相同特性。（2）當(dāng)兩彈性桿B1、B2材料相同，截面相同時(shí)，即A11c1=A22c2=Ac，m1=m2，R=1時(shí)、 （3-12）和，=如果V2=-V1，則v1=-V1，v2=V1，v1+ V1= v2+ V2=0可見兩根相同的細(xì)桿對撞后速度為零，但受力卻不為零。（3）當(dāng)A22c2、v2=0時(shí)，即B1桿撞擊剛壁。v1=-V1，v2=0可見與A11c1=A22c2=、V2=-V1結(jié)果相同。3.3 傳播圖與狀態(tài)圖3.3.1傳播圖傳播圖表示波陣面?zhèn)鞑サ能壽E，傳播圖是以時(shí)間t和位置x作坐標(biāo)，對線彈性波波速c為常數(shù)，因而波陣面?zhèn)鞑ボ壽E稱為傳播線，也叫特征線。傳播線可分為右行波傳

40、播線和左行波傳播線。如圖3-3所示。傳播線的上方是波已到達(dá)過的地方，傳播線的下方為波未到達(dá)的地方。圖的上方分別繪出了t1、t2時(shí)刻的應(yīng)力分布圖。左、右行波傳播線將x-t平面劃分成四個(gè)區(qū)域0、1、2、3。每一區(qū)域的波動參數(shù)、v或、v相同。在有界面的桿中，波陣面遇到界面便產(chǎn)生透射和反射。當(dāng)界面兩側(cè)介質(zhì)性質(zhì)相同，只是截面面積發(fā)生變化時(shí)，透射波的傳播線為入射波的傳播線的延長，反射波的傳播線為入射波的傳播線的從界面處折回，其斜率改變符號。如圖3-4中繪出了A、B兩波遇到界面產(chǎn)生的透、反射波的傳播線，這些傳播線將x-t平面劃分成六個(gè)區(qū)域。應(yīng)當(dāng)注意，界面本身不能分割區(qū)域，一個(gè)區(qū)域可跨在界面的兩側(cè)，即界面兩側(cè)

41、可以有相同的波動參數(shù)。3.3.2 狀態(tài)圖狀態(tài)圖是以力F和質(zhì)點(diǎn)速度v構(gòu)成的平面圖，表示了傳播圖中各區(qū)間的波動狀態(tài)，揭示了傳播圖中相連區(qū)間（傳播線兩側(cè)）波動參數(shù)的相互關(guān)系。傳播圖中每一區(qū)間對應(yīng)于狀態(tài)圖中一個(gè)點(diǎn)（狀態(tài)點(diǎn)）。如果一個(gè)區(qū)間的狀態(tài)是Fx、vx，現(xiàn)有一狀態(tài)為、的波從相鄰區(qū)間越過一條傳播線到達(dá)該區(qū)間，就相當(dāng)于狀態(tài)為、的波疊加到狀態(tài)是Fx、vx上來。將、的波叫疊加波，原狀態(tài)為Fx、vx的波叫被疊加波。設(shè)疊加波、為一個(gè)右行波，則、故即 （3-13a）設(shè)疊加波、為一個(gè)左行波，同理有 （3-13b）以上兩式實(shí)際上是F-v平面上的一對直線，都過點(diǎn)（Fx，vx）具有斜率m，這兩條直線稱為相鄰區(qū)間的表征線。

42、疊加波為右行波時(shí)，表征線的斜率為-m，疊加波為左行波時(shí)，表征線的斜率為+m，如圖3-5中的01、02兩線分別為波和左行波的表征線。由此可知，傳播圖中由傳播相隔的兩相鄰區(qū)間，如果由一區(qū)間越過傳播線進(jìn)入另一區(qū)間，就意味著由波前越過波陣面進(jìn)入到波后，也就是原來的狀態(tài)上又疊加了一個(gè)波。式（3-13a）、（3-13b）說明了相鄰區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)必然在同一條表征線上，這是一個(gè)十分重要的性質(zhì)。后面講到的圖解法就是憑借這一性質(zhì)得到的。上面的性質(zhì)表明，在傳播圖中由一個(gè)已知狀態(tài)的區(qū)間，跨越一條傳播線到相鄰的區(qū)間時(shí)，在相應(yīng)的狀態(tài)圖上，就是由一已知的狀態(tài)點(diǎn)沿著表征線向相鄰的狀態(tài)點(diǎn)轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移到表征線上的具體位置還需要根據(jù)另

43、一條件決定。這另一條件可以是相鄰另外一個(gè)相鄰區(qū)間的表征線，由兩條表征線相交可確定未知區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)；而對于邊界上的區(qū)間，可以利用初始條件或邊界條件作為另一條件來確定待定區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)。圖3-5為與圖3-3相對應(yīng)的狀態(tài)圖。假設(shè)區(qū)間0的狀態(tài)已知為F0、v0，在狀態(tài)圖上對應(yīng)于0（F0，v0）點(diǎn)。在0點(diǎn)可以作右行疊加波和左行疊加波的表征線01和02。狀態(tài)點(diǎn)1、2必然位于這兩條表征線上，但要具體定出這兩點(diǎn)還必須根據(jù)邊界條件。譬如若F2、v1為已知的邊界條件，在橫坐標(biāo)v1處作垂直線與右行波表征線01相交得到狀態(tài)點(diǎn)1；在縱坐標(biāo)F2處作水平線與表征線02相交得到狀態(tài)點(diǎn)2。已知狀態(tài)點(diǎn)1、2之后，再從狀態(tài)點(diǎn)2作右行波

44、表征線23與從狀態(tài)點(diǎn)1作左行波表征線13相交得到狀態(tài)點(diǎn)3。圖3-6為與圖3-4相對應(yīng)的狀態(tài)圖。假設(shè)區(qū)間0的初始狀態(tài)已知為F0、v0，在狀態(tài)圖上對應(yīng)于0（F0，v0）點(diǎn)。過0點(diǎn)可以作右行疊加波的表征線01和左行疊加波的表征線02，注意使0、1區(qū)間相隔的傳播線位于左半桿上，因而表征線01的斜率為-m左，表征線02的斜率為+m右。若已知區(qū)間1、2的邊界條件為v1、v2，那么從橫坐標(biāo)v1、v2處作垂直線與表征線相交可得狀態(tài)點(diǎn)1、2。從傳播圖3-4可知，區(qū)間3和已知區(qū)間0、2相鄰，區(qū)間0越過左行波傳播線到右邊的區(qū)間3，相當(dāng)于在區(qū)間0上疊加了一個(gè)左行波，故從0作左行波的表征線03，斜率為+m左（傳播線位于

45、左半部），從2作右行波的表征線23，斜率為-m右，03、23相交得到狀態(tài)點(diǎn)3，同樣由14、34表征線相交得到狀態(tài)點(diǎn)4，由35、45表征線相交得到狀態(tài)點(diǎn)5。依此類推，所有區(qū)間狀態(tài)都能被解算出來。各區(qū)間狀態(tài)點(diǎn)確定后，從傳播圖上作時(shí)間剖面，可以得到波形圖；作位置剖面，可以得到任一點(diǎn)的時(shí)程圖或振動圖。3.4 彈性桿中波的傳播（圖解法舉例）3.4.1 沖錘撞擊桿件應(yīng)力波的傳播作為典型例子，求解沖錘撞擊桿件應(yīng)力波的傳播。設(shè)，由式（3-11），得同理3.4.2 雙圓柱活塞撞擊釬桿應(yīng)力波傳播如圖3-10，雙圓柱活塞以平均速度撞擊一靜止的釬桿，有，一般地有、，故有6種斜率的表征線，分別為、（+不存在，實(shí)際上只有

46、5種斜率的表征線），分3組繪于圖3-10的上方。為頭部斜率；為柄部斜率；為釬桿斜率。活塞以平均速度撞擊一靜止的釬桿。撞擊前的0、0區(qū)間不受力，故0、0在狀態(tài)圖上對應(yīng)于v軸的和原點(diǎn)。區(qū)間a與0、0相鄰，過0點(diǎn)作斜率為-mR的右行疊加波的表征線與過0點(diǎn)作斜率為ms的左行波的表征線相交，得到區(qū)間a對應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)。同樣，與區(qū)間b相鄰的有區(qū)間0、a，過0點(diǎn)作斜率為mh的左行波的表征線與過a點(diǎn)作斜率為-ms的右行波的表征線相交，得到區(qū)間b對應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)b。依此類推，可以求出傳播圖中任一區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)。獲得傳播圖中各區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)后，就可以繪出撞擊系統(tǒng)中任一截面的受力歷程圖。如為了了解撞擊面的力的變化情況，在傳播圖

47、上作III剖面，可繪出該剖面的力時(shí)間圖。例如在區(qū)間a，F(xiàn)R1=F（a）；在區(qū)間l，F(xiàn)R2=F（l），如圖3-12實(shí)線所示。同樣可以求出活塞頭柄截面的受力歷程圖3-12虛線所示。撞擊面的作用力歷程圖實(shí)際上是雙圓柱活塞撞擊釬桿的入射波形。下面求解各階應(yīng)力的大小。由式（3-11），得再由幾何關(guān)系可以求出其它各階應(yīng)力的大小。比較圖3-11中線段0a和折線0ba在橫軸上的投影，得整理，得比較線段0l、0a、ab、bl在橫軸上的投影，得整理，得假設(shè)現(xiàn)有一與頭部具有相同波動慣量的單圓柱活塞直接以速度VP撞擊釬桿，如圖。則=式中，、）。而雙圓柱活塞的最大力，有=一般、，故0，如果有一與柄部具有相同波動慣量的單

48、圓柱活塞直接以速度VP撞擊釬桿，如圖。則故由此可以看出雙圓柱活塞的入射應(yīng)力波形有如下特點(diǎn)。（1）階梯波，持續(xù)時(shí)間為、。（2）最大值為二階應(yīng)力，以后總體衰減不單調(diào)。（3）最大值大于柄部具有相同波動慣量的單圓柱活塞的最大值；小于與頭部具有相同波動慣量的單圓柱活塞的最大值。3.5 平面波的邊界效應(yīng)3.5.1 平面波在界面上的垂直入射在界面處滿足即得其中，。不同界面條件，有（1）當(dāng)，R00時(shí)，即自由面反射，有、；（2）當(dāng)，R0時(shí)，即剛壁反射，有、?？梢?，平面縱波在垂直界面的反射和透射特性與一維應(yīng)力波在界面的反射和透射特性相同。平面橫波在垂直界面的反射和透射特性與平面縱波完全類似。3.5.2 平面波在界面上的傾斜入射一個(gè)平面縱波Pi入射到兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，將產(chǎn)生反射縱波Pr和反射橫波SVr，同時(shí)產(chǎn)生透射縱波Pt和透射橫波SVt。同樣，一個(gè)平面橫波SVi入射到兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，也將產(chǎn)生Pr、SVr、Pt、SVt。根據(jù)邊界上的連續(xù)條件和作用力與反作用力相等條件，可得x、y兩個(gè)方向的四個(gè)等式求解四個(gè)未知數(shù)。界面上的入射、反射和透射波滿足光學(xué)中的Snell定律，有其中，、，故、特殊情況下，當(dāng)時(shí)，即（1