隱函數(shù)與參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)

1、1,第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以有多種表示方式.,1、隱函數(shù)的定義,常見的表示方式為,上述函數(shù)稱為顯式函數(shù).,體現(xiàn).,可以確定函數(shù),2,定義,隱函數(shù). 因?yàn)?注：并不是所有的方程都可以確定隱函數(shù)的.,一個(gè)方程能確定隱函數(shù)是需要滿足一定條件的.,例如,3,部分隱函數(shù)可以顯化，即從方程中解出 y(x) 的表達(dá)式.,但許多隱函數(shù)不易或者不能顯化.,例如：,問題: 如何求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？,（這里假設(shè)隱函數(shù)存在且可導(dǎo)，至于隱函數(shù)存在且,可導(dǎo)所需的條件，下學(xué)期學(xué)習(xí).）,情形1: 隱函數(shù)可以顯化,顯化后求導(dǎo)即可.,情形2: 隱函數(shù)無法顯化,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法

2、則求導(dǎo).,4,例1,解,上述方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得,5,例1,解,上述過程亦可如下表述：,方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，,注意y是x的函數(shù),6,隱函數(shù)求導(dǎo)法則,思想:,從中解出 即可.,應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程關(guān)于x進(jìn)行求導(dǎo) ，,例2,解,方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù))，得,解得,7,例3,解,所以所求切線方程為：,方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得,8,例4,解,由例2得，,9,例4,另解,原方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得,上式兩邊繼續(xù)關(guān)于x求導(dǎo)，得,10,二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,方法：,先對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn),然后,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法求得導(dǎo)數(shù).,回顧對(duì)數(shù)性質(zhì)：,對(duì)數(shù)恒等式,11,例5,解,等式兩邊

3、取對(duì)數(shù),化簡(jiǎn),12,所以,說明：,13,例5,解,等式兩邊取對(duì)數(shù),化簡(jiǎn)得,14,例6,解,等式兩邊取對(duì)數(shù),化簡(jiǎn),15,例5,解,等式兩邊取對(duì)數(shù),化簡(jiǎn),注意：需把 y 換回成原來表達(dá)式.,勿丟,16,例6,本題常見問題：,1、為取對(duì)數(shù)而取對(duì)數(shù),沒有任何化簡(jiǎn).,比原式更繁.,2、雖然進(jìn)行了化簡(jiǎn),但沒有化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)單,就急著求導(dǎo).,17,例7,解,等式兩邊取對(duì)數(shù)得,另解,18,例8,解,等式兩邊取對(duì)數(shù)得,19,作業(yè),20,知識(shí)回顧,1、隱函數(shù)求導(dǎo)法則,2、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,方法：,先對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn),然后,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法求得導(dǎo)數(shù).,適用題型：,由多個(gè)初等函數(shù)通過乘、除、乘方、開方運(yùn),算所構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)和冪指函數(shù).,21,例9,解,等式兩邊取對(duì)數(shù)得,22,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則可得,即,則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程確定的參數(shù)式函數(shù).,23,即,勿丟,注：書上那個(gè)很復(fù)雜的公式不用去記憶.,24,例10,解,則是錯(cuò)解，因?yàn)檫@樣是對(duì)參數(shù) t 求導(dǎo)而非對(duì)自變量 x