2020年湘教版九年級數學上冊 2.5一元二次方程的應用 教案.doc

1、25一元二次方程的應用第1課時一元二次方程的應用(1)教學目標【知識與技能】使學生會用列一元二次方程的方法解應用題【過程與方法】讓學生在經歷運用一元二次方程解決一些代數問題的過程中體會一元二次方程的應用價值【情感態(tài)度】在應用一元二次方程的過程中，提高學生的分析問題、解決問題的能力【教學重點】建立一元二次方程模型解決一些代數問題【教學難點】把一些代數問題化歸為解一元二次方程的問題教學過程一、情景導入，初步認知列方程解應用問題的步驟是什么？審題，設未知數，列方程，解方程，答【教學說明】七年級學過一元一次方程的應用，實際上是據實際題意，設未知數，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決但有的實際問題

2、，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，這就是我們本節(jié)課所研究的問題，一元二次方程的應用二、思考探究，獲取新知1某省農作物秸稈資源巨大，但合理使用量十分有限，因此該省準備引進適用的新技術來提高秸稈的合理使用率，若今年的使用率為40%，計劃后年的使用率達到90%，求這兩年秸稈使用率的年平均增長率(假設該省每年產生的秸稈總量不變)分析：由于今年到后年間隔兩年，所以問題中涉及的等量關系是：今年的使用率(1年平均增長率)2后年的使用率解：設這兩年秸稈使用率的年平均增長率為x，則根據等量關系，可列出方程：40%(1x)290%解得：x150%，x22.5根據題意可知：x50%答：這兩年秸稈使用率的

3、平均年增長率為50%.2為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元求平均每次降價的百分率分析：問題中涉及的等量關系是：原價(1平均每次降價的百分率)2現(xiàn)在的售價解：設平均每次降價的百分率為x，則根據等量關系，可列出方程：100(1x)281解得：x110%，x21.9根據題意可知：x10%答：平均每次降價的百分率為10%.3“議一議”運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟有哪些？【歸納結論】運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟：分析實際問題建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的檢驗實際問題的解【教學說明】使學生感受、明白利用一

4、元二次方程解決實際問題的過程與方法三、運用新知，深化理解1見教材P50例2.2一件商品的原價是121元，經過兩次降價后的價格為100元如果每次降價的百分率都是x，根據題意列方程得_【答案】121(1x)21003某小區(qū)2013年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2015年屋頂綠化面積要達到2880平方米如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是多少？分析：本題需先設出這個增長率是x，再根據已知條件找出等量關系列出方程，求出x的值，即可得出答案解：設這個增長率是x，根據題意得：2000(1x)22880解得：x120%，x2220%(舍去)故答案為：20%.4某電腦公司2012年的各項經

5、營收入中，經營電腦配件的收入為600萬元，占全年經營總收入的40%，該公司預計2014年經營總收入要達到2160萬元，且計劃從2012年到2014年，每年經營總收入的年增長率相同，問2013年預計經營總收入為多少萬元？解：設每年經營總收入的年增長率為a.列方程，60040%(1a)22160解方程，a10.2，a22.2，(不符合題意，舍去)每年經營總收入的年增長率為0.2，則2013年預計經營總收入為：60040%(10.2)60040%1.21800答：2013年預計經營總收入為1800萬元5將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少1

6、0個，若這種商品漲價x元，則可賺得y元的利潤(1)寫出x與y之間的關系式；(2)為了賺得8000元利潤，售價應定為多少元，這時應進貨多少個？解(1)商品的單價為50x元，每個的利潤是(50x)40元，銷售量是50010x個，則依題意得y(50x)40(50010x)，即y10x2400x5000.(2)依題意，得10x2400x50008000.整理，得x240x3000.解得x110，x230.所以商品的單價應定為501060(元)或503080(元)當商品的單價為60元時，其進貨量只能是5001010400(個)；當商品每個單價為80元時，其進貨量只能是5001030200(個)6“國運興

7、衰，系于教育”下圖中給出了我國從19982002年每年教育經費投入的情況(1)由圖可見，19982002年的五年內，我國教育經費投入呈現(xiàn)出_趨勢；(2)如果我國的教育經費從2002年的5500億元增加到2004年的7920億元，那么這兩年的教育經費平均年增長率為多少？解：(1)上升或增長(2)設平均每年增長率為x.依題意，5500(1x)27920解得x10.220%，x22.2(不合題意，舍去)答：這兩年的教育經費平均年增長率為20%.【教學說明】進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途四、師生互動、課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表

8、進行總結教師作以補充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題2.5”中第1、2題教學反思一元二次方程的應用增長率及利潤問題與我們的生活密切相關，在解決增長率問題時，要弄清關鍵詞語的含義和有關數量間的關系，掌握其規(guī)律，還應注意各種數據變化的基礎，針對本節(jié)課的內容，制作了多媒體教學課件，讓學生在探討、練習中完成所學內容本節(jié)課中，同學們能積極投入到課堂教學中，認真思考、討論，踴躍發(fā)言，課堂氣氛活躍，在個別問題的回答上，學生大膽發(fā)言，配合默契，達到了積極的教學效果第2課時一元二次方程的應用(2)教學目標【知識與技能】會建立一元二次方程的模型解決實際問題，并能根據具體問題的實際意義，對方程解的合理性作出解釋【過程與

9、方法】進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學生用數學的意識【情感態(tài)度】讓學生進一步感受一元二次方程的應用價值，提高學生的數學應用意識【教學重點】應用一元二次方程解決實際問題【教學難點】從實際問題中建立一元二次方程的模型教學過程一、情景導入，初步認知復習列方程解應用題的一般步驟：(1)審題：仔細閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知數、未知數以及它們之間的關系；(2)設未知數：用字母(如x)表示題中的未知數，通常是求什么量，就設這個量為x；(3)列方程：根據題中已知量和未知量之間的關系列出方程；(4)解方程：求出所給方程的解；(5)檢驗：既要檢驗所求方程的

10、解是否滿足所列出的方程，又要檢驗它是否能使實際問題有意義；(6)作答：根據題意，選擇合理的答案2說一說，矩形的面積與它的兩鄰邊長有什么關系？【教學說明】復習相關知識，為本節(jié)課的學習作準備二、思考探究，獲取新知1思考：如圖，在一長為40cm，寬為28cm的矩形鐵皮的四角截去四個全等的小正方形后，折成一個無蓋的長方體盒子，若已知長方體盒子的底面積為364平方厘米，求截去的四個小正方形的邊長(1)引導學生審題，弄清已知數、未知數以及它們之間的關系；(2)確定本題的等量關系是：盒子的底面積盒子的底面長盒子的底面寬；(3)引導學生根據題意設未知數；(4)引導學生根據等量關系列方程；(5)引導學生求出所列

11、方程的解；(6)檢驗所求方程的解的合理性；(7)根據題意作答【教學說明】設未知數和作答時都不要漏寫單位，是多項式時要加括號再寫單位2如圖，一長為32m，寬為20m的矩形地面上修建有同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下部分進行了綠化，若已知綠化面積為540m2，求道路的寬分析：本題考查了一元二次方程的應用，這類題目體現(xiàn)了數形結合的思想，如圖，需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進而即可列出方程，求出答案還要注意根據題意考慮根的合理性，從而確定根的取舍本題可設道路寬為x米，利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，如此一來，所有草坪面積之和就變?yōu)榱?32x)(20x)平方米2，進而即可列出方程，求出答案

12、解：設道路寬為x米(32x)(20x)540解得：x12，x250(不合題意，舍去)x2答：道路寬為2米3如圖所示，在ABC中，C90，AC6cm.BC8cm，點P沿AC邊從點A向終點C以1cm/s的速度移動，同時點Q沿CB邊從C向終點B以2cm/s的速度移動，且當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止移動，問點P、Q出發(fā)幾秒后，可使PCQ的面積為9cm2?解：設xs后，可使PCQ的面積為9cm2.由題意得，APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm則(6x)2x9.整理，得x26x90，解得x1x23.所以P、Q同時出發(fā)，3s后可使PCQ的面積為9cm2.【教學說明】使學生感受、明白在幾何圖形

13、中利用一元二次方程解決實際問題的過程與方法三、運用新知，深化理解1如圖，某中學為方便師生活動，準備在長30m，寬20m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為32，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，若橫路寬為3xcm，則可列方程為_分析：若設小路的橫路寬為3xm，則縱路寬為2xm，我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫四條路移動一下(目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路)，則余下的草坪面積可用含x的代數式表示為(304x)(206x)m2，又由題意可知余下草坪的面積為原草坪面積的四分之三，可列方程則可列方程：(304x)(206x)

14、3020【答案】(304x)(206x)30202在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()Ax2130x14000Bx265x3500Cx2130x14000Dx265x3500【答案】B3如圖，利用一面墻(墻的長度不超過45m)，用80m長的籬笆圍一個矩形場地(1)怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?(2)能否使所圍矩形場地的面積為810m2，為什么？解：(1)設所圍矩形ABCD的長AB為x米，則寬AD為(80x)米依題意，得x(80x)750.即，x2

15、80x15000，解此方程，得x130，x250.墻的長度不超過45m，x250不合題意，應舍去當x30時，(80x)(8030)25，所以，當所圍矩形的長為30m、寬為25m時，能使矩形的面積為750m2.(2)不能因為由x(80x)810得x280x16200.又b24ac(80)2411620800，上述方程沒有實數根因此，不能使所圍矩形場地的面積為810m2.4如圖，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊如圖，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米求花邊的寬分析：本題可根據地毯的面積為40平方米來列方程，其等量關系式可表示為：(矩形圖案的長兩個花邊的寬)(矩形圖案的

16、寬兩個花邊的寬)地毯的面積解：設花邊的寬為x米，根據題意得(2x6)(2x3)40，解得x11，x2，x2不合題意，舍去答：花邊的寬為1米5我校原有一塊正方形空地，后來在這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種花草(如圖)，原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，使剩余的空地面積為12m2，求原正方形的邊長分析：本題可設原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為(x1)m，寬為(x2)m.根據長方形的面積公式方程可列出，進而可求出原正方形的邊長解：設原正方形的邊長為xm，依題意有(x1)(x2)12整理，得x23x100.(x5)(x2)0，x15，x22(不合題意，舍去)答：原正方形的邊長5m.6小明家有一塊

17、長8m，寬6m的矩形空地，現(xiàn)準備在該空地上建造一個十字花園(圖中陰影部分)，并使花園面積為空地面積的一半，小明設計了如圖的方案，求圖中的x值解：據題意，得(8x)(6x)86.解得x112，x22.x1不合題意，舍去x2.【教學說明】進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途四、師生互動、課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結教師作以補充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題2.5”中第3、4、7題教學反思本節(jié)課以學生熟悉的現(xiàn)實生活為問題的背景，讓學生從具體的問題情境中抽象出數量關系，歸納出變化規(guī)律，并能用數學符號表示，最終解決實際問題這類注重

18、聯(lián)系實際考查學生數學應用能力的問題，體現(xiàn)時代性，并且結合社會熱點、焦點問題，引導學生關注國家、人類和世界的命運既有強烈的德育功能，又可以讓學生從數學的角度分析社會現(xiàn)象，體會數學在現(xiàn)實生活中的作用復習與提升教學目標【知識與技能】1一元二次方程的相關概念2靈活運用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3能運用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況4能簡單運用一元二次方程的根與系數的關系解決相關問題5構造一元二次方程解決簡單的實際問題【過程與方法】通過靈活運用解方程的方法，體會幾種解法之間的聯(lián)系與區(qū)別，進一步熟練根據方程特征找出最優(yōu)解法【情感態(tài)度】通過實際問題的解決，進一步熟練運

19、用方程解決實際問題，體會方程思想在解決問題中的作用【教學重點】運用知識、技能解決問題【教學難點】解題分析能力的提高教學過程一、知識框圖，整體把握【教學說明】引導學生回顧本章知識點，展示本章知識結構圖，使學生系統(tǒng)地了解本章知識及之間的關系二、釋疑解惑，加深理解1一元二次方程的概念：如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2bxc0，(a，b，c是已知數且a0)，其中a，b，c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項2直接開平方法：對于形如(xn)2d(d0)的方程，可用直接開平方法解直接開平方法的步驟是：把方程變

20、形成(xn)2d(d0)，然后直接開平方得xn和xn，分別解這兩個一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解3配方法：通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種方法稱為配方法用配方法解一元二次方程的步驟：(1)把方程化為一般形式ax2bxc0；(2)把方程的常數項通過移項移到方程的右邊；(3)若方程的二次項系數不為1時，方程兩邊同時除以二次項系數a；(4)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解4公式法：求根公式x(b24ac0)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法用公式法解一元二次方程

21、的一般步驟：首先要把原方程化為一般形式，從而正確地確定a，b，c的值；其次要計算b24ac的值，當b24ac0時，再用求根公式求解5因式分解法：利用因式分解來解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步驟：把方程化成一邊為0，另一邊是兩個一次因式的乘積的形式，然后使每一個一次因式等于0，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解6一元二次方程的根的判別式：我們把b24ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示即：b24ac(1)當b24ac0時，一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個不相等實數根即x1，x2.(2)當b24ac0時，一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個相等實數根(3)當b24ac1 Bk1且k