第二部分+連續(xù)體平面應(yīng)力有限元分析.ppt

1、連續(xù)體平面應(yīng)力有限元分析,楊建國(guó) 浙江工業(yè)大學(xué) 化工機(jī)械設(shè)計(jì)研究所,第一部分 虛功原理,第一部分 虛功原理,問(wèn)題的提出： 基于彈簧系統(tǒng)的一些假設(shè)條件，并基于那些條件解決了諸如彈簧系統(tǒng)這樣的彈性體的應(yīng)力分析問(wèn)題，同時(shí)應(yīng)用以上條件對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的一維連續(xù)彈性體在簡(jiǎn)單載荷作用下的應(yīng)力及應(yīng)變成功的進(jìn)行了分析。 但是實(shí)際研究過(guò)程中會(huì)存在很多承受復(fù)雜受力狀態(tài)的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，此時(shí)基于以上的條件則不能給出相應(yīng)的解答。這樣就需要一些其他的條件來(lái)完成分析，如基于彈性力學(xué)以及勢(shì)能理論的部分方法來(lái)建立連續(xù)彈性體內(nèi)部的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。,第一部分 虛功原理,變形體的虛功原理可以敘述如下：變形體中滿(mǎn)足平衡的力系在任意滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條

2、件變形狀態(tài)上做得虛功等于零，即體系的外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移原理和虛力原理的總稱(chēng)。一般的有限元分析中經(jīng)常采用的是虛位移原理，因而下面提到的虛功原理，在沒(méi)有特定說(shuō)明的情況下指的就是虛位移原理的虛功原理。,第一部分 虛功原理,P受到了4個(gè)力的作用，處于平衡狀態(tài)，由于處于平衡狀態(tài)，那么在任意方向上的這4個(gè)力的分量和都應(yīng)該為零。,第一部分 虛功原理,力系處于平衡狀態(tài)，所以這4個(gè)力在水平方向的分量和為零，即：,第一部分 虛功原理,假定讓點(diǎn)P在水平方向移動(dòng)一個(gè)非常小的位移u，由于這個(gè)位移很小，所以與之相關(guān)的四個(gè)力不發(fā)生變化。這個(gè)非常小的位移u稱(chēng)之為虛位移。由于發(fā)生這個(gè)虛位移的過(guò)程

3、中力沒(méi)有發(fā)生變化，也就是水平方向的應(yīng)力分量也沒(méi)發(fā)生變化，所以這個(gè)過(guò)程中做得功為 ：,第一部分 虛功原理,由于發(fā)生這個(gè)虛位移的過(guò)程中力沒(méi)有發(fā)生變化，也就是水平方向的應(yīng)力分量也沒(méi)發(fā)生變化，依舊滿(mǎn)足公式分量的合力為0，因而Vu0。也就是說(shuō)在平衡力系中，在虛位移條件下，系統(tǒng)做的功為零，實(shí)際上這個(gè)位移的方向可以是任意的，只不過(guò)相應(yīng)的應(yīng)力分量也要與之一致而已，那是同樣滿(mǎn)足以上的結(jié)果。這個(gè)關(guān)系也可以表述為：一個(gè)點(diǎn)處于力學(xué)平衡狀態(tài)的充要條件為該點(diǎn)在任何虛位移下做的功都為零。 如果這幾個(gè)力中即有內(nèi)力又有外力，則體系的外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。,第二部分 連續(xù)體的平面應(yīng)力有限單元分析,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐

4、標(biāo)的關(guān)系,對(duì)于彈簧系統(tǒng)和鉸接的桿系統(tǒng)，有限元分析過(guò)程中的主要結(jié)果都可以直接獲得，即可以直接從有限元分析中獲得諸如節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移等信息，這對(duì)于分析過(guò)程來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠了，但是對(duì)于二維或者三維連續(xù)體問(wèn)題，一般的力學(xué)分析是希望獲得連續(xù)體內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，此時(shí)就需要建立外載荷與結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系。,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,分析過(guò)程也是首先實(shí)現(xiàn)連續(xù)體的單元離散，各個(gè)單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接在一起，之后我們就需要建立每個(gè)單元相關(guān)的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的單元?jiǎng)偠染仃?，最后再將所有的單元的剛度矩陣組裝到一起形成一個(gè)整體剛度矩陣(此過(guò)程與彈簧系統(tǒng)的組裝過(guò)程類(lèi)似)。從而建立了整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，再

5、通過(guò)載荷邊界條件、位移邊界條件求解這個(gè)矩陣方程，獲得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。在獲得了節(jié)點(diǎn)位移之后，可以通過(guò)力學(xué)理論方法獲得單元的彈性應(yīng)變，進(jìn)而獲得單元的應(yīng)力結(jié)果。如果實(shí)現(xiàn)了上面的整個(gè)計(jì)算過(guò)程，則能夠獲得在外載荷的作用下的結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布狀態(tài)。,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,網(wǎng)格劃分原則 a) 在存在應(yīng)力應(yīng)變集中的區(qū)域應(yīng)該選擇盡量細(xì)的單元，這樣能夠使得該區(qū)域的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際； b) 盡量保證良好的單元的形狀的，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)該控制單元的長(zhǎng)寬比，通常建議長(zhǎng)寬比在3以?xún)?nèi)，最多不要超過(guò)10。因?yàn)閱卧男螤钸^(guò)于奇異，將導(dǎo)致計(jì)算無(wú)法收斂。從而無(wú)法獲得相關(guān)的結(jié)果。,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

6、的關(guān)系,節(jié)點(diǎn)的位移也分解成基于該坐標(biāo)系的位移分量。如i點(diǎn)的位移分量為ui和vi。這樣這個(gè)單元是一個(gè)有6個(gè)位移自由度的三節(jié)點(diǎn)單元。其節(jié)點(diǎn)位移向量為 ： 在三個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移的條件下，單元內(nèi)的點(diǎn)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的位移，比如單元內(nèi)的點(diǎn)P，關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的位移在此用(u，v)表示。 節(jié)點(diǎn)力也用基于該坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)力分量來(lái)表示，如j點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力分量分別為Fuj和Fvj。六個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量共同構(gòu)成了節(jié)點(diǎn)力向量：,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,假設(shè)單元內(nèi)部的位移隨著具體坐標(biāo)位置發(fā)生變化，如果采用多項(xiàng)式表示這種關(guān)系，則多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)越高，獲得位移與坐標(biāo)之間的關(guān)系越精確。在這里我們的目的只是希望大家能夠明確三角形單元的分析過(guò)程，因

7、而在此選擇了最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式，即單元內(nèi)部的點(diǎn)的位移與其坐標(biāo)之間呈線性關(guān)系。 基于位移與坐標(biāo)之間呈線性關(guān)系的假設(shè)，這里將這種關(guān)系明確如下：,這里的1到6在這個(gè)單元內(nèi)保持為常數(shù)，不同的單元一般這些常數(shù)是不同的。,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,這個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)處也滿(mǎn)足此關(guān)系，如對(duì)于節(jié)點(diǎn)1滿(mǎn)足這種關(guān)系，則獲得了如下的方程： 其他兩點(diǎn)也滿(mǎn)足，則,2.1 位移與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,逆矩陣表達(dá)如下：,式中Ni、Nj和Nm是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映單元位移的形態(tài)，故稱(chēng)為單元形函數(shù)。,2.2單元內(nèi)的彈性應(yīng)變,已知了單元內(nèi)部的位移與坐標(biāo)之間的關(guān)系，則我們可以確定單元內(nèi)部的彈性應(yīng)變， 再根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可確定單元內(nèi)的應(yīng)力，繼而

8、根據(jù)虛功原理建立節(jié)點(diǎn)力與單元應(yīng)力之間的關(guān)系。這樣就獲得了節(jié)點(diǎn)力與位移之間的關(guān)系，依靠邊界條件即可求解。,2.2單元內(nèi)的彈性應(yīng)變,根據(jù)彈性力學(xué)的知識(shí)，可以獲得如下的關(guān)系 ：,2.2單元內(nèi)的彈性應(yīng)變,由于在某一特定的單元內(nèi)部的1到6保持為常數(shù)，所以可以看出在單元內(nèi)部的應(yīng)變是獨(dú)立于具體坐標(biāo)位置的常數(shù)。所以我們將這類(lèi)單元稱(chēng)之為常應(yīng)變單元。,2.2單元內(nèi)的彈性應(yīng)變,此時(shí)，應(yīng)變向量可寫(xiě)為如下形式：,簡(jiǎn)寫(xiě)為,2.2單元內(nèi)的彈性應(yīng)變,通過(guò)這個(gè)公式中的矩陣B建立了單元的應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 通過(guò)前面提到的C和A1的矩陣，可以計(jì)算出矩陣B,2.3單元內(nèi)的應(yīng)力,根據(jù)彈性力學(xué)的本構(gòu)方程的相關(guān)知識(shí)，能夠獲得應(yīng)力

9、與應(yīng)變之間的關(guān)系。 這個(gè)矩陣方程給出了平面應(yīng)力條件下的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，這個(gè)方程可以簡(jiǎn)寫(xiě)為： =D D 矩陣稱(chēng)之為彈性常數(shù)矩陣,2.3單元內(nèi)的應(yīng)力,=D=D(Bu)=DBu 這個(gè)關(guān)系在等應(yīng)變單元的有限元分析的過(guò)程中非常重要，因?yàn)樗⒘藛卧獞?yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。再通過(guò)單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)應(yīng)力之間的關(guān)系，能夠?qū)С龉?jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)求解。,2.4 單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系,設(shè)單元厚度為t,2.4 單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系,通過(guò)虛功原理可得：,K=VBTDB 剛度矩陣,2.4 單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系,對(duì)于等應(yīng)變?nèi)切螁卧琄中的所有的數(shù)據(jù)都能夠獲得，所以在已知節(jié)點(diǎn)力的條件下

10、，可以獲得節(jié)點(diǎn)位移。如果能夠建立所有的單元的相應(yīng)的剛度矩陣方程，則可以通過(guò)組裝的方式，獲得整體矩陣，而組裝的方法可以參照彈簧系統(tǒng)的整體矩陣的組裝方式。獲得了整體矩陣之后，我們可以通過(guò)矩陣求逆的方法或者高斯消元法解決相關(guān)問(wèn)題。,2.5 總結(jié) 應(yīng)用等應(yīng)變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過(guò)程,通過(guò)前面的推導(dǎo)可知這里提出的等應(yīng)變?nèi)切螁卧m用于二維平面應(yīng)力問(wèn)題，因而應(yīng)用這種單元之前首先判斷該問(wèn)題是否是平面應(yīng)力問(wèn)題，如果符合，則對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元網(wǎng)格的劃分，劃分過(guò)程中依然要遵循相應(yīng)的原則，即在應(yīng)力變化比較劇烈的區(qū)域使用比較細(xì)的網(wǎng)格，另外要保證單元的長(zhǎng)寬比。單元?jiǎng)澐种?，要?duì)單元進(jìn)行編號(hào)。同時(shí)對(duì)單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)的基本準(zhǔn)則是保證相鄰的單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)的差距盡量小，這樣在進(jìn)行整體剛度矩陣組裝的時(shí)候更加容易獲得半帶寬比較小的矩陣。,2.5 總結(jié) 應(yīng)用等應(yīng)變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過(guò)程,2.5 總結(jié) 應(yīng)用等應(yīng)變?nèi)切螁卧蠼獾木唧w過(guò)程,以上是應(yīng)用等應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本流程，應(yīng)該說(shuō)等應(yīng)變?nèi)切螁卧羌俣▎卧獌?nèi)部的位移在單元內(nèi)呈線性關(guān)系，從而導(dǎo)致了單元內(nèi)部的應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)槌?shù)