中考必做地36道數(shù)學(xué)壓軸題

1、最新資料推薦中考必做的36 道數(shù)學(xué)壓軸題第一題夯實雙基“步步高”，強化條件是“路標(biāo)”例 1在平面直角坐標(biāo)系 x Oy中，拋物線(2013 北京， 23,7 分)y mx 22mx2 （ m0 ）與 y 軸交于點 A，其對稱軸與x 軸交于點 B（ 1）求點，的坐標(biāo)；AB（ 2）設(shè)直線 l與直線 AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l 的解析式；（ 3）若該拋物線在2x1這一段位于直線l 的上方， 并且在 2 x3 這一段位于直線 AB的下方，求該拋物線的解析式解：（ 1）當(dāng) x 0 時， y 2 . A（ 0， 2）拋物線對稱軸為 x2m，12m B（ 1， 0）（2）易得 A 點關(guān)于對稱軸的對

2、稱點為A（ 2， 2）則直線 l經(jīng)過 A 、 B .沒直線的解析式為y kx b則2kb2,解得k2,kb0.b2.直線的解析式為y 2x 2（3）拋物線對稱軸為x 1拋物體在 2 x3 這一段與在 1x 0 這一段關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在2x 1這一段位于直線 l的上方， 在1 x0 這一段位于直線l的下方拋物線與直線 l的交點橫坐標(biāo)為 1 ；當(dāng)x 1 時， y 2x( 1) 2 4則拋物線過點（1， 4）當(dāng) x 1 時， m 2m 2 4 ，m 2 拋物線解析為 y 2 x2 4x 2 .連接 （ 2013 江蘇南京， 26，9 分）已知二次函數(shù)y a（ x m）2 a（

3、 x m）（ a、m為常數(shù)，且 a 0） .（1）求證：不論 a 與 m為何值，該函數(shù)的圖象與x 軸總有兩個公共點；（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點為C. 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于點 D.當(dāng)?shù)拿娣e等于 1 時，求a的值；ABC當(dāng) ABC的面積與 ABD的面積相等時，求m的值 .222【答案】（ 1）證明： ya（ x m） a（ xm） ax（ 2ama） x amam.222因為當(dāng) a0 時，（ 2ama） 4a（am am）a 0.1最新資料推薦所以，方程ax2（ 2）20有兩個不相等的實數(shù)根 .am axam am所以，不論 a 與 m為何值，該函數(shù)的圖象與x 軸總有兩個

4、公共點. 3 分（2）解：y（ ）2（ ）a（ 2m1 ） 2 a，axmaxmx242m 1 ， a ） .所以，點 C的坐標(biāo)為（2 4當(dāng) y 0 時， a（ x m） 2 a（ xm） 0. 解得 x1 m， x2 m 1. 所以 AB1.當(dāng) ABC的面積等于1 時， 1 1a 1.24所以 1 1（ a ） 1，或 1 1 a 1.2424所以 a 8，或 a8.22當(dāng) x 0 時， y amam. 所以點 D的坐標(biāo)為（ 0，am am）.當(dāng) ABC的面積與 ABD的面積相等時，1 1a 1 1 am2am24211（a） =121 1a12242 1（ am am），或24=1（ am

5、 am） .2所以 1 ，或12 ，或12. 9 分m2m2m2變式 :（ 2012 北京， 23，7分）已知二次函數(shù) y(t1)x22(t 2) x3 在 x0 和 x 2 時2的函數(shù)值相等。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù) ykx6 的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A( 3，m) ，求 m 和 k 的值；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x 軸交于點 B ，C （點 B 在點 C 的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點 B ，C 間的部分（含點B和點 C ）向左平移 n(n0) 個單位后得到的圖象記為G ，同時將（2）中得到的直線 y kx6 向上平移 n 個單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖

6、象G 有公共點時， n 的取值范圍?！敬鸢浮浚?1）方法一： 二次函數(shù) y (t 1)x22(t 2) x3在 x0 和 x 22時的函數(shù)值相等 34(t1)4(t2)3.232 t.2這個二次函數(shù)的解析式是y1 x2x32 2方法二：由題意可知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x 12最新資料推薦則2(t2)2(t11) t3.2這個二次函數(shù)的解析式是（2）二次函數(shù)的圖象過y1 x2x32 2 .A( 3,m) 點 . m1 ( 3)2( 3)36 .22又一次函數(shù) ykx 6 的圖象經(jīng)過點 A 3k 6 6 k 4（3）令 y1 x2x3022解得： x11 x23由題意知，點B、 C間的部分圖象的

7、解析式為y1 (x 3)( x1) ，（ 1x3 ） .2則向左平移后得到圖象G的解析式為： y1 ( x3 n)( x1n) ，（n1x 3 n ）.2此時平移后的一次函數(shù)的解析式為y 4x6 n .若平移后的直線y4 x6n 與平移后的拋物線y1 ( x3n)( x1n) 相切 .2則 4x 6 n1 (x3n)( x1 n) 有兩個相等的實數(shù)根。2即一元二次方程1 x2(n3)x1 n290有兩個相等的實數(shù)的根。222判別式 =(n24(1 )(1 n29 )03)解得： n 0與 n0 矛盾 .222平移后的直線y4 x6n 與平移后的拋物線y1 ( x3n)( x1n) 不相切 .2

8、結(jié)合圖象可知，如果平移后的直線與圖象G 有公共點，則兩個臨界交點為( n 1,0) 和(3n,0) .則 4(n1)6n 0 ，解得：2n34(3n)6n0，解得： n6 2n63第 2 題“弓形問題”再相逢， “殊途同歸”快突破（例題） （ 2012 湖南湘潭， 26，10 分） 如圖， 拋物線 y ax 2 3 x 2(a0) 的圖象與 x2軸交于 A 、 B 兩點，與 y 軸交于 C 點，已知 B 點坐標(biāo)為4,0 .（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）試探究 ABC 的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（ 3）若點 M 是線段 BC 下方的拋物線上一點， 求 MBC 的面積的最大值， 并求

9、出此時3最新資料推薦M 點的坐標(biāo) .【答案】 解：（ 1）將 B（ 4，0）代入 yax23 x 2( a0) 中，得： a11x 2322拋物線的解析式為：yx2( a 0)（ 2）當(dāng) 1 x2 3 x 2220 時，解得 x14 ， x212 2 A 點坐標(biāo)為（ 1， 0），則 OA=1當(dāng) x=0 時， y1 x 2 3 x 222 2 C 點坐標(biāo)為（ 0, 2），則 OC=2在 Rt AOC與 Rt COB中， OA OC 1OCOB2 Rt AOC Rt COB ACO=CBO ACB=ACO+ OCB= CBO+ OCB=90那么 ABC為直角三角形所以 ABC的外接圓的圓心為AB中

10、點，其坐標(biāo)為（1.5 ， 0）（3）連接. 設(shè)點坐標(biāo)為（x， 1x232 ）OMM2x2則 S MBCSOBMSOCMS OBC=14 (1 x 23 x 2)12 x12 422) 22222=( x4當(dāng) x=2 時，的面積有最大值為4，的坐標(biāo)為（ 2， 3）MBCM4最新資料推薦變式（ 2011 安徽蕪湖24） 面直角坐標(biāo)系中，? ABOC如圖放置，點 A、C 的坐標(biāo)分別為 （0，3）、（ -1 ，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn) 90，得到 ? ABOC （ 1）若拋物線過點 C，A，A ，求此拋物線的解析式；（ 2） ? ABOC和? ABOC 重疊部分 OCD的周長；（ 3）點

11、M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點， 問：點 M在何處時 AMA的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)第三題“模式識別”記心頭，看似“并列”“遞進”（例題） 23（ 2012 河南， 23，11 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1 x 1與拋物線 y ax22bx 3 交于 A、B兩點，點 A 在 x 軸上，點 B的縱坐標(biāo)為3點 P 是直線AB下方的拋物線上一動點（不與 A、B重合），過點 P 作 x 軸的垂線交直線AB與點 C，作 PDAB于點 D（ 1）求 a、 b 及 sinACP 的值；（ 2）設(shè)點 P 的橫坐標(biāo)為 m用含 m 的代數(shù)式表示線段 PD的長，并求出線段 PD長的最

12、大值；連接，線段把分成PBPCPDB兩個三角形，是否存在適合的m 值，使這兩個三角形的面積之比為9:10?若存在，直接寫出m 值；若不存在，說明理由5最新資料推薦yBCDAOxP第 23 題圖【答案】（ 1）由 1x 10 ，得 x2, A(2,0)由 1 x213 ，得 x4, B(4,3)2 yax2bx3 經(jīng)過 A, B 兩點，(-2) 2 a-2b-3=01 , b142 aa+4 b-3=322設(shè)直線 AB與 y 軸交于點 E ，則 E(0,1) PC y 軸，ACPAEO . sinACPsinAEOOA22 5AE55（2）由可知拋物線的解析式為y1 x21 x311122 P(

13、m,m2m3), C (m,m1)222PC1 m 1 ( 1 m21 m 3)1 m2m 42222在 Rt PCD 中， PDPC sinACP( 1 m2m4)25255 (m1)295 .5550當(dāng) m951時， PD 有最大值555 或 32存在滿足條件的m 值， m【提示】29分別過點 D、 B 作 DF PC， BGPC，垂足分別為F、 G6最新資料推薦在 RtPDF 中， DF1PD1(m22m 8).又 BG4m,55 S PCDDF1 ( m22m 8)m2 5S PBCBG4m5當(dāng) S PCDm29時，解得 m5；S PBC5102當(dāng) S PCDm210時，解得 m32S

14、 PBC599變式一27（ 2011 江蘇泰州， 27，12 分）已知：二次函數(shù)=2bx 3 的圖像經(jīng)過點（yxP2,5 ）（ 1）求 b 的值，并寫出當(dāng) 1x 3 時 y 的取值范圍；（ 2）設(shè)點 P1（ m, y1）、 P2（ m+1, y2）、 P3( m+2, y3) 在這個二次函數(shù)的圖像上當(dāng) m=4 時， y1、 y2、 y3 能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由；當(dāng) m取不小于 5 的任意實數(shù)時， y1、 y2、 y3 一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由【答案】解： （ 1）把點 P 代入二次函數(shù)解析式得5= （ 2） 2 2b3，解得 b= 2.當(dāng) 1 x 3 時

15、y 的取值范圍為 4 y 0.（2） m=4時， y 、 y 、 y的值分別為 5、 12、 21，由于5+12 21，不能成為三角形的三邊123長當(dāng) m取不小于 5 的任意實數(shù)時， y1、 y2、 y3 的值分別為222m2m 3、 m 4、 m 2m 3，由2222于， m 2m3 m 4m 2m3，（ m 2） 8 0，所以當(dāng) m取不小于5 的任意實數(shù)時，y1、y2 、y3 一定能作為同一個三角形三邊的長，變式二（ 2013 重慶 B 卷， 25，10分）如圖，已知拋物線y x2bx c 的圖像與 x 軸的一個交點為（ 5， 0），另一個交點為，且與y軸交于點(0 ， 5).BAC（1）

16、求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點 M是拋物線在x 軸下方圖像上的一動點，過點M作 MN/ y 軸交直線 BC于點 N，求MN的最大值；（3）在（ 2）的條件下，MN取得最大值時，若點P 是拋物線在 x 軸下方圖像上任意一點，以為邊作平行四邊形，設(shè)平行四邊形的面積為S1 ， ABN的面積為 S2 ，且BCCBPQCBPQS16S2 ，求點 P 的坐標(biāo) .7最新資料推薦yCO ABx【答案】 解：（ 1）設(shè)直線BC的解析式為ymxn ，將 B（ 5，0）， C（ 0，5）代入有：5mn0解得：m1所以直線的解析式為yx 5n5n5BC再將B（5， 0），C（ 0， 5）代入拋物線y x 2b

17、x c 有：255bc0解 得 ：b6所 以 拋 物 線 的 解 析 式 為 ：c5c5y x 26 x5（2）設(shè) M的坐標(biāo)為（ x， x26x5 ），則 N的坐標(biāo)為（ x， x5 ），MN= ( x 5) ( x26x5)=x 25x當(dāng) x525時， MN有最大值為24yCNO ABxQP1M P28最新資料推薦（3）當(dāng) yx26x50 時，解得 x11， x25故 A（ 1,0 ）， B（ 5,0 ），所以 AB=4由（ 2）可知， N的坐標(biāo)為（5 ， 5 ）22 S2145522則 S16S230，那么 SCBP15在 y 上取點 Q(-1 ， 0) ，可得S CBQ15故 QP BC則

18、直線 QP的解析式為yx1當(dāng) x26x 5x 1時，解得 x12 ， x2 3所以P 點坐標(biāo)為（ 2， 3 ），（ 3 ，4 ），第四題“準(zhǔn)線” “焦點”頻現(xiàn)身， “居高臨下”明“結(jié)構(gòu)”（例題）（ 2012 四川資陽， 25， 9 分）拋物線 y1 x2x m 的頂點在直線 y x 3 上，過點4F( 2,2) 的直線交該拋物線于點M、N兩點（點 M在點 N的左邊），MA x 軸于點 A，NB x 軸于點 B（ 1）(3分) 先通過配方求拋物線的頂點坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含 m 的代數(shù)式表示） ，再求 m 的值；（ 2） (3分) 設(shè)點 N的橫坐標(biāo)為 a ，試用含 a 的代數(shù)式表示點 N的縱坐標(biāo)，并說

19、明 NF；NB（ 3） (3分 ) 若射線 NM交 x 軸于點 P，且 PA PB 100 ，求點 M的坐標(biāo)99最新資料推薦（第 25 題圖）答案：解 （1） y1x2xm1( x2) 2(m1)4m1)4頂點坐標(biāo)為 ( 2 ,頂點在直線 yx3 上， 2+3= m 1 ，得 m =2（ 2）點 N在拋物線上，點 N的縱坐標(biāo)為 1 a2a24即點 N(a , 1 a2a 2 )4過點 F 作 FC NB于點 C，在 Rt FCN中， FC= a +2， NC=NB- CB= 1 a2a , NF 2 NC 2FC 2 ( 1 a2(a 2) 2 = ( 1 a24a) 2a)2(a24a) 4

20、44而 NB 2 = ( 1 a2a 2)2 ( 1 a2a)2(a24a)444 NF 2 NB 2 ， NF=NB（ 3）連結(jié) AF、BF由 NF=NB，得 NFB= NBF，由（ 2）的結(jié)論知， MF=MA， MAF= MFA, MA x 軸，NB x 軸， MA NB, AMF+ BNF=180 MAF和 NFB的內(nèi)角總和為360 , 2MAF+2NBF=180， MAF+ NBF=90 ,+=180，+=90又+=90MAB NBAFBAFABFABMAF FBA= MAF= MFA又 FPA= BPF， PFA PBF， PFPB ， PF 2PA PB =100PAPF910最新

21、資料推薦過點F作軸于點, 在Rt中，=PF2FG28，= + = 14，F(xiàn)G xGPFGPG=PO PG GO33 P( 14 , 0)3設(shè)直線：kxb，把點 （ 2 , 2）、點 ( 14,0) 代入y kxb解得= 3，PF yFPk4= 7 ，直線 PF： y3 x73b242解方程 1x2x 23x7，得 x = 3 或 x =2（不合題意，舍去）442當(dāng) x = 3 時， y = 5 ， M（ 3 ,5 ）44變式一 25已知拋物線y=ax2+bx+c（a 0）頂點為 C（1，1）且過原點 O過拋物線上一點 P（ x， y）向直線 y=5 作垂線，垂足為 M，連 FM（如圖）4（ 1

22、）求字母 a，b， c 的值；（ 2）在直線 x=1 上有一點 F(1 ， 3 ) ，求以 PM為底邊的等腰4三角形 PFM的 P點的坐標(biāo)，并證明此時PFM為正三角形；（ 3）對拋物線上任意一點 P，是否總存在一點 N（ 1， t ），使PM=PN恒成立？若存在請求出 t 值，若不存在請說明理由解：（ 1）拋物線 y=ax2+bx+c（a0）頂點為 C（1，1）且過原點 O，可得 - b =1， 4ac b2 =1， c=0，2a4a a=-1， b=2，c=0（ 2）由（ 1）知拋物線的解析式為y=-x 2+2x，故設(shè) P 點的坐標(biāo)為（ m，-m2 +2m），則 M點的坐標(biāo)（ m， 5 ），

23、4 PFM是以 PM為底邊的等腰三角形 PF=MF，即（ m-1）2+（-m2+2m- 3 ）2 =（m-1） 2+（ 3 - 5 ）244411最新資料推薦 -m2+2m-3 = 1 或-m2+2m- 3 =- 1 ，4242314 2時，即 -4m2+8m-5=0 =64-80=-16 0此式無解23=-121當(dāng) -m+2m-42時，即 m-2m=-4 m=1+ 3 或 m=1- 322、當(dāng) m=1+ 3 時， P 點的坐標(biāo)為（ 1+3 ， 1 ）， M點的坐標(biāo)為（ 1+3 ， 5 ）22424、當(dāng) m=1- 3 時， P 點的坐標(biāo)為（ 1-3 ， 1），M點的坐標(biāo)為（ 1-3 ， 5），

24、22424經(jīng)過計算可知 PF=PM， MPF為正三角形， P 點坐標(biāo)為：（ 1+ 3 ， 1 ）或（ 1-3 ， 1）2424（ 3）當(dāng) t= 3 時，即 N與 F 重合時 PM=PN恒成立4證明：過 P 作 PH與直線 x=1 的垂線，垂足為 H，在 Rt PNH中，222222，PN=（x-1 ） +（t-y）=x -2x+1+t-2ty+y25225y+25，PM=（4-y ） =y -216P 是拋物線上的點， y=-x 2+2x； PN2=1-y+t 2-2ty+y 2 =y2- 5 y+ 25 ， 2 16 1-y+t 2-2ty+y 2=y2 - 5 y+ 25 ，21612最新

25、資料推薦移項，合并同類項得： - 3 y+2ty+ 9 -t 2 =0，216 y（ 2t- 3 ）+（ 9 -t 2） =0 對任意 y 恒成立2 16 2t- 3 =0 且 9 -t 2=0，2 16 t= 3 ，故 t= 3 時， PM=PN恒成立44存在這樣的點變式二（ 2012 山東濰坊， 24，11 分）如圖12，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（2 ， 0）、B（ 2，0）、C（ 0，1）三點，過坐標(biāo)原點O的直線 ykx 與拋物線交于M、N兩點分別過點 C、D（ 0，2 ）作平行于x 軸的直線 l 1、l 2 （ 1）求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式；（ 2）求證以 ON為直徑的圓與直線

26、 l 1 相切；（ 3）求線段 MN的長（用 k 表示），并證明 M、N 兩點到直線 l 2 的距離之和等于線段 MN 的長yNAOBMxCl 1Dl 2圖 12【答案】 解：（ 1）設(shè)拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式為y ax2bx c ，04a2bca14由 04a2bc ，解得b0 1cc1所以 y1x214（ 2）設(shè) M（ x1， y1），N（ x2， y2），因為點 M、 N在拋物線上，所以 y11 x121 ， y21 x221 ，所以 x224( y21) ；44又 ON 2 = x2 2y2 2 = 4( y21) y2 2 = ( y2 2)2 ，所以 ON= y22 ，又因為 y

27、21，所以 ON= y22 設(shè) ON的中點為 E，分別過點 N、 E 向直線 l1作垂線，垂足為P、 F，13最新資料推薦則 EF= OCNP = 2 y2 ，22所以 ON=2EF，即 ON的中點到直線 l 1 的距離等于 ON長度的一半，所以以 ON為直徑的圓與直線 l 1 相切（ 3）過點 M作 MH NP交 NP于點 H，則MN 2MH 2NH 2 = (x2x1 ) 2 + ( y2 y1 )2 ，又 y1=kx1，y2=kx2，所以 ( y2 y1 ) 2 = k 2 ( x2x1 )2 ，所以 MN 2(1 k2 )( x2x1 )2 ；又因為點M、 N既在 y=kx 的圖象上又在拋物線上，所以 kx1 x21 ，即 x24kx 40 ，4所以 x =4k16k216 =2k 2 1k 2 ，2所以 ( x2x1 )2 =16(1k2 ) ，所以 MN 216(1k2 )2 ，所以=2) MN 4(1k延長 NP交 l 2 于點 Q，過點 M作 MS l 2 于點 S，則 MS+NQ=1212122y12y2 = 4 x114 x21 4= 4 ( x1x2 ) 2 ，又 x12x22 = 24k 24(1k 2 )16k 28 ，所以 MS+NQ= 4k 222 = 4(1k 2 ) =MN即 M、 N兩點到直線 l 2 的距離之和等于線段MN的長y