高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步 2.2.4 點到直線的距離學(xué)案 新人教B版必修

1、2.2.4點到直線的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點到直線的距離公式,會用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩平行線之間的距離公式,并會求兩平行線之間的距離.知識鏈接1.已知點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩點間的距離|P1P2|.2.如圖平面上點P到直線l的距離,是指從點P到直線l的垂線段的長度.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.點到直線的距離公式點P(x1,y1)到直線l：AxByC0的距離d.2.兩平行線間的距離(1)求法：兩平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離.(2)結(jié)論：兩平行直線AxByC10與AxByC20的距離為d.要點一點到直線的距離例1求點P(3,2)到下列直線的距離：(1)yx；(

2、2)y6；(3)x4.解(1)把方程yx寫成3x4y10,由點到直線的距離公式得d.(2)方法一把方程y6寫成0xy60,由點到直線的距離公式得d8.方法二因為直線y6平行于x軸,所以d|6(2)|8.(3)因為直線x4平行于y軸,所以d|43|1.規(guī)律方法1.求點到直線的距離,首先要把直線化成一般式方程,然后再套用點到直線的距離公式.2.當(dāng)點與直線有特殊位置關(guān)系時,也可以用公式求解,但是這樣會把問題變復(fù)雜了,要注意數(shù)形結(jié)合.3.幾種特殊情況的點到直線的距離：(1)點P0(x0,y0)到直線ya的距離d|y0a|；(2)點P0(x0,y0)到直線xb的距離d|x0b|.跟蹤演練1若點(a,2)

3、到直線l：yx3的距離是1,則a_.答案5解析直線l：yx3可變形為xy30.由點(a,2)到直線l的距離為1,得1,解得a5.要點二兩平行線間的距離例2求兩平行線l1：2xy10與l2：4x2y30之間的距離.解方法一在直線l1：2xy10上任取一點,不妨取點P(0,1),則點P到直線l2：4x2y30的距離為d,l1與l2間的距離為.方法二將直線l2的方程化為2xy0.又l1的方程為2xy10,C11,C2,又A2,B1,由兩平行直線間的距離公式得：d.規(guī)律方法1.針對這個類型的題目一般有兩種思路：(1)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.

4、(2)利用兩條平行直線間距離公式d.2.當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時,可利用數(shù)形結(jié)合來解決.(1)兩直線都與x軸垂直時,l1：xx1,l2：xx2,則d|x2x1|；(2)兩直線都與y軸垂直時,l1：yy1,l2：yy2,則d|y2y1|.跟蹤演練2求與直線l：5x12y60平行且與直線l距離為3的直線方程.解與l平行的直線方程為5x12yb0,根據(jù)兩平行直線間的距離公式得3,解得b45或b33.所以所求直線方程為5x12y450或5x12y330.要點三距離公式的綜合應(yīng)用例3已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的交點.(1)若點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程；(2)求點A(5,

5、0)到l的距離的最大值.解方法一聯(lián)立交點P(2,1),當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)l的方程為y1k(x2),即kxy12k0,3,解得k,l的方程為y1(x2),即4x3y50.而直線斜率不存在時直線x2也符合題意,故所求l的方程為4x3y50或x2.方法二經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2xy5)(x2y)0,即(2)x(12)y50,3,即22520,解得2或,l的方程為4x3y50或x2.(2)由,解得交點P(2,1),過P任意作直線l,設(shè)d為A到l的距離,則d|PA|(當(dāng)lPA時等號成立),dmax|PA|.規(guī)律方法數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當(dāng)圖形中的元素運動變化時我們能

6、直觀觀察到一些量的變化情況,進(jìn)而可求出這些量的變化范圍.跟蹤演練3兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(3,1),如果兩條平行直線間的距離為d,求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時,兩條直線的方程.解(1)如圖,當(dāng)兩條平行直線與AB垂直時,兩平行直線間的距離最大,為d|AB|3,當(dāng)兩條平行線各自繞點B,A逆時針旋轉(zhuǎn)時,距離逐漸變小,越來越接近于0,所以0d3,即所求的d的變化范圍是(0,3.(2)當(dāng)d取最大值3時,兩條平行線都垂直于AB,所以k3,故所求的直線方程分別為y23(x6)和y13(x3),即3xy200和3xy100.1.點(1,1)到直線xy10的距離是()A. B

7、. C. D.答案A解析d.2.兩條平行線l1：3x4y70和l2：3x4y120間的距離為()A.3 B.2 C.1 D.答案C解析d1.3.若點(1,a)到直線xy10的距離是,則實數(shù)a為()A.1 B.5C.1或5 D.3或3答案C解析由點到直線距離公式：,a1或5,故選C.4.點(5,3)到直線x20的距離等于()A.7 B.5 C.3 D.2答案A解析直線x20,即x2為平行于y軸的直線,所以點(5,3)到x2的距離d|5(2)|7.5.分別過點A(2,1)和點B(3,5)的兩條直線均垂直于x軸,則這兩條直線間的距離是_.答案5解析d|3(2)|5.1.應(yīng)用點P(x0,y0)到直線AxByC0(A、B不同時為零)距離公式d的前提是直線方程為一般式.特別地,當(dāng)直線方程A0或B0時,上述公式也適用,且可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解