九年級數(shù)學上冊 24,2-5圓課件 新人教版.ppt

1、它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m， 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,你知道趙州橋嗎?,垂直于弦的直徑,把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸,活動一,看一看,AEBE,AEBE,AM=BM,AB是O的一條弦.,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.,作直徑CD,使CDAB,垂足為M.,右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什

2、么?,小明發(fā)現(xiàn)圖中有:,由 CD是直徑, CDAB,垂徑定理,如圖,小明的理由是:,連接OA,OB,則OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,點A和點B關于CD對稱.,O關于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,垂徑定理三種語言,定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.,CDAB,如圖 CD是直徑,AM=BM,CDAB,AB是O的一條弦,且AM=BM.,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.,過點M作直徑CD.,右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?,小明發(fā)現(xiàn)圖中有:,由 CD是

3、直徑, AM=BM,如圖,小明的理由是:,連接OA,OB,垂徑定理的逆定理,則OA=OB.,在OAM和OBM中,OA=OB，OM=OM，AM=BM,OAMOBM.,AMO= BMO.,CDAB,O關于直徑CD對稱,當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.,例1 ：如圖，已知在O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求O的半徑。,解：連結(jié)OA。過O作OEAB，垂足為E， 則OE3厘米，AEBE。 AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米 O的半徑為5厘米。,例2：已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中

4、，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。 求證：ACBD。,證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,判斷下列說法的正誤,平分弧的直徑必平分弧所對的弦,平分弦的直線必垂直弦,垂直于弦的直徑平分這條弦,平分弦的直徑垂直于這條弦,弦的垂直平分線是圓的直徑,平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦,在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦， 必平分此弦所對的弧,分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對 的兩條弧分別三等分,1.1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點到弦的距離,也

5、叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).,R,D,O,A,B,C,37.4m,7.2m,弧、弦、圓心角的關系,AOB,COD,AOC,BOD,我們把頂點在圓心的角叫做圓心角.,圓心角的概念,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,如圖，將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB 的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓 心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置時， AOBAOB，射線 OA與OA重合，OB與OB重合而同圓的半徑相等，OA=OA，OB=OB， 點 A與 A重合，B與B重合,O,A,B,A,B, 重合，AB與AB重合,在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角_，

6、所對的弦_； 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧_,弧、弦與圓心角的關系定理,在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等,相等,相等,相等,相等,前提條件,例1：如圖，在O中， 11111111AC=BD， , 求2的度數(shù)。,解：,AC=BD,（已知）,AC-BC=BD-BC,（等式的性質(zhì)）,1=2=45,（在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等）,一.判斷下列說法是否正確： 1相等的圓心角所對的弧相等。（ ） 2相等的弧所對的弦相等。（ ） 3相等的弦所對的弧相等。（ ）,二.如圖，O中，AB=CD，,證明：, AB=AC,又ACB=60，, AB=BC=CA., A

7、OBBOCAOC.,A,B,C,O,例2 如圖, 在O中， ，ACB=60， 求證AOB=BOC=AOC.,如圖，AB、CD是O的兩條弦 （1）如果AB=CD，那么_，_ （2）如果 ，那么_，_ （3）如果AOB=COD，那么_，_,AB=CD,AB=CD,練習,如圖，AB、CD是O的兩條弦 （4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE與OF相等嗎？為什么？,練習,圓周角,如下圖，同學們能找到圓心角嗎？它具有什么樣的特征？（頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角），今天我們要學習圓中的另一種特殊的角，它的名稱叫做圓周角。,圓周角 究竟什么樣的角是圓周角呢？像圖（3）中的解就叫做圓周

8、角，而圖（2）、（4）、（5）中的角都不是圓周角。同學們可以通過討論歸納如何判斷一個角是不是圓周角。 （頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角）,探究：有關圓周角的度數(shù) 1 探究半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？的圓周角所對的弦是否是直徑？,線段AB是O的直徑，點C是O上任意一點（除點A、B）,那么，ACB 就是直徑AB 所對的圓周角.想想看，ACB 會是怎么樣的角？為什么呢？,證明：,因為OAOBOC，所以AOC、BOC 都是等腰三角形，所以 OACOCA，OBCOCB. 又OACOBCACB180， 所以ACBOCAOCB90. 因此，不管點C在O上何處（除點A、B），ACB總等于90，,

9、結(jié)論： 半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90（直角）。反過來也是成立的，即90的圓周角所對的弦是圓的直徑。,類比圓心角探知圓周角,在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓心角相等.,在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角有什么關系？,為了解決這個問題,我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系.,圓周角和圓心角的關系,如圖,觀察圓周角ABC與圓心角AOC,它們的大小有什么關系?,注意：圓心與圓周角的位置關系.,1.首先考慮一種特殊情況： 當圓心(O)在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,A

10、OC=2B.,即 ABC = AOC.,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣? 2.當圓心(O)在圓周角(ABC)的內(nèi)部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣? 3.當圓心(O)在圓周角(ABC)的外部時,圓周角ABC與圓

11、心角AOC的大小關系會怎樣?,圓周角定理,在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半,半圓（或直徑）所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑,推論：,B,C1,O,C2,C3,例1 如圖，O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，ACB的平分線交O于D，求BC、AD、BD的長,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直徑，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,2.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）,A,B,C,O,求證： ABC 為直角

12、三角形.,證明：,CO= AB,以AB為直徑作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,點C在O上.,又AB為直徑,ACB= 180= 90., ABC 為直角三角形.,1.AB、AC為O的兩條弦，延長CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度數(shù)。,2、如圖，在O中，BC=2DE， BOC=84， 求A的度數(shù)。,BOC =140,A=21,4、在O中，一條弧所對的圓心角和圓周角分別為(2x+100)和(5x-30)，則x=_ _；,3. 如圖，在直徑為AB的半圓中，O為圓心，C、D 為半圓上的兩點，COD=50，則 CAD=_；,20,50,小結(jié),在同圓或等圓中，同弧或等弧所對

13、的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半,半圓（或直徑）所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑,推論：,B,C1,O,C2,C3,垂徑定理,定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分 弦所對的兩條弧.,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.,推論,例1：如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,總結(jié):,解決有關弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件。,在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角_， 所對的弦_； 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧_,弧、弦與圓心角的關系定理,在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等,相等,相等,相等,相等,前提條件,例3.如圖，AB是O 的直徑， COD=35，求AOE 的度數(shù),解：,圓