大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo) - 第02章 牛頓運動定律_W

1、大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)第 2 章 牛頓運動定律 掃描二維碼下載本文 華中農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系2020 年 2 月 大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0目錄第 2 章 牛頓運動定律12.1 牛頓運動定律22.1.1 牛頓第一定律22.1.2 牛頓第二定律22.1.3 牛頓第三定律32.2 力學(xué)中常見的力42.2.1 萬有引力42.2.2 彈性力52.2.3 摩擦力82.3 牛頓運動定律的應(yīng)用舉例102.4 伽利略相對性原理152.4.1 伽利略相對性原理152.4.2 經(jīng)典力學(xué)的時空觀152.4.3 非慣性系和慣性力15參考文獻17本文及其更新下載地址：/s/

2、1slla1yt大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0第2章 牛頓運動定律上一章中，我們介紹了質(zhì)點運動學(xué)的內(nèi)容，解決了如何描述質(zhì)點機械運動的問題，但沒有說明質(zhì)點運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因。物體運動狀態(tài)的改變與物體間的相互作用有關(guān)，這是動力學(xué)（dynamics）研究的范疇。牛頓（Isaac Newton 16431727）集前人有關(guān)力學(xué)研究之大成，在 1687 年發(fā)表了他的名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。書中關(guān)于物體運動的三大定律是整個動力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)。本章將概括性地闡述牛頓運動定律的內(nèi)容及其在質(zhì)點運動方面的應(yīng)用。第 2 章 牛頓運動定律 1大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.02.1 牛頓運動定

3、律2.1.1 牛頓第一定律任何物體都保持其靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，直到外力迫使它改變運動狀態(tài)為止。這就是牛頓第一定律。牛頓第一定律的數(shù)學(xué)形式為：F = 0 時， v = 恒矢量（2.1）第一定律指明了任何物體都具有慣性，因此第一定律又被稱為慣性定律（law of inertia）。第一定律定性地說明了力的含義，力是引起運動狀態(tài)改變的原因。第一定律還定義了慣性系（inertial system），在慣性系中，一個不受外力作用的物體將保持靜止或勻速直線運動。在研究地表附近物體的運動時，物體對太陽和地心的向心加速度都比較小，地面參考系是一個足夠精確的慣性系。2.1.2 牛頓第二定律物體受到外力作用

4、時，它所獲得的加速度的大小與外力的大小成正比，并與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與外力的方向相同。牛頓第二定律的數(shù)學(xué)形式為：F = ma（2.2）自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中原文的意思：運動的變化與所加的動力成正比，并且發(fā)生在此力所沿直線的方向上。這里的運動是指物體的質(zhì)量和速度的乘積，即動量（momentum），用 p 表示，則：p = mv（2.3）牛頓所說的運動變化指的是動量的變化率，所以，牛頓第二定律的實質(zhì)是：第 2 章 牛頓運動定律 2大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0= dpF（2.4）（2.5）dt或：dp = Fdt這就是牛頓第二定律的微分形式，當物體的運動速度遠小于光速時，可認為

5、質(zhì)量是一個與速度無關(guān)的常量。將（2.3）代入（2.4）得：F = mdv = madt牛頓第二定律描述的是慣性系中質(zhì)點的受力與運動的關(guān)系，即質(zhì)點動力學(xué)（Dynamics）；力和加速度瞬時對應(yīng)，力是產(chǎn)生加速度的原因； 力的獨立性原理或稱為力的疊加原理：nF = F1 + F2 +L+ Fn = Fi（2.6）i =1= ma1 + ma2 +L+ man = ma2.1.3 牛頓第三定律當物體A 以力FBA 作用于物體B 時，物體B 必定同時以力FAB 作用于物體A ， FAB 與 FBA 大小相等，方向相反，并處于同一直線上，即：ABFABFAB = -FBAFBA（2.7）我們稱 FAB 與

6、 FBA中的一個為作用力（ actingforce），則另一個就稱為反作用力（reacting force）。思考：牛頓第三定律的適用范圍？第 2 章 牛頓運動定律 3大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.02.2 力學(xué)中常見的力牛頓運動定律是質(zhì)點動力學(xué)的基本規(guī)律，而其核心問題則是力。因此，正確分析物體受力情況是解決問題的關(guān)鍵。力學(xué)中常見的力有三種。2.2.1 萬有引力按牛頓萬有引力（universal gravitation）定律，質(zhì)量為m 1 和m 2 的兩個質(zhì)點，相距為 r 時，它們之間的萬有引力為m1m2errFF = -G m1m2 e（2.8）rr2式中若er 表示m 1 指向m

7、2 的單位矢量，則 F 表示m 1 作用于 m 2 的引力。G 稱為引力常量（gravitational constant），在計算時一般取G = 6.67 10-11 N m2 kg-2（2.8）中的質(zhì)量稱為引力質(zhì)量（gravitational mass），它與（2.2）中的慣性質(zhì)量（inertial mass）在物理意義上是不同的。實驗證明，只要選取恰當?shù)囊ΤＡ?G，任一物體的兩種質(zhì)量是相等的，或者說它們是等價的。通常把地球?qū)Φ乇砀浇矬w的萬有引力稱為重力（gravity），用 FG 表示。任何物體在重力作用下都產(chǎn)生重力加速度（gravitational acceleration），用

8、g 表示。g = FG G M E 9.8 m s-2（2.9）mR2E例題 2.1 應(yīng)以多大速度發(fā)射，才能使人造地球第 2 章 牛頓運動定律 繞4大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0地球作勻速圓周運動？地球的直徑約為6371 千米。解：設(shè)的質(zhì)量為 m，離地面的高度為 h，它繞地球作勻速圓周運動所需向心力為：v2F1= m R+ hEmM E地球?qū)Φ娜f有引力： F = G2(R + h)2E由 F1 = F2 ，得：GM EGM Ev =R gRER2ER + hEE6371103 9.8 7.9 103 m/s2.2.2 彈性力發(fā)生形變的物體，由于要恢復(fù)原狀，對與它接觸的物體產(chǎn)生的力稱為

9、彈性力（elastic 力有三種：1.彈簧的彈性力force）。常見的彈性xOFxxFxxF = -kx（2.10）k 稱為彈簧的勁度系數(shù)或勁度（stiffness），負號表示彈性力的方向總是和彈簧形變的方向相反。2.正壓力和支撐力正壓力（normal force）和支撐力（support force） 的方向總是垂直于接觸面而指向?qū)Ψ?，由牛頓第三定律第 2 章 牛頓運動定律 5大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0可知，它們是一對相互作用力，即：FNFNFN = -FN3.拉力和張力和彈簧類似，繩索發(fā)生伸長形變時，會對其牽引的物體產(chǎn)生拉力。同時，繩索內(nèi)部各段之間也有相互的彈力作用，在張緊的

10、繩上某處作一假象橫截面，把繩分為兩側(cè)，這兩側(cè)繩的相互拉力稱為張力（tension）。FF例題 2.2 質(zhì)量為 m、長為 l 的柔軟細繩，一端系著放在光滑桌面上質(zhì)量為m 的物體，在繩的另一端施加力 F（僅考慮水平方向的力）?，F(xiàn)忽略繩子由于形變的產(chǎn)生的伸長，設(shè)繩子質(zhì)量分布是均勻的。求（1）繩子作用在物體上的拉力；（2）繩上任意一點的張力。lmmFaamFT0 FT0mF解：（1）由牛頓第三定律可知：FT0 = -FT0第 2 章 牛頓運動定律 （1）6FTFTFNFN大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0對物體和繩分別運用牛頓第二定律：FT0 = ma ； F - FT0= ma（2）（3）F聯(lián)

11、立（1）（2）得：a =m + m將（3）代入（2）得：= mF（4）FT0m + m（2）在繩中取一線元dx ，其質(zhì)量dm = m dx ，根據(jù)牛l頓第二定律：dmdxdmlxOFT + dFTFT(F + dF ) - F = (dm)a = ma dx（5）TTTldF = ma dx即：（6）Tll ma dxF對（6）積分：dF =TlFxT= l - x ma得：F - FTlF = F - ma + x ma即：（7）Tl將（3）代入（7），得：xF（8） F ，F(xiàn) = (m +m )l m + mT討論：由（7）可知，對于 m FTA ）。ydFNdFsxOdq 2dqABFq

12、OFT + dFT2TdqFTBFTAO解：取一微分繩元，列出受力平衡的分量式cos dq + dF - (F + dF ) cos dq = 0FTsTT22（1）dqdqdF -F sin- (F + dF ) sin= 0NTTT22將cos dq 1，sin dq dq ，dF = mdF ，代入（1）得：sN222mdFN = dFTdFTFT 消去dF= mdq（2）NdFN = FTdqTB dFqF=mdq對（2）積分：T（3）FTFTA0FTB = emq得：（4）FTA思考：摩擦力的利與弊？第 2 章 牛頓運動定律 9大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.02.3 牛頓運動

13、定律的應(yīng)用舉例牛頓運動定律是動力學(xué)的基本定律，它在實踐中有著廣泛的應(yīng)用。求解質(zhì)點動力學(xué)問題一般分為兩類，一是已知物體的受力情況，求解其運動狀態(tài)；另一種是已知物體的運動狀態(tài)，求作用在物體上的力。例題 2.4 阿特伍德（Atwood）機，（測得 a 可反推 g）。（1） 一根細繩跨過定滑輪，在細繩兩側(cè)各懸掛質(zhì)量為m1 和m2 的物體，且m1 m2 。假設(shè)滑輪的質(zhì)量與細繩的質(zhì)量均略去不計，滑輪與細繩間無滑動，輪軸的摩擦略去不計。試求重物釋放后，物體的加速度和細繩的張力。（2） 若上述裝置固定在電梯頂部。當電梯以加速度a 相對地面豎直向上運動時，試求兩物體相對電梯的加速度和細繩的張力。解：（1）畫示意

14、圖：FT1m1FT2m2FG2a2m2a1FG1m1對兩物體分別運用牛頓第二定律：m1g - FT1 = m1a1 ， FT2 - m2 g = m2a2寫出運動約束關(guān)系：a1 = a2 = a ，F(xiàn)T1 = FT2 = FT聯(lián)立（1）（2）得：（1）（2）a = m1 - m22m1m2g ， F =（3）gTm + mm + m1212（2）畫示意圖：第 2 章 牛頓運動定律 10大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0FT1m1FT2m2aFG2FG1對兩物體分別運用牛頓第二定律：m1g - FT1 = m1a1 ， FT2 - m2 g = m2 a2寫出運動約束關(guān)系：a1 = ar

15、- a ， a2 = ar + a ， FT1 = FT2 = FT聯(lián)立（4）（5）得：（4）（5）m - m2m1m2a =(g + a ) ， F =12(g + a ) （6）rTm + mm + m1212討論：當a = 0 時，（6）就簡化為（3）。例題 2.5 長為 l 的輕繩，一端系有質(zhì)量為m 的小球，另一端系于定點O 。開始時小球處于最低位置。若小球獲得如圖所示的初速度 v0 ，小球?qū)⒃阢U直面內(nèi)作圓周運動。求小球在任意位置的速率及繩的張力。OqFlTet vFGenv0m解：在自然坐標系，列出牛頓第二定律的分量式：- mg sinq = m d v（1）dtv2FT - mg

16、cosq = m（2）l第 2 章 牛頓運動定律 11ararm2m1大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0將（1）兩邊同乘dq ，得：- mg sinq dq = m d v dq（3）dt因為 = dq ， v = l ，所以上式可變?yōu)椋篸t- gl sinq dq = vd v對（4）兩邊積分：（4）vqgl 0 - sinq dq = v vd v0得：即：2gl(cosq -1) = v 2- v20v =v + 2gl(cosq -2（5）1)0將（5）代入（2）得 v2FT = m 0 - 2g + 3g cosq （6）l討論：由（5）（6）可知，小球作變速率圓周運動，在起始

17、位置 v 和 FT都是最大值，如果小球可以達到最高點，即在q = 時， v 和 FT 同時達到最小。例題 2.6 假設(shè)空氣對拋體的阻力與拋體的速度成正比，即Fr = -kv ，k 為比例常量。拋體的質(zhì)量為m 、初速度為 v0 、拋射角為q 。求拋體運動的軌跡方程。yFrv0v0 yvk = 0FGk 0qvOx0x解：列出牛頓第二定律的分量式：F = ma第 2 章 牛頓運動定律 由：12大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0得： 即：再根據(jù)題意得：Fxi + Fy j = m(axi + aj j)Fx = maxF= mayyFr = -k( vxi + vy j) ， FG= -mg

18、j ， F = Fr + FG= m d vx- kv = maxxdt則：（）1d vydt- mg - kvy = may = md vx= - k dtvxm由（1）得：（2）kdvyk= -dt mg + kvym對（2）兩式分別積分：x d v kvt=-dtxvxvm00 x（3）vy d(mg + kvy )kt=- dt mmg + kvyv00 yv = v cosq e-kt m x0 mgk得：（）v4mg= ( v sinq +)e-kt my0k由速度-位移關(guān)系：x =v cosq edtt-kt m00（5）y =( v sinq +)e- mg dtmgt-kt

19、m00 kkmx =v cosq (1- e)-kt m0k得：（）6m mg mg v0sinq +(1- e y =-kt m) -tk kk第 2 章 牛頓運動定律 13大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.0由（6）消去 t 得：y = tanq +m2 g ln1-mgkcosq x +mv cosq x （7）kvk 200討論：顯然（7）不是拋物線方程。但當 k 很小時，對于ln1-kcosqx ，可利用泰勒公式展開，并略去三mv0階以上的高次項，即：ln1 +x - k- k(-k)21x -x （8）2mv cosqmv cosq2 (mv cosq )2000將（8）代入（

20、7）即得拋物線方程：y = x tanq - 1gx22 (v cosq )20第 2 章 牛頓運動定律 14大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)HZAURev. 3.02.4 伽利略相對性原理2.4.1 伽利略相對性原理一切彼此作勻速直線運動的參考系，對于描寫機械運動的力學(xué)規(guī)律來說是完全等價的，這個結(jié)論稱為力學(xué)相對性原理或伽利略相對性原理（Galilean principle of relativity）。2.4.2 經(jīng)典力學(xué)的時空觀在兩個慣性系K 和K中：a = a m = mF = ma = F = ma經(jīng)典力學(xué)把物質(zhì)和運動完全脫離的絕對時間和絕對空間的觀點，是把低速范圍內(nèi)總結(jié)出來的結(jié)論絕對化的結(jié)果。當我們接觸了物體的高速運動，發(fā)現(xiàn)伽利略變化不再適用，牛頓力學(xué)也應(yīng)該加以改造。2.4.3 非慣性系和慣性力a0xO車廂中的水平桌面放一光滑的小球，車廂在加速運動。站在地面看，小球沒有加速度，因為小球在水平方向不受力。站在車廂內(nèi)看，小球向后加速運動，牛頓定律失效，因為加速運動的車廂與地面不同，它是一個非