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2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開,一、泰勒級(jí)數(shù),上節(jié)例題,存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù),問題:,1.如果能展開, 是什么?,2.展開式是否唯一?,3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?,證明,泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得,泰勒系數(shù),問題,定義,泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?,不一定.,可見,在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),證明,必要性,充分性,證明,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法),步驟:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,兩邊積分,得,即,牛頓二項(xiàng)式展開式,注意:,雙階乘,2.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.,例如,例4,解,三、小結(jié),1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);,2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;,3.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法.,思考題,什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？,思考題解答,從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,

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