均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表--方開泰

1、目錄序言2前言4第一章 試驗(yàn)設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)51.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)51.2試驗(yàn)的因素和水平71.3因素的主效應(yīng)和因素間的交互效應(yīng)91.4全面試驗(yàn)和多次單因素試驗(yàn)131.5正交試驗(yàn)法（正交設(shè)計(jì)）161.6均勻設(shè)計(jì)181.7均勻設(shè)計(jì)表的使用21第二章 回歸分析簡介及其在均勻設(shè)計(jì)中的應(yīng)用242.1一元線性回歸模型242.2多元線性回歸模型292.3二次型回歸模型與變量篩選312.4應(yīng)用實(shí)例322.5尋求最優(yōu)工藝條件35第三章 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和運(yùn)用363.1 均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造363.2 均勻性準(zhǔn)則和使用表的產(chǎn)生393.4 均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)的比較46第四章 配方均勻設(shè)計(jì)494.1 配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)494.2 配

2、方均勻設(shè)計(jì)514.3 有約束的配方均勻設(shè)計(jì)534.4 均勻設(shè)計(jì)在系統(tǒng)工程中的應(yīng)用56序言在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常要做實(shí)驗(yàn)。如何安排實(shí)驗(yàn)，使實(shí)驗(yàn)次數(shù)盡量少，而又能達(dá)到好的試驗(yàn)效果呢？這是經(jīng)常會碰到的問題。解決這個問題有一門專門的學(xué)問，叫做“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”。試驗(yàn)設(shè)計(jì)得好，會事半功倍,反之就會事倍功半了。60年代，華羅庚教授在我國倡導(dǎo)與普及的“優(yōu)選法”，即國外的斐波那契方法，與我國的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)者在工業(yè)部門中普及的“正交設(shè)計(jì)”法都是試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。這些方法經(jīng)普及后，已為廣大技術(shù)人員與科學(xué)工作者掌握，取得一系列成就，產(chǎn)生了巨大的社會效益和經(jīng)濟(jì)效益。隨著科學(xué)技術(shù)工作的深入發(fā)展，上述兩種方法就顯得不夠了?！?/p>

3、優(yōu)選法”是單變量的最優(yōu)調(diào)試法，即假定我們處理的實(shí)際問題中只有一個因素起作用，這種情況幾乎是沒有的。所以在使用時，只能抓“主要矛盾”，即突出一個因素，而將其他因素固定，這樣來安排實(shí)驗(yàn)。因此“優(yōu)選法”還不是一個很精確的近似方法?！罢辉O(shè)計(jì)”的基礎(chǔ)是拉丁方理論與群論，可以用來安排多因素的試驗(yàn)，而且試驗(yàn)次數(shù)對各因素的各水平的所有組合數(shù)來說是大大地減少了，但對于某些工業(yè)試驗(yàn)與昂貴的科學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，試驗(yàn)仍嫌太多，而無法安排。1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求，提出了一個五因素的試驗(yàn)，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，而試驗(yàn)總數(shù)又不超過50，顯然優(yōu)選法和正交設(shè)計(jì)都不能用，方開泰教授在幾年前，曾為近似計(jì)算一個多

4、重積分問題找過我，我向他介紹了多重?cái)?shù)值積分的方法并取得了好結(jié)果，這就使他想到是否可能用數(shù)論方法于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的問題，于是我們經(jīng)過幾個月的共同研究，提出了一個新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，即所謂“均勻設(shè)計(jì)”，將這一方法用于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)，取得了成效，我們的文章在80年代初發(fā)表后，15年來，均勻設(shè)計(jì)已在我國有較廣泛的普及與使用，取得了一系列可喜的成績。均勻設(shè)計(jì)屬于近30年發(fā)展起來的“偽蒙特卡羅方法”的范籌。將經(jīng)典的確定的單變量問題的計(jì)算方法推廣后用于多變量問題的計(jì)算時，計(jì)算量往往跟變量個數(shù)有關(guān)，即使電腦再進(jìn)步很多，這種方法仍無法實(shí)際應(yīng)用，烏拉母（S.Ulam）與馮諾依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡羅方

5、法，即統(tǒng)計(jì)模擬方法，這個方法的大意是將一個分析問題化為一個有同樣解答的概率問題，然后用統(tǒng)計(jì)模擬的方法來處理后面這個問題，這樣使一些困難的分析問題反而得到了解決，例如多重定積分的近似計(jì)算。蒙特卡羅方法的關(guān)鍵是找一組隨機(jī)數(shù)作為統(tǒng)計(jì)模擬之用，所以這一方法的精度在于隨機(jī)數(shù)的均勻性與獨(dú)立性。50年代末，有些數(shù)學(xué)家試圖用確定性方法尋找空間中均勻散布的點(diǎn)集來代替蒙特卡羅方法中的隨機(jī)數(shù)，已經(jīng)找到的點(diǎn)集都是用數(shù)論方法找到的。按照外爾（H. Weyl）定義的測度來度量，它們的均勻性很好，但獨(dú)立性差些，用這些點(diǎn)集來代替蒙特卡羅方法中的隨機(jī)數(shù)，往往會得到更精確的結(jié)果。這一方法稱為偽蒙特卡羅方法或數(shù)論方法，數(shù)學(xué)家首先將

6、這一方法成功地用于多重積分近似計(jì)算。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，偽隨機(jī)數(shù)就是一個均勻分布的樣本。數(shù)值積分需要大樣本，均勻設(shè)計(jì)則要找一些小樣本。由于這個樣本比正交設(shè)計(jì)所對應(yīng)的樣本要均勻，所以用它來安排實(shí)驗(yàn)會得到好的效果。當(dāng)然在尋求小樣本時，尋求大樣本的方法是起了借鑒作用的。均勻設(shè)計(jì)只是數(shù)論方法的一個應(yīng)用，數(shù)論方法還有廣泛應(yīng)用的園地。例如多重插值公式的建立，某些積分與微分的近似求解，求函數(shù)整體極值，求某些多元分布的近似代表點(diǎn)，及用于統(tǒng)計(jì)推斷的一些問題，如多元正態(tài)性檢驗(yàn)及多元球性檢驗(yàn)。早在50年代末，外國剛開始研究為蒙特卡羅方法時，華羅庚就倡議并領(lǐng)導(dǎo)了這一方法在我國的研究，他的開拓性成果總結(jié)在我們的專著“數(shù)論

7、在近似分析中的應(yīng)用”（科學(xué)出版社，1978年；英文版：Springer-Verlag and Science Press,1981）中，這些工作是方開泰教授與我合作的工作重要的背景與參考材料之一。我與方開泰教授合作了近20年，由于他既是一個數(shù)學(xué)家，又有長期在中國各工業(yè)部門普及應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的寶貴經(jīng)驗(yàn)，所以他有很好的應(yīng)用數(shù)學(xué)背景與洞察力。他能及時地提出有價值的研究問題及解決問題的可能途徑，我們的合作既是愉快的，又是富于成效的，我們的成果總結(jié)在我們的專著”Number-Theroretic Methods in Statistics”（Chapman and Hall,1993,中文版在出版過程中）

8、之中。方開泰教授的這本書著重于應(yīng)用及普及，但也包括了他的最新成果，書后的均勻設(shè)計(jì)表就是最近他用準(zhǔn)確的偏差方法算出來的，比過去的結(jié)果有較大的改進(jìn)，我相信本書的出版，對于在我國進(jìn)一步普及與應(yīng)用均勻設(shè)計(jì)將是很重要的，我愿借此機(jī)會預(yù)祝本書成功。 王元 1994年2月前言 均勻設(shè)計(jì)是1978年王元教授和我共同提出的，10多年來，均勻設(shè)計(jì)在理論上有了不少新的發(fā)展，如各種均勻性度量的探討，拉丁方均勻設(shè)計(jì)的提出將均勻設(shè)計(jì)用于配方設(shè)計(jì)而產(chǎn)生的配方均勻設(shè)計(jì)，特別地，最近我們又發(fā)現(xiàn)了一批奇數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表，它們比原來的表均勻性有顯著地改善，這些表和它們的均勻表都已收集在本書的附錄中，由于實(shí)際的需要，利用擬水平的技術(shù)可

9、以產(chǎn)生有混合水平的均勻設(shè)計(jì)表，本書也給出了不少這一類的設(shè)計(jì)表，并列出它們的均勻度，此外，本書給出了均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)的比較。 本書是一本普及教材，目的是向廣大科技工作者介紹均勻設(shè)計(jì)的原理，方法和應(yīng)用，讀者并不需要具備高深的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)知識，中國數(shù)學(xué)會均勻設(shè)計(jì)學(xué)會已經(jīng)研制了有關(guān)軟件和教學(xué)錄象帶，方便使用者有效地使用均勻設(shè)計(jì)，特別是數(shù)據(jù)分析方面，該軟件包含了豐富的內(nèi)容，比本書的材料更為豐富，本書也可作為大學(xué)和研究生的教材和參考書。 本書共分四章，第一章介紹試驗(yàn)設(shè)計(jì)的重要性，正交設(shè)計(jì)和如何使用均勻設(shè)計(jì)來設(shè)計(jì)試驗(yàn)。第二章首先對回歸分析作了簡單的介紹，隨后介紹均勻設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析，工藝條件的優(yōu)化。第三章介紹

10、均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造，使用表的構(gòu)造，均勻度準(zhǔn)則，以及正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)的比較。第四章討論配方設(shè)計(jì)，首先介紹文獻(xiàn)中推薦的三種配方設(shè)計(jì)方法，然后給出配方均勻設(shè)計(jì)，有約束配方均勻設(shè)計(jì)，最后給出均勻設(shè)計(jì)在系統(tǒng)工程等方面的應(yīng)用。 在編寫這本講義中，中國科學(xué)院院士王元教授給出了許多指導(dǎo)性意見，并為本書寫了精彩的序言，沒有華一王（華羅庚王元）當(dāng)年開創(chuàng)性的工作，就不可能有均勻設(shè)計(jì)。 中國航天工業(yè)總公司三院張建舟高級工程師，東北制藥總廠張承恩高級工程師，北京軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院張學(xué)中研究員給了我很多支持和幫助，中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)所我的學(xué)生李潤澤和張金廷同志協(xié)助我整理和打印，在此表示衷心地感謝。 由于作者水平有限，加之本書

11、是利用春節(jié)假期匆匆趕出來的，難免有錯誤或不恰當(dāng)之處，歡迎讀者批評指正。 方開泰 中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所 香港浸會大學(xué) 1994年2月第一章 試驗(yàn)設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)1.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，經(jīng)常需要做試驗(yàn)，以求達(dá)到預(yù)期的目的。例如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中希望通過試驗(yàn)達(dá)到高質(zhì)、優(yōu)產(chǎn)、低消耗，特別是新產(chǎn)品試驗(yàn)，未知的東西很多，要通過試驗(yàn)來摸索工藝條件或配方。如何做試驗(yàn)，其中大有學(xué)問。試驗(yàn)設(shè)計(jì)得好，會事半功倍，反之會事倍功半，甚至勞而無功。本世紀(jì)30年代，由于農(nóng)業(yè)試驗(yàn)的需要，費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)在試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析方面做出了一系列先驅(qū)工作，從此試驗(yàn)設(shè)計(jì)成為統(tǒng)計(jì)科學(xué)的一個分支。隨后，F(xiàn).Ya

12、tes,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box對試驗(yàn)設(shè)計(jì)都作出了杰出的貢獻(xiàn)，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛。60年代，日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家田口玄一將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計(jì)表格化，在方法解說方面深入淺出為試驗(yàn)設(shè)計(jì)的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻(xiàn)。田口玄一的方法對我國試驗(yàn)設(shè)計(jì)的普及和廣泛應(yīng)用有巨大的影響，70年代我國許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家深入工廠、科研單位，用通俗的方法介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，幫助工程技術(shù)人員進(jìn)行試驗(yàn)的安排和數(shù)據(jù)分析，獲得了一大批優(yōu)秀成果，出版了許多成果匯編，舉辦了不少成果展覽會。在廣泛使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的洪流中，必然會出現(xiàn)一些

13、新的問題，這些總是用原有的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法不能圓滿地解決，特別是當(dāng)試驗(yàn)的范圍較大，試驗(yàn)因素需要考察較多等級（在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中這些等級稱之為水平）時，用正交試驗(yàn)及其它流行的試驗(yàn)方法要求做較多的試驗(yàn)，常使得試驗(yàn)者望而生畏。許多實(shí)際問題要求一種新的試驗(yàn)方法，它能有效地處理多水平的試驗(yàn)，于是王元和方開泰于1978年提出了均勻設(shè)計(jì)（見文獻(xiàn)13），該設(shè)計(jì)考慮如何將設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻地散布在試驗(yàn)范圍內(nèi)，使得能用較少的試驗(yàn)點(diǎn)獲得最多的信息。10多年來，均勻設(shè)計(jì)在國內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用，并獲得不少好的成果。試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工業(yè)生產(chǎn)和工程設(shè)計(jì)中能發(fā)揮重要的作用，例如：1） 提高產(chǎn)量；2） 減少質(zhì)量的波動，提高產(chǎn)品質(zhì)量水準(zhǔn)；3） 大大縮

14、短新產(chǎn)品試驗(yàn)周期；4） 降低成本；5） 延長產(chǎn)品壽命。在自然科學(xué)中，有些規(guī)律開始尚未由人們所認(rèn)識，通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以獲得其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上提出科學(xué)猜想,這些猜想促進(jìn)了學(xué)科的發(fā)展，例如遺傳學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都藉助于上述過程。材料工業(yè)是工業(yè)中的棟梁，汽車拖拉機(jī)的制造離不開各種合金鋼，鈦合金的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)使飛機(jī)制造工業(yè)產(chǎn)生飛躍。超導(dǎo)的研究和超導(dǎo)材料的配方息息相關(guān)。配方試驗(yàn)又稱混料試驗(yàn)（Experiments with Mixtures），不僅出現(xiàn)于材料工業(yè)，而且在人們生活和其它工業(yè)中處處可見，例如在中藥、飲料、混凝土的配方中。由于在配方中各種材料的總和必須為100，其試驗(yàn)設(shè)計(jì)必須考慮到這個約束條件，由于這

15、個原因正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)等方法不能直接用于配方設(shè)計(jì)。針對配方設(shè)計(jì)的要求，Scheff于1958年提出了單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，隨后于1963年他又提出了單純形重心設(shè)計(jì)。Cornell27對配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)的各種方法作了詳盡的介紹和討論。顯然，均勻設(shè)計(jì)的思想也能用于配方試驗(yàn)，王元和方開泰9給出了配方均勻設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方法和有關(guān)的討論。本書第五章將系統(tǒng)介紹配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)和配方均勻設(shè)計(jì)。不論是均勻設(shè)計(jì)或配方均勻設(shè)計(jì),其數(shù)據(jù)分析都要藉助于回歸分析，要用到線性回歸模型、二次回歸模型、非線性模型，以及各種選擇回歸變量的方法（如前進(jìn)法、后退法、逐步回歸、最優(yōu)回歸子集等）。有關(guān)回歸分析的書籍成百上千，本書僅作梗概介紹。讀者很容易找

16、到各種參考書籍獲得更詳細(xì)的介紹。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法很多，本書重點(diǎn)介紹均勻設(shè)計(jì)，這并不意味其它方法不重要，每種方法都有其優(yōu)點(diǎn)，也有其局限性，根據(jù)實(shí)際情況選取合適的方法是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容。1.2試驗(yàn)的因素和水平 在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、科學(xué)研究和軍事科學(xué)的研究中，經(jīng)常需要作各種試驗(yàn)，以研究各種因素之間的關(guān)系，找到最優(yōu)的工藝條件或最好的配方。讓我們先看一個例子：例1 在一個化工生產(chǎn)過程中，考慮影響得率（產(chǎn)量）的三個因素：溫度(A)，時間(B)和加堿量(C)。為了便于試驗(yàn)的安排，每個因素要根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)來選擇一個試驗(yàn)范圍，然后在試驗(yàn)范圍內(nèi)挑出幾個有代表性的值來進(jìn)行試驗(yàn)，這些值稱做該因素的水平。在該例中，我們選擇的

17、試驗(yàn)范圍如下： 溫度： 77.592.5 時間： 75分165分 加堿量： 4.5%7.5%然后在上述范圍內(nèi)，每個因素各選三個水平，組成如下的因素水平表：表1 因素水平表因素123溫度（）808590時間（分）90120150加堿量（）567選擇因素和水平關(guān)系到一個試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵，下列的注意事項(xiàng)和建議對使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的人員可能是有益的。1在一個生產(chǎn)過程中，有關(guān)的因素通常是很多的，例如在例1的化工生產(chǎn)工藝中，有催化劑的品種，催化劑用量，加堿時的速度，容器中的壓力等。但根據(jù)這次試驗(yàn)?zāi)康模藴囟龋ˋ），時間（B），和加堿量（C）各取三個水平外，其余因素是固定的，或者講，他們只取一個水平。為了方便

18、，通常這些固定的因素在試驗(yàn)方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素。2在一項(xiàng)試驗(yàn)中，如何從眾多的有關(guān)因子中挑選出試驗(yàn)方案中的因素？我們建議課題的領(lǐng)導(dǎo)者應(yīng)當(dāng)要請有經(jīng)驗(yàn)的工程師、技術(shù)員、工人共同討論決定。在一次試驗(yàn)中，因素不宜選得太多（如超過10個），那樣可能會造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。相反地，因素也不宜選得太少，（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗(yàn)的結(jié)果達(dá)不到預(yù)期的目的。例如，有這樣的故事，原計(jì)劃試驗(yàn)方案中只有三個因素，而利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，可以在不增加試驗(yàn)數(shù)目的前提下，再增加一個因素，既然不費(fèi)事何樂而不為呢？試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，最后添加的這

19、個因素是最重要的，從而發(fā)現(xiàn)了歷史上最好的工藝條件，正是“有心栽花花不成，無意插柳柳成蔭?！?試驗(yàn)的范圍應(yīng)當(dāng)盡可能大一點(diǎn)。如果試驗(yàn)在試驗(yàn)室進(jìn)行，試驗(yàn)范圍大比較容易實(shí)現(xiàn)；如果試驗(yàn)直接在生產(chǎn)中進(jìn)行，則試驗(yàn)范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。試驗(yàn)范圍太小的缺點(diǎn)是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果。歷史上有些重大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，是由于“事故”而獲得的，也就是說試驗(yàn)的范圍大大不同于有經(jīng)驗(yàn)的范圍。4若試驗(yàn)范圍允許大一些，則每一因素的水平個數(shù)最好適當(dāng)多一些。5水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。若在例1中溫度的控制只能作到3,且我們設(shè)定控制在85,于是在生產(chǎn)過程中溫度將會在853,即8288波動。

20、不難看到，這時設(shè)定的三個水平80,85,90之間是太近了，應(yīng)當(dāng)加大，例如80,90,100。如果溫度控制的精度可達(dá)1,則例1如設(shè)定的三個水平是合理的。6因素和水平的含意可以是廣義的。例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應(yīng)，這時“棉花品種”可設(shè)定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水平 。 1.3因素的主效應(yīng)和因素間的交互效應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)的目的，要預(yù)先確定一項(xiàng)或多項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)，為簡單計(jì)，本書僅討論只有一項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)（記作Y）的情形。如例如1的試驗(yàn)Y是得率。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱試驗(yàn)指標(biāo)為響應(yīng)（response）為通俗起見，本書中就叫試驗(yàn)指標(biāo)。考察一個因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是試驗(yàn)的目的之一

21、。若在一項(xiàng)試驗(yàn)中，考察溫度和得率Y之間的關(guān)系，并取溫度五個水平，其相應(yīng)Y值如下：溫度5060708090Y30%35%40%45%50%我們看到，溫度每增加10得率增加5%這5%就是溫度的效應(yīng)。上述試驗(yàn)可以表成一個線性數(shù)學(xué)模型 (1.1)其中為第次試驗(yàn)結(jié)果，為溫度從50到90范圍內(nèi)Y的平均值。通?？梢杂梦宕卧囼?yàn)的平均值來估計(jì)，記作，即表示溫度取第個水平時的值與之差。不難發(fā)現(xiàn)，它們的估計(jì)值為這里稱為溫度在五個水平下的主效應(yīng)，為它們的估計(jì)值。由于試驗(yàn)中總存在一些偶然因素的干擾，如室溫的變化，電壓的波動，材料的不均勻性，這些偶然因素總稱為隨機(jī)誤差。由于試驗(yàn)誤差的存在，不可能產(chǎn)生上例那么理想的情況。其

22、實(shí)際數(shù)據(jù)可能為溫度5060708090Y32%34%39%46%49%這時數(shù)學(xué)模型為 (1.2)這里為第次試驗(yàn)的試驗(yàn)誤差。這時試驗(yàn)必須有重復(fù)才能估計(jì)出和.實(shí)際上，當(dāng)試驗(yàn)的水平和相應(yīng)的Y為連續(xù)變量時，其數(shù)學(xué)模型也可以用回歸方程來表達(dá)，例如，用線性回歸方程 (1.3) 其中X表示溫度，和是回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。在第二章將介紹，和可以用最小二乘法由試驗(yàn)數(shù)據(jù)估出，由上述溫度和得率的數(shù)據(jù)可得回歸方程 (1.4)這里為試驗(yàn)結(jié)果Y的估計(jì)值。利用方程(1.4)可以估出五次試驗(yàn)的結(jié)果如下：30.835.440.044.649.21.2-1.4-1.01.4-0.2其中稱為殘差，它的大小反映了回歸方程(1.4)的

23、精確程度，并可用它作回歸診斷，更詳細(xì)討論請看第二章。方程(1.4)中，X的回歸系數(shù)0.46有明確的實(shí)際含意，它表示溫度每增加一度，其得率Y平均增加0.46%，于是0.46反映了X對Y的效應(yīng)，這里可以稱為線性回歸效應(yīng)。有一點(diǎn)是必須注意的，無論是模型(1.2)中的主效應(yīng)，還是模型(1.3)中的線性回歸效應(yīng)，都強(qiáng)烈地依賴于試驗(yàn)條件，尤其是X的試驗(yàn)范圍，也就是說，這兩個模型只適用于X的試驗(yàn)范圍內(nèi)。否則，當(dāng)X為210時，的估值為104.4%，這是不可能的，因?yàn)榈寐士偸切∮?00%的。顯然，模型(1.2)和(1.3)是最簡單的情形，實(shí)際情況是多種多樣的，例如X和Y之間可能有非線性回歸關(guān)系，或其它相關(guān)關(guān)系。

24、這些將在以后討論?，F(xiàn)在我們來介紹因素間交互作用的概念。首先，設(shè)有兩個因素A和B它們各取兩個水平和。這時共有四種不同的水平組合，其試驗(yàn)結(jié)果列于圖1。當(dāng)時，變到使Y增加30-10=20；類似地，當(dāng)時，變到使Y也增加40-20=20。這就是說A對Y的影響與B取什么水平無關(guān)。類似地，當(dāng)B從變到時，Y增加20-10（或40-30=10），與A取的水平無關(guān)。這時，我們稱A和B之間沒有交互作用。判斷和之間有沒有交互作用,選用圖2的作圖方法更為直觀。當(dāng)圖中的兩條線平行時（或接近平行時），判斷A和B之間沒有交互作用.圖3和圖4給出了一個有交互作用的例子，它們的含意和作圖方法與圖和圖2是一樣的。1 交互作用在實(shí)際中是大量存在的，例如化學(xué)反應(yīng)中催化劑的多少與其它成分的投入量通常是有交互作用的。水中各種金屬含量太多，對人體健康會造成危害，金屬之間對人體的危害也存在交互作