中考數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)精講(打印)

1、圓知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例 P為O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)；最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_(kāi)解題思路：圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，.知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)

2、在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。例 如圖，在中，直角邊，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)在圓A的_，點(diǎn)在圓A的_解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果

3、兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。圓周角定理推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角；的圓周角所對(duì)的弦是直徑。例1 如圖，在半徑為5cm的O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如圖，A、B、C、D是O上的三點(diǎn)，BAC=30，則BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例3、如圖1和圖2，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，APM=CPM（1）由以上條

4、件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若交點(diǎn)P在O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 (1) (2) 解題思路：（1）要說(shuō)明AB=CD，只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等 解：（1）AB=CD 理由： （2）作OEAB，OFCD，垂足為E、F 例4如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 解題思路：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是BAC的平分線即可 解：BD=CD 理由是：知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個(gè)

5、點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1 如圖，通過(guò)防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺(jué)地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖2449所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見(jiàn)，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問(wèn)如果你是工程師，你將如何選址解題思路： 連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的

6、位置例2 如圖，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，若BAC=80，則BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例3 如圖，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，dr；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的

7、直線是圓的切線。切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例1、 在中，BC=6cm，B=30，C=45，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長(zhǎng)時(shí)所作的A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：例2如圖，AB為O的直徑，C是O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且DCB=A（1）CD與O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若CD與O相切，且D=30，BD=10，求O的半徑 解題思路：（1）要說(shuō)明CD是否是O的切線，只要說(shuō)明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)

8、已在圓上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解：知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題外離：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部?jī)?nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)

9、系 外離dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1r2dr1+r2 內(nèi)切d=r1r2 內(nèi)含0dr1r2（其中d=0，兩圓同心）例1兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點(diǎn)O，O是圓心），分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小 （1） (2) 解題思路：要求TPN，其實(shí)就是求OPO的角度，很明顯，POO是正三角形，如圖2所示 解： 例2如圖1所示，O的半徑為7cm，點(diǎn)A為O外一點(diǎn)，OA=15cm，求：（1）作A與O外切，并求A的半徑是多少？ (1) (2)(2）作A與O相內(nèi)切，并求出此時(shí)A的半徑 解題思路：（1）作A和O外切，就是作以A為圓心的

10、圓與O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rArO例3如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上 （1）若點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），B半徑為3，試判斷A與B位置關(guān)系；_A_y_x_O （2）若B過(guò)M（2，0）且與A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系正多邊形的中心：所有對(duì)稱軸的交點(diǎn)； 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)

11、的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。例1如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和面積解題思路：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過(guò)O點(diǎn)作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的解：例2在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于ABC的矩形水池DE

12、FN，其中D、E在AB上，如圖2494的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6（1）求ABC的邊AB上的高h(yuǎn)（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)185的M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù) 解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題 解：知識(shí)點(diǎn)八、弧長(zhǎng)和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點(diǎn)：n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=，扇形面

13、積S扇=、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用難點(diǎn)：公式的應(yīng)用1n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=2圓心角為n的扇形面積是S扇形=3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2例1操作與證明：如圖所示，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a解題思路：如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD 四邊形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90，MAO=NDO， 又MON=90，AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN

14、=DN+AN=AD=a特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A（點(diǎn)B）重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D（點(diǎn)A）重合，此時(shí)AM+AN仍為定值a故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a例2已知扇形的圓心角為120，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長(zhǎng)； （2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？ 解題思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，就可求圓的半徑，其截面是一個(gè)以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解：考查目標(biāo)一、主要是指圓的基礎(chǔ)知識(shí)，包括圓的對(duì)稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及

15、垂徑定理等內(nèi)容。這部分內(nèi)容是圓的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何推理和幾何計(jì)算例1、如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)請(qǐng)寫(xiě)出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論； (2)若BC=8，ED2，求O的半徑解題思路：運(yùn)用圓的垂徑定理等內(nèi)容解：例2.已知：如圖等邊內(nèi)接于O，點(diǎn)是劣弧PC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長(zhǎng)至，使，連結(jié)（1）若過(guò)圓心，如圖，請(qǐng)你判斷是什么三角形？并說(shuō)明理由（2）若不過(guò)圓心，如圖，又是什么三角形？為什么？AOCDPB圖AOCDPB圖解題思路：（1）為等邊三角形 理由：例3.(1)如圖OA、OB是O的兩條半徑，且OAOB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)C作C

16、D切O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E求證：CD=CE (2)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)交OA于F，交O于B，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)到O外的CF，點(diǎn)E是DA的延長(zhǎng)線與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么 解題思路：本題主要考查圓的有關(guān)知識(shí)，考查圖形運(yùn)動(dòng)變化中的探究能力及推理能力 解答：(1)證明：連結(jié)OD 則ODCD，CDE+ODA=90 (2)CE=CD仍然成立 (3)CE=CD仍然成立 考查目標(biāo)二、主要是指點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生要

17、學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)理解和解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系的問(wèn)題。例1、是O的直徑，切O于，交O于，連ABCPO若，求的度數(shù)解題思路：運(yùn)用切線的性質(zhì) .切O于是O的直徑， ，例2.如圖，四邊形內(nèi)接于O，是O的直徑，垂足為，平分（1）求證：是O的切線；DECBOA（2）若，求的長(zhǎng)解題思路：運(yùn)用切線的判定（1）證明：連接，平分， DECBOA，是O的切線 （2）是直徑， 平分， 在中，在中，的長(zhǎng)是1cm，的長(zhǎng)是4cm考查目標(biāo)三、主要是指圓中的計(jì)算問(wèn)題，包括弧長(zhǎng)、扇形面積，以及圓柱與圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算，這部分內(nèi)容也是歷年中考的必考內(nèi)容之一。學(xué)生要理解圓柱和其側(cè)面展開(kāi)圖矩形、圓錐和其側(cè)面展開(kāi)圖扇形之間的關(guān)系

18、。例1、如圖，已知在O中，AB=，AC是O的直徑，ACBD于F，A=30.(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.解題思路：（1）法一：過(guò)O作OEAB于E，則AE=AB=2。 FE在RtAEO中，BAC=30，cos30=OA=4 又OA=OB，ABO=30BOC=60ACBD，COD =BOC=60BOD=120FS陰影= 法二：連結(jié)AD ACBD，AC是直徑，AC垂直平分BD。 AB=AD，BF=FD，。BAD=2BAC=60，BOD=120 BF=AB=2，sin60=， AF=ABsin60=4=6。OB2=BF2+OF2即OB=4S陰影=S圓=。 法三：連結(jié)BC AC為O的直徑， ABC=90。FAB=4， A=30， ACBD， BOC=60，BOD=120S陰影=OA2=42=。 以下同法一。（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長(zhǎng)為2r， O