第九節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、第九節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程教學目的：掌握自由項為和的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的方法教學重點：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解的待定系數(shù)法教學難點：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解的待定系數(shù)法教學內(nèi)容：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的形式為：根據(jù)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，要求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，只需先求得對應(yīng)齊次線性微分方程的通解和該非齊次線性微分方程的一個特解即可。而齊次線性微分方程的通解已在上一目得到解決，因此本節(jié)將解決非齊次線性微分方程的特解問題。為此，針對自由項的特點，采用如下待定系數(shù)法：根據(jù)二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，要求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

2、的通解，只需先求得非齊次方程的特解和對應(yīng)齊次方程的通解，則就是非齊次方程的通解。而用待定系數(shù)法求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解分兩種情形討論：一、 這里l是常數(shù),Pm(x)是m次多項式.由于指數(shù)函數(shù)與多項式之積的導(dǎo)數(shù)仍是同類型的函數(shù),而現(xiàn)在微分方程右端正好是這種類型的函數(shù).因此,不妨假設(shè)方程的特解為其中Q(x)是x的多項式,將y*代入方程并消去得(1) 若l不是的特征方程的根,那么這時與應(yīng)同次,于是可令代入,比較等式兩端x同次冪的系數(shù)，就得到含的m+1個方程的聯(lián)立方程組，從而可以定出這些系數(shù),并求得特解(2) 若l是特征方程的單根, 那么,而 .此時，應(yīng)是m次多項式,再注意到此時，為常數(shù))

3、為 的解,故可令(3) 若l是特征方程的重根,那么且這時應(yīng)是m次多項式，再注意到此時和為常數(shù))均為 的解.故可設(shè)綜上所述,有如下結(jié)論：如果,則方程具有形如的特解，其中 是與同次的特定多項式，而k按l不是特征方程的根,是特征方程的單根或者是特征方程的重根依次取0,1或2.例1 的一個特解解 本題而特征方程為不是特征方程的根，設(shè)所求特解為代入方程 : 比較系數(shù), 得所以于是所求特解為例2 求方程的通解解 特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程特解為 代入方程得比較系數(shù), 得 解得因此特解為所求通解為二 型分析思路： 第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第二步 求出如下兩個方程的特解 第三步

4、利用疊加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特點解法： 第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形 令則第二步 求如下兩方程的特解 設(shè)是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 則特解: 故 等式兩邊取共軛 為方程的特解 第三步 求原方程的特解利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 第四步 分析的特點 所以本質(zhì)上為實函數(shù)，所以均為 m 次實多項式 例3 求方程的一個特解 解 特征方程 不是特征方程的根,故設(shè)特解為 代入方程得 比較系數(shù) , 得 于是求得一個特解例4 第七節(jié)例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f和鉛直干擾力的作用求物體的運動規(guī)律解 問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方

5、程 當p k 時, 齊次通解 非齊次特解形式 代入可得 因此原方程之解為 自由振動 強迫振動當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時振幅將很大 當 p = k 時非齊次特解形式: 代入可得:方程的解為 自由振動 強迫振動隨著 t 的增大 , 強迫振動的振幅可無限增大, 這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠離固有頻率 k ;若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使p = k .對機械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用, 如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 小結(jié)與思考：自由項為多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積，即的情形，此時非齊次方程的特解，其中是與已知多項式同次的多項式(其系數(shù)可將特解代入非齊次方程，比較方程兩端同類項的系數(shù)，聯(lián)立求解而得到)，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根和是特征方程的重根分別取、和；自由項的情形，此時非齊次方程的特解，其中和是次的多項式(其系數(shù)可將特解代入非齊次方程，比較方程兩端同類項的系數(shù)，聯(lián)立求解而得到)，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根和是特征方程的重根分別取和1。（1）寫出微分方程的待定特解的形式。=為待定系數(shù)。（2）求解。（3）