第九節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、第九節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程教學(xué)目的：掌握自由項(xiàng)為和的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的方法教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解的待定系數(shù)法教學(xué)難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解的待定系數(shù)法教學(xué)內(nèi)容：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的形式為：根據(jù)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，要求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，只需先求得對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解和該非齊次線性微分方程的一個(gè)特解即可。而齊次線性微分方程的通解已在上一目得到解決，因此本節(jié)將解決非齊次線性微分方程的特解問(wèn)題。為此，針對(duì)自由項(xiàng)的特點(diǎn)，采用如下待定系數(shù)法：根據(jù)二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，要求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

2、的通解，只需先求得非齊次方程的特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則就是非齊次方程的通解。而用待定系數(shù)法求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解分兩種情形討論：一、 這里l是常數(shù),Pm(x)是m次多項(xiàng)式.由于指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式之積的導(dǎo)數(shù)仍是同類(lèi)型的函數(shù),而現(xiàn)在微分方程右端正好是這種類(lèi)型的函數(shù).因此,不妨假設(shè)方程的特解為其中Q(x)是x的多項(xiàng)式,將y*代入方程并消去得(1) 若l不是的特征方程的根,那么這時(shí)與應(yīng)同次,于是可令代入,比較等式兩端x同次冪的系數(shù)，就得到含的m+1個(gè)方程的聯(lián)立方程組，從而可以定出這些系數(shù),并求得特解(2) 若l是特征方程的單根, 那么,而 .此時(shí)，應(yīng)是m次多項(xiàng)式,再注意到此時(shí)，為常數(shù))

3、為 的解,故可令(3) 若l是特征方程的重根,那么且這時(shí)應(yīng)是m次多項(xiàng)式，再注意到此時(shí)和為常數(shù))均為 的解.故可設(shè)綜上所述,有如下結(jié)論：如果,則方程具有形如的特解，其中 是與同次的特定多項(xiàng)式，而k按l不是特征方程的根,是特征方程的單根或者是特征方程的重根依次取0,1或2.例1 的一個(gè)特解解 本題而特征方程為不是特征方程的根，設(shè)所求特解為代入方程 : 比較系數(shù), 得所以于是所求特解為例2 求方程的通解解 特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程特解為 代入方程得比較系數(shù), 得 解得因此特解為所求通解為二 型分析思路： 第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解 第三步

4、利用疊加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)解法： 第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形 令則第二步 求如下兩方程的特解 設(shè)是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 則特解: 故 等式兩邊取共軛 為方程的特解 第三步 求原方程的特解利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 第四步 分析的特點(diǎn) 所以本質(zhì)上為實(shí)函數(shù)，所以均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 例3 求方程的一個(gè)特解 解 特征方程 不是特征方程的根,故設(shè)特解為 代入方程得 比較系數(shù) , 得 于是求得一個(gè)特解例4 第七節(jié)例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f和鉛直干擾力的作用求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解 問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方

5、程 當(dāng)p k 時(shí), 齊次通解 非齊次特解形式 代入可得 因此原方程之解為 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時(shí)振幅將很大 當(dāng) p = k 時(shí)非齊次特解形式: 代入可得:方程的解為 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可無(wú)限增大, 這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使p = k .對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō), 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō),共振可能起有利作用, 如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 小結(jié)與思考：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，即的情形，此時(shí)非齊次方程的特解，其中是與已知多項(xiàng)式同次的多項(xiàng)式(其系數(shù)可將特解代入非齊次方程，比較方程兩端同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，聯(lián)立求解而得到)，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根和是特征方程的重根分別取、和；自由項(xiàng)的情形，此時(shí)非齊次方程的特解，其中和是次的多項(xiàng)式(其系數(shù)可將特解代入非齊次方程，比較方程兩端同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，聯(lián)立求解而得到)，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根和是特征方程的重根分別取和1。（1）寫(xiě)出微分方程的待定特解的形式。=為待定系數(shù)。（2）求解。（3）