空間幾何體的表面積和體積經(jīng)典例題(教師講義打印一份)

1、空間幾何體的表面積和體積一課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。二命題走向近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)2016年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式

2、；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；三要點(diǎn)精講1多面體的面積和體積公式名稱(chēng)側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)lS側(cè)+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底h正棱錐ch棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái) (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)

3、4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。四典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。

4、我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。圖1 圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，從而OM=ON。點(diǎn)O在BAD的平分線上。（2）AM=AA1cos=3=A

5、O=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面體的體積為。題型2：柱體的表面積、體積綜合問(wèn)題例3一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C6 D解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b，c，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長(zhǎng)。例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為A

6、B、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積（2015湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為BA. B. C. D. 點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例6（2015北京，19）（本小題滿(mǎn)分12分）ABCMPD如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，（）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（）求四棱錐的

7、體積（）證明：在中，由于，ABCMPDO所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（）解：過(guò)作交于，由于平面平面，所以平面因此為四棱錐的高，又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題例7ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、

8、FB構(gòu)造三棱錐BEFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類(lèi)題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8（2015江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系

9、不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問(wèn)題例9（2015四川理，19）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，面ABEF面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BEAF

10、，G、H分別是FA、FD的中點(diǎn)。()證明：四邊形BCHG是平行四邊形；()C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？()設(shè)AB=BE，證明：平面ADE平面CDE.GHFEDCBA)解法一： ()由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. ()C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下： 由BE ,G是FA的中點(diǎn)知，BE GF，所以EFBG. 由()知BGGH，故FH共面.又點(diǎn)D在直線FH上. 所以C、D、F、E四點(diǎn)共面. ()連結(jié)EG，由AB=BE，BE AG及BAG=90知ABEG是正方形. 故BGEA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故

11、AD平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BGED. 又EDEAE，所以BG平面ADE. 由()知，CHBG，所以CH平面ADE.由()知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE. 解法二： 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. ()設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是又點(diǎn)G不在直線BC上.所以四邊形BCHG是平行四邊形.()C

12、、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下：由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以()由AB=BE，得c=a，所以又即 CHAE,CHAD,又 ADAE =A,所以CH平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題。考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10（1）（2015四川理，8）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：( D )（）（

13、）（）（）【解】：設(shè)分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓的半徑為，球半徑為，則： 這三個(gè)圓的面積之比為： 故選D【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系；【突破】：畫(huà)圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理；例11（2015四川文，12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( B )（） （） （） （）【解】：如圖在三棱柱中，設(shè)，由條件有，作于點(diǎn)，則 故選B【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時(shí)考察空間想象能力；【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)

14、用是解決此題的關(guān)鍵；例12如圖99，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。圖題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問(wèn)題例13已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，。點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例14如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB

15、，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。解析：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC內(nèi)的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共線，球的半徑R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱(chēng)性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方

16、體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。題型9：球的面積、體積綜合問(wèn)題例15（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，又，（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè)AOFAEG ，得AO1HAOF ，得點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題例19（1）我

17、國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，答：北緯緯線長(zhǎng)約等于（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，所以，球心到截面距離為例16在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，中，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。31、已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底

18、面面積之和,求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).解:設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為,則 1分圓臺(tái)的上底面面積為 3分 圓臺(tái)的上底面面積為 5分 所以圓臺(tái)的底面面積為 6分 又圓臺(tái)的側(cè)面積 8分于是 9分即為所求. 10分32、一塊邊長(zhǎng)為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,試建立容器的容積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域. (12分)解:如圖,設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為. 在中, , 3分 所以, 6分于是 10分依題意函數(shù)的定義域?yàn)?12分33.已知兩個(gè)幾何體的三視圖如下，試求它們的表面積和體積。單位：CM圖（2圖（1）解：（1）圖（1）中的幾何體可看成是一

19、個(gè)底面為直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底為，下底為，高為；棱柱的高為?？汕蟮弥苯翘菪蔚乃臈l邊的長(zhǎng)度為1，1，2，。所以此幾何體的體積(2)由圖可知此正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為，可求得底面邊長(zhǎng)為4。所以34.養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12M，高4M。養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽?，F(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4M（高不變）；二是高度增加4M(底面直徑不變)。（1） 分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；（2） 分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；（3） 哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？34、（1）如果按

20、方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16M,則倉(cāng)庫(kù)的體積如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8M，則倉(cāng)庫(kù)的體積（2）如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16M,半徑為8M.棱錐的母線長(zhǎng)為則倉(cāng)庫(kù)的表面積如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8M.棱錐的母線長(zhǎng)為則倉(cāng)庫(kù)的表面積（3） ，35 （14分） （如圖）在底半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積.解：圓錐的高，圓柱的底面半徑， 36.(2015年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AEDE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面積【思路點(diǎn)撥】(1)證明AED為直角

21、三角形，然后求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)分別求出側(cè)面積與底面積【解】(1)設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為x.ABC是正三角形，AEBC.又底面ABC側(cè)面BB1C1C，且交線為BC，AE側(cè)面BB1C1C，在RtAED中，由AEDE，得 ，解得x2.即正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2.(2)SS側(cè)S底，S側(cè)32212，S底222，SS側(cè)S底122.【點(diǎn)評(píng)】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來(lái)求五思維總結(jié)1正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到