09現(xiàn)代控制理論chp4-1

1、第四章穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法4-1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4-2 李亞普諾夫第一法4-3 李亞普諾夫第二法4-4 李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4-5 李亞普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用14-1李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義1.2.系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的幾個(gè)定義24-1-1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程是 x& =f (x,t)xn維狀態(tài)矢量，顯含時(shí)間變量tf(x,t)線性或非線性，定?；驎r(shí)變的n維函數(shù)，其展開式為初始狀態(tài)相應(yīng)的解3x(t) = F(t, x0 ,t0 )x(t0 ) = x0x&i = fi (x1, x2 ,L, xn ,t),i = 1,2,L,n

2、4-1-1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的定義設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： x& =f (x,t)若對(duì)所有t,狀態(tài)x滿足x& = 0,則稱狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe由平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)4f (xe ,t) = 04-1-1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的求法 線性定常系統(tǒng)： x& = Ax Ax = 0當(dāng)A為非奇異，系統(tǒng)存在唯一的一個(gè)平衡狀態(tài)5xe = 04-1-1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的求法 非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)有三個(gè)平衡狀態(tài)，6x= 0 e3-1x= 0e21x= 0e10- x1 = 0x+ x- x3 = 0122x&1 = -x1x&= x+ x- x321

3、224-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義范數(shù)的概念n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱為向量x的范數(shù),記為x - xe稱為向量x與xe的距離，記為長(zhǎng)度 球域S(e)：7x - xe 0x - x=(x - x )2 + (x- x )2 +L+ (x- x )2e1e2ene向量的距離：x1xex3x2ex =x2 + x2 +L+ x2 = (xT x)1/ 2 12n范數(shù)的定義：4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性（穩(wěn)定和一致穩(wěn)定性） 定義：對(duì)于系統(tǒng)x& = f (x, t),若任意給定實(shí)數(shù)e 0,都存在另一實(shí)數(shù)d (e , t0 ) 0, 使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解F(t, x0,t0 )

4、滿足則稱平衡狀態(tài)xe為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定如果d與t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe為一致穩(wěn)定8F(t, x0 ,t0 ) - xe e,t0 t x0 - xe d (e,t0 )4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性（穩(wěn)定和一致穩(wěn)定性）穩(wěn)定性9tx2S (e )x2x1x1S (e )t0S (d )x2S (e )eS (d ) dxex1幾何意義：4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義經(jīng)典理論穩(wěn)定性定義（漸近穩(wěn)定性） 定義： 對(duì)于系統(tǒng)x& = f (x, t),若任意給定實(shí)數(shù)e 0,都存在另一實(shí)數(shù)d (e , t0 ) 0, 使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解F(t, x0,t0 )滿足且對(duì)任意小量m

5、 0，總有則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的10lim F(t, x0 ,t0 ) - xe mtF(t, x0 ,t0 ) - xe e,t0 t x0 - xe d (e,t0 )4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義經(jīng)典理論穩(wěn)定性定義（漸近穩(wěn)定性）11tx2S (e )x2x1S (e )x1t0S (d )x2S (e )eS (d ) dxex1幾何意義：4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義大范圍漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)x& =f (x, t)在任意初態(tài)下的每一個(gè) 解， 當(dāng)t 時(shí)，都收斂于xe ,則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe叫做大范圍穩(wěn)定的12定義：4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義大范圍漸近穩(wěn)定大范圍局部13幾何意義：4-1-2穩(wěn)定性的

6、幾個(gè)定義不穩(wěn)定性 定義： 對(duì)于系統(tǒng)x& = f (x, t),若任意給定實(shí)數(shù)e 0,都存在另一實(shí)數(shù)d (e , t0 ) 0, 使當(dāng)時(shí)，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的14F(t, x0 ,t0 ) - xe e,t0 t x0 - xe d (e,t0 )4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義不穩(wěn)定性15x2S (e )x1t0tS (d )x2S (e )eS (d ) dxex1幾何意義：4-1-2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義s(d )s(e )x0x(t) = F(t, x0 ,t0 )lim x(t) = 0x(t)有界x(t)x(t)有界且t 16x2S (e )eS (d ) dxe

7、x1x2S (e )eS (d ) dxex1x2S (e )eS (d ) dxex14-2李亞普諾夫第一法1.2.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性174-2-1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)狀態(tài)穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)S = ( A, B,C)平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是 矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部18x& = Ax + Buy = Cx4-2-1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)輸出穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)S = ( A, B,C)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s的左半平面19W(s) = C(sI - A)-1 Bx& = Ax + Buy = Cx 例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試分析系統(tǒng)的

8、狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性det(lI - A) = (l +1)(l -1) = 0 解：（1）由A陣的特征方程可得特征值l1 = -1，l2 = 1，故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸 近穩(wěn)定的（2）由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W(s) = C(sI - A)-1 B-1 1s +10 s -1 1= 1=(s +1)(s -1)=s + 10 s -110 可見傳遞函數(shù)的極點(diǎn)s=-1位于s的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定20x& = -10x + 1u 011 y = 10x4-2-2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： x& = f (x,t)將非線性矢量函數(shù)f(x,t)在xe的鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù)：21 f1f1Lf

9、1 xxxf 1f 2f n f= 2 2L 2 xTx1x2xn MMMfff n nL n x1x2xn nnx& =f(x - x ) + R(x)xTe令Dx = x - xe ,取上式的一次近似式,可得系統(tǒng)的線性化方程Dx& = ADx22（1） 如果系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與R(s)無(wú)關(guān)（2） 如果A的特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的（3） 如果A的特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零，系統(tǒng)處于臨界情況， 則原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)R(x),而不能由A的特征值的符號(hào)來(lái)確定A

10、=fxTx= xex& =f(x - x ) + R(x)xTe 例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性 解：（1）系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)（2）在xe1處將其線性化，得A = 10 即0- 1其特征值為l1 = -1，l2 = 1因此原非線性系統(tǒng)在xe1處不穩(wěn)定23x&1 = x1 x&2 = - x2xe1 = 00 , x= 11TTe2x&1 = x1 - x1x2 x&2 = - x2 + x1x2（2）在xe2處將其線性化，得- 1A = 0即10 其特征值為j1, 實(shí)部為零，系統(tǒng)處于臨界情況24x&1 = -x2 x&2 = x1x&1 = x1 - x1x2 x&2 =

11、 - x2 + x1x24-3李亞普諾夫第二法1.2.3.預(yù)備知識(shí)幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)李亞普諾夫函數(shù)的討論254-3-1 預(yù)備知識(shí)標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)（1）V(x)0,則稱V(x)為正定的。（2）V(x) 0,則稱V(x)為半正定（或非負(fù)定）的。V (x) = -(x2+ 2x2 )（3）V(x) 0或V(x)0（2）若V(x)負(fù)定,則稱P為負(fù)定,記作P 0(i = 1,2,L, n),則P(或V (x)為正定的。 0, i為偶數(shù)(2) 若Di ，則P(或V (x)為負(fù)定的0（3）V& (x) = dV(x)/dt分別滿足下列條件1）V& (x)為半負(fù)定，則平衡狀態(tài)xe在李亞譜諾夫意義下穩(wěn)定2）V(

12、x)為負(fù)定;或者雖然V(x)為半負(fù)定，但對(duì)任意初始狀態(tài)x(t0 ) 0來(lái)說(shuō)，除去x = 0外，對(duì)x 0,V(x)不恒為零。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 時(shí)，V (x) ,則系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步還有當(dāng)x3）V& (x)為正定，則平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的32f (xe ) = 033x0x2xex1x0x2xex1V&(x) 0V&(x) 0 例：4-4已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0是其唯一的平衡狀態(tài) 解：設(shè)正定的標(biāo)量函數(shù)為V (x) = x2 + x212沿任意軌跡求V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得V&(x) = Vdx1 + V dx2= 2x x&+ 2

13、x x&= -2(x2+ x2 )21 122xx12dtdt12 ,有V (x) 當(dāng) x系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定34x&= x- x (x2 + x2 )12112x&= -x - x (x2 + x2 )21212 例：4-5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0是其唯一的平衡狀態(tài) 解1：設(shè)正定的標(biāo)量函數(shù)為V (x) = x2 + x212則V&(x) = Vdx1 + V dx2= 2x x&+ 2x x&= -2x21 122xx2dtdt12當(dāng)x1 = 0，x2 = 0時(shí)，V&(x) = 0;當(dāng)x1 0，x2 = 0時(shí)，V&(x) = 0;因此V&(x)為半負(fù)定根據(jù)判據(jù)，可知系統(tǒng)在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定35x& = 01 x- 1- 1= - x1 - x2x&2又根據(jù)狀態(tài)方程，當(dāng)x 0時(shí)，V&(x)不恒等于零 ,有V (x) ,故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。x又