數(shù)學(xué)-高中三年級(jí)-2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案-江蘇卷

1、 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù) 學(xué)本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效4

2、.保持卡面清潔，不折疊，不破損5.作選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑參考公式:錐體體積公式其中為底面積，為高球的表面積、體積公式，其中R為球的半徑樣本數(shù)據(jù),的標(biāo)準(zhǔn)差其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式其中為底面積，為高一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分1.的最小正周期為，其中，則= 2一個(gè)骰子連續(xù)投2 次，點(diǎn)數(shù)和為4 的概率 3.表示為，則= 4.A=，則A Z 的元素的個(gè)數(shù) 5.，的夾角為， 則 6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， E是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機(jī)投一點(diǎn)，則

3、所投的點(diǎn)落入E 中的概率是 7.某地區(qū)為了解70-80歲老人的日平均睡眠時(shí)間（單位：h），隨即選擇了50為老人進(jìn)行調(diào)查，下表是這50為老人日睡眠時(shí)間的頻率分布表。序號(hào)（i）分組（睡眠時(shí)間）組中值（Gi）頻數(shù)（人數(shù)）頻率（Fi）14，54.560.1225，65.5100.2036，76.5200.4047，87.5100.2058，98.540.08在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中，一部分計(jì)算見(jiàn)算法流程圖，則輸出的S的值是 。8.設(shè)直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b 9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC 的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，點(diǎn)P（0，p）在線段AO 上的一點(diǎn)（異于

4、端點(diǎn)），設(shè)a,b,c, p 均為非零實(shí)數(shù)，直線BP,CP 分別與邊AC , AB 交于點(diǎn)E、F ，某同學(xué)已正確求得OE的方程：，請(qǐng)你完成直線OF的方程：（ ）.10將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 11.已知，滿足，則的最小值是 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓1( 0)的焦距為2c，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓M，若過(guò)點(diǎn)P 所作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為= 13滿足條件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面積的最大值是 14.設(shè)函數(shù)（xR）

5、，若對(duì)于任意，都有0 成立，則實(shí)數(shù)= 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B 兩點(diǎn)，已知A、B 的橫坐標(biāo)分別為（）求tan()的值；（）求的值16如圖，在四面體ABCD 中，CB= CD, ADBD，點(diǎn)E 、F分別是AB、BD 的中點(diǎn)，求證：（）直線EF 平面ACD ；（）平面EFC平面BCD 17如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km, CB =10km ，為了處理三

6、家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B 等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km（）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP(km) ，將表示成的函數(shù)關(guān)系式（）請(qǐng)你選用（）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短18設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C（）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問(wèn)圓C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論19.（）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差

7、，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；求的所有可能值；（）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列20.若，為常數(shù)，函數(shù)f (x)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，（）求對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件（用表示）；（）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，滿足，且,若，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考答案一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分1. 【答案】10【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.2【答案】【解析】

8、本小題考查古典概型基本事件共66 個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 個(gè)，故3. 【答案】1【解析】本小題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 ，0，1，因此4. 【答案】0【解析】本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式由得,0，集合A 為 ，因此A Z 的元素不存在5. 【答案】7【解析】本小題考查向量的線性運(yùn)算=，76. 【答案】【解析】本小題考查古典概型如圖：區(qū)域D 表示邊長(zhǎng)為4 的正方形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此7. 【答案】6.428. 【答案】ln21【解析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法 ，令得，故切點(diǎn)（2，ln2），代入直線方程，得，所以bl

9、n219【答案】【解析】本小題考查直線方程的求法畫(huà)草圖，由對(duì)稱性可猜想填事實(shí)上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程，又原點(diǎn)O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程10【答案】【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為11. 【答案】3【解析】本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)3 時(shí)取“”12. 【答案】【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得13【答案】【解析】本小題考查

10、三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想設(shè)BC，則AC ，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=由三角形三邊關(guān)系有解得，故當(dāng)時(shí)取得最大值14. 【答案】4【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論取何值，0顯然成立；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而4，綜上4二、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式解：由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，因?yàn)?為銳角，所以=因此（）tan()= （） ，所以為銳角，

11、=16【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定解：（） E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直線EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 17【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用解：（）延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)Q，由條件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 故，又OP1010ta，所以， 所求函數(shù)關(guān)系式為若OP=(km) ，則OQ10，所以O(shè)A =OB=所求函數(shù)關(guān)系式為（）選擇函數(shù)模型，

12、令0 得sin ，因?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處。18【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法解：（）令0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個(gè)方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊0120（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）同理可證圓C 必過(guò)定點(diǎn)（2，1）19

13、.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行探索分析及論證的能力，滿分16分。解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d0=0事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d0,a,d+d0成等比數(shù)列，則a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0（1）(i) 當(dāng)n=4時(shí), 由于數(shù)列的公差d0,故由“基本事實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a2或a3若刪去，則由a1,a3,a4 成等比數(shù)列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d0，故由上式得a1=4d，即=4，此時(shí)數(shù)列為4d, 3d, 2d, d，滿足題設(shè)。若刪去a3，則由

14、a1,a2,a4 成等比數(shù)列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)因d0，故由上式得a1=d，即=1，此時(shí)數(shù)列為d, 2d, 3d, 4d，滿足題設(shè)。綜上可知，的值為4或1。(ii)若n6，則從滿足題設(shè)的數(shù)列a1,a2,an中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列a1,a2,an的公差必為0，這與題設(shè)矛盾，所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n5，又因題設(shè)n4，故n=4或5.當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,a5，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a3，從而a1,a2

15、,a4,a5成等比數(shù)列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得a1d=d2及a1d=5d,故d=0，矛盾。因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上可知，n只能為4.（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列b1,b1+ d,，b1+(n-1) d(b1 d0)，其中三項(xiàng)b1+m1 d,b1+m2 d,b1+m3 d成等比數(shù)列，這里0m1m2m3n-1，則有(b1+m2 d)2=(b1+m1 d)(b1+m3 d)化簡(jiǎn)得(m1+m3-2m2)b1 d=(-m1m3) d2 (*)由b1 d0知，m1+m3

16、-2m2與-m1m3或同時(shí)為零，或均不為零。若m1+m3-2m2=0且-m1m3=0，則有-m1m3=0，即(m1-m3)2=0，得m1=m3，從而m1=m2=m3，矛盾。因此，m1+m3-2m2與-m1m3都不為零，故由（*）得因?yàn)閙1，m2，m3均為非負(fù)整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而是一個(gè)有理數(shù)。于是，對(duì)于任意的正整數(shù)n4,只要取為無(wú)理數(shù)，則相應(yīng)的數(shù)列b1,b2,bn就是滿足要求的數(shù)列，例如,取b1=1, d=，那么，n項(xiàng)數(shù)列1,1+,1+2,滿足要求。20.【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用（）恒成立（*）因?yàn)樗裕手恍瑁?）恒成立綜上所述，對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充