2010級(jí)華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)下期末試卷及答案

1、2010華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)下期末考試試卷及答案一填空題（每小題4分，共20分）1.函數(shù)在點(diǎn)的梯度為；2.函數(shù)的極值點(diǎn)是；3.假設(shè)L為圓的右半部分，則；4.設(shè)，則 0 ，5.設(shè)，都是方程的解，則方程的通解為二.(本題8分）計(jì)算三重積分，其中是由所圍成的閉球體解： 4 4三. （本題8分）證明：在點(diǎn)處連續(xù)，與存在，但在 處不可微.證 ，故在點(diǎn)處連續(xù)； 2又由定義， ； 2但不存在，故在 處不可微。 4四（本題8分）設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，將變換為下的表達(dá)式.解 2再由，分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得和解得，從而， 4所以= 2五（8分）計(jì)算,其中為 （1）圓周（按反時(shí)針?lè)较颍唤猓?/p>

2、，而且原點(diǎn)不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式 4（2）閉曲線（按反時(shí)針?lè)较颍┙猓?，原?4六（8分）計(jì)算，是平面被圓柱面截出的有限部分解： ，原式 4 4七.（8分）計(jì)算曲面積分，其中為上半球面的上側(cè)解 取為平面上圓的下側(cè)，記為與所圍的空間閉區(qū)域。由高斯公式，有 3 3又2所以，有八. （本題6分）求微分方程的通解.解：對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程 2 4九.（本題6分）求微分方程的通解.解：對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為 2非齊次項(xiàng)，與標(biāo)準(zhǔn)式比較得對(duì)比特征根，推得， 2從而代入方程得從而通解為 2十. (非化工類做)（本題6分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解： 4當(dāng)時(shí)即為條件收斂，收斂域-2,2 2十一. (非化工類做)（本題7分）將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)，并確定其成立區(qū)間解： 2 4 = 成立區(qū)間 (-1/2, 1/2) 1十二. (非化工類做)（本題7分）設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為將其展成傅里葉級(jí)數(shù).解： 1 2 2 （） 2十. (化工類做) （本題6分）求微分方程的通解.解 由于, 所以原方程為全微分方程. 2 3于是, 原方程的通解為 1十一. (化工類做)（本題7分）1計(jì)算其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界解：可以分解為及 4 3十二. (化工類做