高中數(shù)學(xué)基本不等式知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)題

1、高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號(hào))；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大) 一個(gè)技巧

2、運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等 兩個(gè)變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(2) (a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個(gè)注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很?chē)?yán)格，要求同

3、時(shí)滿(mǎn)足任何一次的字母取值存在且一致應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。技巧三： 分離例3. 求的值域。技巧四：換元技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是 .變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致

4、性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知，且，求的最小值。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問(wèn)題例：已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是 .解：（1）y

5、3x 22 值域?yàn)椋?） （2）當(dāng)x0時(shí)，yx22；當(dāng)x0時(shí)， yx= （ x）2=2值域?yàn)椋ǎ?2，+）解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊

6、出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤７治觯骸昂汀钡健胺e”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得

7、即當(dāng)時(shí)，的最小值是6錯(cuò)解：，且， 故 。錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在等號(hào)成立條件是，在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)， 。分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中y2前面的系數(shù)為 ， xx x下面將x，分別看成兩個(gè)因式：x 即xx 分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題

8、來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡(jiǎn)單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號(hào)。 故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝没静坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用