2016年高考 全國(guó)三卷 文科數(shù)學(xué)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷)文數(shù)本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.第卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,則AB=() A.4,8B.0,2,6C.0,2,6,10D.0,2,4,6,8,102.若z=4+3i,則z|z|=()A.1B.-1C.45+35ID.45-35i3.已知向量BA=12,32,BC=32,12,則ABC=()A.30B.45C.60D.1204.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平

2、均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0 以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20 的月份有5個(gè)5.小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.815B.18C.115D.1306.若tan =-13,則cos 2=()A.-45B.-15C.15D.457.已知a=243,b=323,c=2513,則()

3、A.bacB.abcC.bcaD.cab0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A.13B.12C.23D.34第卷(非選擇題,共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第2224題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分.13.設(shè)x,y滿足約束條件2x-y+10,x-2y-10,x1,則z=2x+3y-5的最小值為.14.函數(shù)y=sin x-3cos x的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移個(gè)單

4、位長(zhǎng)度得到.15.已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=.16.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí), f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3;()求an的通項(xiàng)公式.18.(本小題滿分12分)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.()由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合

5、y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;()建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回歸方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.19.(本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線

6、段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).()證明MN平面PAB;()求四面體N-BCM的體積.20.(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).()若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明ARFQ;()若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.()討論f(x)的單調(diào)性;()證明當(dāng)x(1,+)時(shí),1x-1lnx1,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.請(qǐng)考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(

7、本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,O中AB的中點(diǎn)為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點(diǎn).()若PFB=2PCD,求PCD的大小;()若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G,證明OGCD.23.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cos,y=sin(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin+4=22.()寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;()設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).24.(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)

8、f(x)=|2x-a|+a.()當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)6的解集;()設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)xR時(shí), f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷)一、選擇題1.C由補(bǔ)集定義知AB=0,2,6,10,故選C.2.D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,則z|z|=45-35i,故選D.3.AcosABC=BABC|BA|BC|=32,所以ABC=30,故選A.4.D由雷達(dá)圖易知A、C正確.七月份平均最高氣溫超過20 ,平均最低氣溫約為13 ;一月份平均最高氣溫約為6 ,平均最低氣溫約為2 ,所以七月的平均溫差比一月平均溫

9、差大,故B正確.由題圖知平均最高氣溫超過20 的月份為六、七、八月,有3個(gè).故選D.疑難突破本題需認(rèn)真審題,采用估算的方法來求解.5.C小敏輸入密碼的所有可能情況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為115.6.D解法一:cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=45.故選D.解法二:由tan =-13,可得sin =11

10、0,因而cos 2=1-2sin2=45.7.Aa=243=423,c=2513=523,而函數(shù)y=x23在(0,+)上單調(diào)遞增,所以323423523,即ba16,則輸出n的值為4,故選B.9.D解法一:過A作ADBC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=a3,B=4,AD=BD,BAD=4,BD=a3,DC=23a,tanDAC=DCAD=2.tanBAC=tan4+DAC=tan4+tanDAC1-tan4tanDAC=1+21-2=-3.cos2BAC=11+tan2BAC=110,sinBAC=1-cos2BAC=31010.故選D.解法二:過A作ADBC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=a

11、3,B=4,AD=BD,BD=AD=a3,DC=23a,AC=a32+23a2=53a,在ABC中,由正弦定理得asinBAC=53asin45,sinBAC=31010.故選D.10.B由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長(zhǎng)為3),高為6,側(cè)棱長(zhǎng)為35的斜四棱柱.其表面積S=232+2335+236=54+185.故選B.易錯(cuò)警示學(xué)生易因空間想象能力較差而誤認(rèn)為側(cè)棱長(zhǎng)為6,或漏算了兩底面的面積而致錯(cuò).11.B易得AC=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則1268=12(6+8+10)r,所以r=2,因?yàn)?r=43,所以最大球的直徑2R=3,即R=32.此時(shí)球的體積V=43R3=92.

12、故選B.12.A解法一:設(shè)點(diǎn)M(-c,y0),OE的中點(diǎn)為N,則直線AM的斜率k=y0a-c,從而直線AM的方程為y=y0a-c(x+a),令x=0,得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=ay0a-c.同理,OE的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN=ay0a+c.因?yàn)?yN=yE,所以2a+c=1a-c,即2a-2c=a+c,所以e=ca=13.故選A.解法二:如圖,設(shè)OE的中點(diǎn)為N,由題意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,PFy軸,|MF|OE|=|AF|AO|=a-ca,|MF|ON|=|BF|OB|=a+ca,又|MF|OE|=|MF|2|ON|,即a-ca=a+c2a,a=3c

13、,故e=ca=13.方法總結(jié)利用點(diǎn)M的坐標(biāo)為參變量,通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式,再利用方程的思想求解.二、填空題13.答案-10解析可行域如圖所示(包括邊界),直線2x-y+1=0與x-2y-1=0相交于點(diǎn)(-1,-1),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過(-1,-1)時(shí),z取最小值,zmin=-10.14.答案3解析函數(shù)y=sin x-3cos x=2sinx-3的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到.方法總結(jié)本題首先要將函數(shù)化為y=Asin(x+)(其中A0,0)的形式再求解,另外要注意圖象平移的方向.15.答案4解析圓心(0,0)到直線x-3y+6=0的距離d=61+3=3,|AB|

14、=212-32=23,過C作CEBD于E,因?yàn)橹本€l的傾斜角為30,所以|CD|=|CE|cos30=|AB|cos30=2332=4.解后反思本題涉及直線和圓的位置關(guān)系,要充分利用圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.16.答案y=2x解析當(dāng)x0時(shí),-x0),點(diǎn)(1,2)在曲線y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.易錯(cuò)警示注意f (1)的求解方法,易因忽略x的取值范圍而直接求f(x)=e-x-1-x的導(dǎo)數(shù)致錯(cuò).三、解答題17.解析()由題意得a2=12,a3=14.(5分)()由an2-(2an+1-1)an-

15、2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù),所以an+1an=12.故an是首項(xiàng)為1,公比為12的等比數(shù)列,因此an=12n-1.(12分)18.解析()由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-ti=17yi=40.17-49.32=2.89,r2.890.5522.6460.99.(4分)因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(6分)()由y=9.3271.331及()得

16、b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.10,a=y-bt=1.331-0.1040.93.所以y關(guān)于t的回歸方程為y=0.93+0.10t.(10分)將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得:y=0.93+0.109=1.83.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無害化處理量將約為1.83億噸.(12分)思路分析先根據(jù)折線圖及參考數(shù)據(jù)求解相關(guān)系數(shù)r,再對(duì)相關(guān)系數(shù)r的意義進(jìn)行闡述,然后根據(jù)最小二乘法得出線性回歸系數(shù),注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.19.解析()證明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中點(diǎn)T,連結(jié)AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TN=12BC=2.(3分)

17、又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)()因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為12PA.(9分)取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距離為5,故SBCM=1245=25.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13SBCMPA2=453.(12分)20.解析由題設(shè)知F12,0.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.記過A,B兩

18、點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分)()由于F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)()設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由題設(shè)可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).當(dāng)AB與x

19、軸垂直時(shí),E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分)易錯(cuò)警示容易漏掉直線AB與x軸垂直的情形而失分.21.解析()由題設(shè)知, f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=1x-1,令f (x)=0,解得x=1.當(dāng)0x0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.(4分)()證明:由()知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x1時(shí),ln xx-1.故當(dāng)x(1,+)時(shí),ln xx-1,ln1x1x-1,即1x-1lnx1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc

20、.當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xx0時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.(9分)由()知1c-1lncc,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0x0.所以當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.(12分)疑難突破在()中,首先要解方程g(x)=0,為了判定g(x)的單調(diào)性,必須比較極值點(diǎn)x0與區(qū)間(0,1)的關(guān)系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本題的突破點(diǎn).22.解析()連結(jié)PB,BC,則BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.因?yàn)锳P=BP,所以PBA=PCB,又BPD=BCD,所以BFD=PCD.又PFB+BFD=180,PFB=2PCD,所以3PCD=180,因此PCD=60.(5分)()因?yàn)镻CD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知C,D,F,E四點(diǎn)