高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)(向量代數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù))知識(shí)點(diǎn)向量與空間幾何 向量：向量表示(ab);向量運(yùn)算(向量積)；向量的方向和投影 空間方程：曲面方程(旋轉(zhuǎn)曲面和垂直柱面)；直線方程(參數(shù)方程和投影方程) 平面方程：點(diǎn)法式(法向量)、一般式、截距式；平面夾角和距離 直線方程：一般式、對(duì)稱式(方向向量)、參數(shù)式；直線夾角；平面交線(法向量積) 切平面和切線：切線與法平面；切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)極限：趨近方式，等階代換 偏微分和全微分：高階微分(連續(xù)則可等)；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(Jacobi行列式)； 多元函數(shù)極值：偏導(dǎo)數(shù)判定；拉格朗日乘數(shù)法(條件極值) 重積分 二重積分：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)；對(duì)稱性；換元法

2、三重積分：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)；對(duì)稱性 重積分的應(yīng)用：曲面面積；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；引力 曲線與曲面積分 曲線積分：弧長(zhǎng)積分；坐標(biāo)曲線積分(參數(shù)方程)；格林公式 面積積分：對(duì)面積積分；坐標(biāo)面積積分；高斯公式 無(wú)窮級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)收斂：通項(xiàng)極限 正項(xiàng)級(jí)數(shù)：調(diào)和級(jí)數(shù)；比較法和比較極限法；根值法；極限法；絕對(duì)收斂和條件收斂 冪級(jí)數(shù)：收斂半徑和收斂域；和函數(shù)；麥克勞林級(jí)數(shù)(二次展開) Fourier級(jí)數(shù)：傅里葉系數(shù)(高次三角函數(shù)積分)；奇偶延拓；正弦和余弦級(jí)數(shù)；一般周期的傅里葉級(jí)數(shù) 矢量分析與場(chǎng)論(空間場(chǎng)基礎(chǔ))方向?qū)?shù)與梯度 方向?qū)?shù)：向量參數(shù)式；偏導(dǎo)數(shù)；方向余弦 梯度(grad)：方向?qū)?shù)的最值；梯度方向

3、；物理意義(熱導(dǎo)方向與電場(chǎng)方向) 格林公式：曲線積分二重積分；曲線方向與曲面方向 全微分原函數(shù)：場(chǎng)的還原；折線積分 通量與散度 高斯公式：閉合曲面三重積分；曲面外側(cè)定向；曲面補(bǔ)齊；向量表達(dá)(通量) 散度(div)：通量的體積元微分；物理意義(有源場(chǎng)(電場(chǎng)) 環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式：閉合曲線曲面積分；向量積定向；行列式表達(dá)；向量表達(dá)；物理意義(環(huán)通量) 旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意義(有旋場(chǎng)(磁場(chǎng)) 第八章 向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向. 記作或 模向量的模記作和差 單位向量，則方向余弦設(shè)與軸的夾角分別為，則方向余弦分別為

4、點(diǎn)乘（數(shù)量積）， 為向量a與b的夾角叉乘（向量積） 為向量a與b的夾角向量與，都垂直定理與公式垂直平行交角余弦兩向量夾角余弦投影向量在非零向量上的投影 平面直線法向量 點(diǎn)方向向量 點(diǎn)方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)向式三點(diǎn)式參數(shù)式截距式兩點(diǎn)式面面垂直線線垂直面面平行線線平行線面垂直線面平行點(diǎn)面距離 面面距離 面面夾角線線夾角線面夾角 空間曲線：切向量切“線”方程：法平“面”方程：切向量切“線”方程：法平“面”方程：空間曲面：法向量切平“面”方程：法“線“方程：或切平“面”方程：法“線“方程：第十章 重積分重積分積分類型計(jì)算方法典型例題二重積分平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=

5、面密度面積（1） 利用直角坐標(biāo)系X型 Y型 P141例1、例3（2）利用極坐標(biāo)系 使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2) 被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單( 含, 為實(shí)數(shù) ) P147例5（3）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，（關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，有類似結(jié)論）P141例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù) 關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 確定積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限 方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 計(jì)算要簡(jiǎn)便 注意：充分利用

6、對(duì)稱性，奇偶性三重積分空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積(1) 利用直角坐標(biāo)投影P159例1 P160例2（2） 利用柱面坐標(biāo) 相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo) 適用范圍:積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如 旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如P161例3（3）利用球面坐標(biāo) 適用范圍:積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如，球體，錐體.被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離. 如，P16510-(1)（4）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計(jì)算方法典型例題第一類曲線積分曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長(zhǎng)參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（

7、1） （2） （3）P189-例1P1903平面第二類曲線積分變力沿曲線所做的功（1） 參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D） P，Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：P205例4P214-5(1)(4)（3）利用路徑無(wú)關(guān)定理（特殊路徑法）等價(jià)條件： 與路徑無(wú)關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)具有原函數(shù)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法） P211-例5、例6、例7（4）兩類曲線積分的聯(lián)系空間第二類曲線積分變力沿曲線所做的功（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）條件：L封閉，

8、分段光滑，有向 P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：P240-例1第一類曲面積分曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積投影法： 投影到面類似的還有投影到面和面的公式P217-例1、例2第二類曲面積分流體流向曲面一側(cè)的流量（1）投影法：，為的法向量與軸的夾角前側(cè)取“+”，；后側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角右側(cè)取“+”，；左側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角上側(cè)取“+”， ；下側(cè)取“”，P226-例2（2）高斯公式 右手法則取定的側(cè)條件：封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè) P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論： 應(yīng)用：P231-例1、例2（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)換投影法：P228-例3所有

9、類型的積分：定義：四步法分割、代替、求和、取極限；性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章 級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)用收斂定義，存在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 若級(jí)數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂. 兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂.注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng), 不改變其收斂性. 若級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 注：收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后未必收斂.（必要條件） 如果級(jí)數(shù)

10、收斂, 則萊布尼茨判別法若且，則收斂則級(jí)數(shù)收斂.和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且.若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散.比較判別法比較判別法的極限形式和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則若,與同斂或同散;若,收斂,也收斂；如果，發(fā)散，也發(fā)散。比值判別法根值判別法是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,則時(shí)收斂；()時(shí)發(fā)散；時(shí)可能收斂也可能發(fā)散.收斂性和函數(shù)展成冪級(jí)數(shù),缺項(xiàng)級(jí)數(shù)用比值審斂法求收斂半徑的性質(zhì)在收斂域上連續(xù);在收斂域內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo);和函數(shù)在收斂域上可積分，且可逐項(xiàng)積分.(不變,收斂域可能變化).直接展開:泰勒級(jí)數(shù) 間接展開:六個(gè)常用展開式 收斂定理 是連續(xù)點(diǎn),收斂于;是間斷點(diǎn),收斂于周期延拓為奇函數(shù)，正弦級(jí)數(shù)，奇延拓；為偶函數(shù)，余弦

11、級(jí)數(shù)、偶延拓.交錯(cuò)級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化積公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲