5年高考題-3年模擬題-分類匯編--空間向量在立體幾何中的應(yīng)用部分

1、第三節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、 填空題1.若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則_ 2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_?！窘馕觥吭O(shè)由可得故【答案】(0,-1，0) 二、解答題3.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I）

2、所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為 4（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)， （I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O， 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面6.（本小題滿分12分）如圖，已知兩個(gè)正方行ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn) 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直線

3、MN與平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。 設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DC，DF，DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）為平面DCEF的法向量，可得cos(,)= 所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為cos 6分()假設(shè)直線ME與BN共面， 8分則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN為平面MBEN與平面DCEF

4、的交線，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，這與ENEF=E矛盾，故假設(shè)不成立。所以ME與BN不共面，它們是異面直線. 12分7.（13分）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)（1） 求異面直線NE與AM所成角的余弦值（2） 在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由 17.解析：（1）在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為.A（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.,可設(shè)又.由平面，得即故，此時(shí).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).8.

5、（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面 （I）證明：（II）設(shè)二面角為60，求與平面所成的角的大小。分析一：求與平面所成的線面角，只需求點(diǎn)到面的距離即可。19（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求：（）點(diǎn)到平面的距離；（）二面角的大小 （）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的

6、中點(diǎn).BCS為直角三角形 ,知 設(shè)B(0,2, )，0，則2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GECD .由故 又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因?yàn)?，,所以 故所求的二面角的大小為 .作于，連，則，為二面角的平面角，.不妨設(shè)，則.在中，由，易得. 設(shè)點(diǎn)到面的距離為，與平面所成的角為。利用，可求得，又可求得 即與平面所成的角為分析二：作出與平面所成的角再行求解。如圖可證得，所以面。由分析一易知：四邊形為正方形，連，并設(shè)交點(diǎn)為，則，為在面內(nèi)的射影。以下略。

7、分析三：利用空間向量的方法求出面的法向量，則與平面所成的角即為與法向量的夾角的余角。具體解法詳見高考試題參考答案?？傊谀壳?，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益。9（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角，

8、 ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.10.（本小題滿分13分，（）小問7分，（）小問6分） 如題（18）圖，在五面體ABCDEF中，AB/DC，BAD=，CD=AD=2.，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A平面ABCD，F(xiàn)C=3，ED=，求： （）直線AB到平面EFCD的距離： （）二面角F-AD-E的平面角的正切值，18.（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，

9、故平面ADE平面AC CA。解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。11.（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值

10、。解法2 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0)易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）設(shè)n=（x，y，z）是平面DE的一個(gè)法向量，則 解得故可取n=（,0,-3，）于是 = 由此即知，直線AD和平面DE所成的角是正弦為12（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離.方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

11、 ，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則。設(shè)所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。19（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）求二面角的大小。()因?yàn)锳BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.

12、所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因?yàn)镕A=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.從而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因?yàn)锽E平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 從而=,于是=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)， 故PMM平面BCE. 8分()設(shè)平

13、面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x,y,z）. ， 即 取y=1，則x=1，z=3。從而。取平面ABD的一個(gè)法向量為。故二面角FBDA的大小為arccos。12分14.（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 簡(jiǎn)答：第一部分 五年高考薈萃2009年高考題20052008年高考題解答題1. ABCDEA1B1C1D1（2008全國(guó)19）（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，ABCDEA1B1C1D1yxz建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，（）證明 因?yàn)椋?，又，所以平面（）?設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，

14、則，等于二面角的平面角， 所以二面角的大小為2. （2008安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)證明 設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)解 設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為.(3)解 設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為3. （2008湖南17 ）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，E是CD的

15、中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）證明 因?yàn)?，平面PAB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE平面PAB. ()解 易知 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以 設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是4. （2008福建18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面 ABCD，側(cè)棱P

16、A=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大?。唬ǎ┚€段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（）證明 在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.()解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,

17、1),所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，()解 假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).5. （2007福建理18）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大??；（）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離；（）證明 取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

18、，xzABCDOFy，平面（）解 設(shè)平面的法向量為，令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）解 由（），為平面法向量，點(diǎn)到平面的距離6.（2006廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是O、O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直徑，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直線BD與EF所成的角.解 ()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小為450.()以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系

19、（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，.設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則直線BD與EF所成的角為7.（2005江西）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x, y, z軸，建 立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（

20、1）證明 （2）解 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）解 設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為.第二部分 三年聯(lián)考匯編2009年聯(lián)考題解答題1.(湖南省衡陽(yáng)市八中2009屆高三第三次月考試題)如圖，PABCD是正四棱錐，是正方體，其中 （1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距離以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）證明 設(shè)E是BD的中點(diǎn)，PABCD是正四棱錐， 又， ， 即

21、。（2）解 設(shè)平面PAD的法向量是， 取得，又平面的法向量是 ， 。MPDCBA（3）解 到平面PAD的距離。2. (陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考)如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M為BC的中點(diǎn)()證明：AMPM ；()求二面角PAMD的大小；zyxMPDCB()求點(diǎn)D到平面AMP的距離。() 證明 以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,依題意，可得 即,AMPM . ()解 設(shè)，且平面PAM，則 即 ， 取，得 取，顯然平面ABCD， 結(jié)合圖形可知，二面角PAMD為45； () 設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距

22、離為，由()可知與平面PAM垂直，則=即點(diǎn)D到平面PAM的距離為 3.(廈門市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20082009學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考)已知點(diǎn)H在正方體的對(duì)角線上，HDA=ABCDxyzH（）求DH與所成角的大?。唬ǎ┣驞H與平面所成角的大小解：以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)則，連結(jié)，設(shè)，由已知，由可得解得，所以（）因?yàn)椋约碊H與所成的角為（）平面的一個(gè)法向量是因?yàn)椋?所以可得DH與平面所成的角為ACDOBEyzx4.(廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考)如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

23、（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離 證明 連結(jié)OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， 異面直線AB與CD所成角的余弦值為解 設(shè)平面ACD的法向量為則，令得是平面ACD的一個(gè)法向量又點(diǎn)E到平面ACD的距離ABCDEF5.(廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn).(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；(3) 求直線和平面所成角的正弦值.設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則.為的中點(diǎn)，. (1) 證明 ， ，平面，平面. (2) 證明 ， ，. 平面，又平面，平面平面. (3) 解

24、設(shè)平面的法向量為，由可得： ，取. 又，設(shè)和平面所成的角為，則 .直線和平面所成角的正弦值為. 6. (2009年廣東省廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試)如圖，已知等腰直角三角形，其中=90，點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連結(jié)、（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值（1）證明 點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，. =90. , ,平面. 平面,. （2）解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）.=（1，1，0），=（1，0，1）, 設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：， 令，得，=（1，1，1）.顯然，是平面的一個(gè)法向量，=（） cos= 二面角

25、的平面角的余弦值是. 9月份更新1. 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、4，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M 弦AB、CD可能相交于點(diǎn)NMN的最大值為5 MN的最小值為l，其中真命題的個(gè)數(shù)為 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案 C2.某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）A.B.C.D.答案 C3.等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所

26、成角的余弦值等于 ACBDP答案 .4.如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)到平面的距離解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，ACBEP，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，ACBDPH是二面角的平面角在中，二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過作，垂足為平面平面，平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離ACBPzxyHE由（）知，又，且，平面平面，在中， 點(diǎn)到平面的距離為解法二：（），又，平面平面，（）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系

27、，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到平面的距離為5.如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面；（4分）；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面；（4分）；（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求證明：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，所以，故，共面又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得因?yàn)椋?，又，所以，從而，故平面?）設(shè)向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）于是故20072008年聯(lián)考題1. (江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)已知斜三棱柱,在底面上的射影恰為的中點(diǎn),又知. ()求證：平面； ()求到平面的距離；

28、()求二面角的大小.()證明 如圖,取的中點(diǎn),則,又平面,以為軸建立空間坐標(biāo)系,則,由,知,又,從而平面. ()解 由,得.設(shè)平面的法向量為,設(shè),則點(diǎn)到平面的距離. ()解 設(shè)面的法向量為,設(shè),則,故,根據(jù)法向量的方向可知二面角的大小為.2. (山西大學(xué)附中2008屆二月月考)正三棱柱所有棱長(zhǎng)都是，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，交于點(diǎn) （1）求證：； （2）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）； （3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明 建立如圖所示， ， 即AEA1D， AEBD ， AE面A1BD（2）解 設(shè)面DA1B的法向量為由 ， 取設(shè)面AA1B的法向量為 ， 由圖可知二面角DBA1A為銳角，它的大

29、小為arcos .（3）解 ，平面A1BD的法向量取,則B1到平面A1BD的距離d= .3. (安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)已知斜三棱柱，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；（III）求二面角的大小。（I）證明 如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，由，知，又，從而平面；（II）解 由，得。設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則所以點(diǎn)到平面的距離。（III）解 再設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則，故，根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為。4. ( 四川省成都市2008一診) 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，PAA

30、BBC2，E為PA的中點(diǎn)，過E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1） 求異面直線AF與BG所成的角的大小；（2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.解 由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz由平面幾何知識(shí)知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)0，AF與BG所

31、成角為 . (2) 可證明AD平面APB，平面APB的法向量為n(0,1,0)設(shè)平面CPD的法向量為m(1，y，z)由 故m(1,1,2)cos平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為arccos.5. (安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試)如圖，正三棱柱ABC的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱C的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面所成的角為45.( 1 )求二面角A-BD-C的大??；（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離.解 （1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)為平面的法向量由 得取 又平面的一個(gè)法向量 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為 （）由（）知DA1D1C1B1E1BACPO點(diǎn)到平面的距離6. (安徽省巢湖市20

32、08屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，. （）求證：平面；（）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??； zxyDA1D1C1B1E1BACPO() 當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心? 以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則得、 ()證明 由上得、，設(shè)得解得， ， 平面 _（）解 當(dāng)時(shí)，由、得、設(shè)平面的法向量為，則由，得， ，直線與平面所成角的大小為.() 解 由()知的重心為，則，若在平面內(nèi)的射影恰好為的重心，則有，解得當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心. 7. (北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PAB等邊三角形. （1）求二面角BAC