材料力學(xué)第九章壓桿穩(wěn)定.ppt

1、1,第九章 壓桿穩(wěn)定,2,9-1 壓桿穩(wěn)定性的概念,實(shí)際的受壓桿件,實(shí)際的受壓桿件由于: 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲， 2. 作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心， 3. 材料性質(zhì)并非絕對(duì)均勻， 因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。,第九章 壓桿穩(wěn)定,3,對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的壓桿(大柔度壓桿)，最終會(huì)因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過(guò)大而喪失承載能力； 對(duì)于中等細(xì)長(zhǎng)的壓桿(中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞(壓潰)。,對(duì)于實(shí)際細(xì)長(zhǎng)壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏

2、心壓力作用這一力學(xué)模型來(lái)研究。,第九章 壓桿穩(wěn)定,4,圖a為下端固定，上端自由的實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來(lái)尋求Fd 關(guān)系所需撓曲線近似微分方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí),需把側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即 M(x)=F(e+d-w)， 這樣得到的撓曲線近似微分方程 EIz w=F(e+d -w) 和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的影響。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),5,按照這一思路求得的細(xì)長(zhǎng)壓桿在不同偏心距 e 時(shí)偏心壓力F 與最大側(cè)向位移d 的關(guān)系曲線如圖b所示。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),由圖可見雖然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但該細(xì)長(zhǎng)壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fc

3、r卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的Fd 關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖b相同。,6,抽象的細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿,由圖b可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距e0時(shí)，細(xì)長(zhǎng)壓桿的F-d 關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把細(xì)長(zhǎng)壓桿抽象為無(wú)初彎曲，軸向壓力無(wú)偏心，材料絕對(duì)均勻的理想中心壓桿，則它的F-d 關(guān)系曲線將是折線OAB。,第九章 壓桿穩(wěn)定,7,由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)(buckling)這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的； 當(dāng)FFcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡(d0)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說(shuō)FFcr時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，壓桿在軸向壓力Fc

4、r作用下會(huì)喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。 Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力(critical force)。,第九章 壓桿穩(wěn)定,8,從另一個(gè)角度來(lái)看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。,顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。,第九章 壓桿穩(wěn)定,9,細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象,第九章 壓桿穩(wěn)定,10,壓桿的截面形式及支端約束,壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大； 圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面， 圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止

5、桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。,第九章 壓桿穩(wěn)定,11,9-2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式,本節(jié)以兩端球形鉸支(簡(jiǎn)稱兩端鉸支)的細(xì)長(zhǎng)中心受壓桿件(圖a)為例，按照對(duì)于理想中心壓桿來(lái)說(shuō)臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來(lái)導(dǎo)出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),12,在圖a所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側(cè)向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),(a),上式中負(fù)號(hào)是由于在圖示坐標(biāo)中，對(duì)應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率 為負(fù)的緣故。,13,令k2=Fcr /EI，將撓曲線近似微分

6、方程(a)改寫成,該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通解為,(b),(c),第九章 壓桿穩(wěn)定,此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現(xiàn)在能夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不確定性是由F = Fcr時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下(d可為任意微小值)保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事實(shí)上，對(duì)于所研究的問(wèn)題來(lái)說(shuō)只要能從(c)式求出與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)k就可以了。,14,將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(jù)(c)式并利用邊界條件x=l，w=0得到,第九章 壓桿穩(wěn)定,(c),(a),注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于

7、零，否則(c)式將成為w 0而壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=0,15,滿足此條件的kl為,或即,由于 意味著臨界力Fcr 0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl0的解中，最小解 klp 相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。,第九章 壓桿穩(wěn)定,由klp有,亦即,16,從而得到求兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式：,此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得,第九章 壓桿穩(wěn)定,注意到當(dāng)x= l /2 時(shí) w=d，故有 A=d。從而知，對(duì)應(yīng)于klp，亦即對(duì)應(yīng)于Fcr=p2EI

8、/l 2，撓曲線方程為,可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。,17,需要指出的是，盡管上面得到了A=d，但因?yàn)闂U在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)d為不確定的值，故不能說(shuō)未知量A已確定。 事實(shí)上，在推導(dǎo)任何桿端約束情況的細(xì)長(zhǎng)中心壓桿歐拉臨界力時(shí)，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關(guān)的未知量總是不確定的。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),18,思考： 在上述推導(dǎo)中若取kl2p，試問(wèn)相應(yīng)的臨界力是取klp時(shí)的多少倍？該臨界力所對(duì)應(yīng)的撓曲線方程和撓曲線形狀又是怎樣的？,第九章 壓桿穩(wěn)定,19,9-3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的 歐拉公式壓桿的長(zhǎng)度因數(shù),現(xiàn)在通過(guò)二個(gè)例題來(lái)推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長(zhǎng)中

9、心壓桿臨界力的歐拉公式。,第九章 壓桿穩(wěn)定,20,例題9-1 試推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發(fā)生彎曲的平面。,第九章 壓桿穩(wěn)定,21,解：根據(jù)該壓桿失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為,桿的撓曲線近似微分方程則為,這里，等號(hào)右邊取正號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的(d -w)， 亦為正。將上式改寫為,第九章 壓桿穩(wěn)定,22,并令 有,此微分方程的通解為,從而亦有,根據(jù)邊界條件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不會(huì)等于零，故知A0，從而有wBcoskx+d。再利用邊界條

10、件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為,第九章 壓桿穩(wěn)定,23,至此仍未得到可以確定隱含F(xiàn)cr的未知量k的條件。為此，利用 x = l 時(shí) w = d 這一關(guān)系，從而得出,從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl = 0。滿足此條件的kl的最小值為kl = p/2，亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：,(b),亦即,第九章 壓桿穩(wěn)定,24,以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對(duì)應(yīng)于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：,第九章 壓桿穩(wěn)定,25,例題9-2 試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，

11、并求該壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),26,解：1. 在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)需要注意，在符合桿端約束條件的微彎狀態(tài)下，支座處除軸向約束力外還有無(wú)橫向約束力和約束力偶矩。,在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)這是很重要的一步，如果在這一步中發(fā)生錯(cuò)誤，那么得到的結(jié)果將必定是錯(cuò)誤的。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態(tài)，與此相對(duì)應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的約束力偶矩MB，并且根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件MB 0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力Fy 。,27,2. 桿的任意x截面上的彎矩為,從而有撓曲線近似微分

12、方程：,上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的w， 為負(fù)而加的。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),28,令 k2=Fcr /EI，將上式改寫為,亦即,第九章 壓桿穩(wěn)定,此微分方程的通解為,從而亦有,式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。,29,對(duì)于此桿共有三個(gè)邊界條件。 由邊界條件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。將以上A和B的表達(dá)式代入式(a)有,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得,30,由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得,滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即 ，從而

13、得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：,亦即,第九章 壓桿穩(wěn)定,31,3. 將 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：,利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在 x = 0.3l 處(圖b)。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),32,壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)和相當(dāng)長(zhǎng)度,第九章 壓桿穩(wěn)定,33,表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。,表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：,式中，m 稱為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)；m l 稱為壓桿的

14、相當(dāng)長(zhǎng)度(equivalent length)，它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為m l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況下的相當(dāng)長(zhǎng)度m l。,第九章 壓桿穩(wěn)定,34,運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意： 當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的 I 應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。 當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：,第九章 壓桿穩(wěn)定,35,對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定

15、，,對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，,而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。,第九章 壓桿穩(wěn)定,36,思考： 圖a，b所示細(xì)長(zhǎng)中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但圖a所示桿的基礎(chǔ)置于彈性地基上，圖b所示桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基上。試問(wèn)兩壓桿的臨界力是否均為 ？為什么？并由此判斷壓桿的長(zhǎng)度因數(shù) m 是否可能大于2。,第九章 壓桿穩(wěn)定,37,9-4 歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖,. 歐拉公式應(yīng)用范圍,在推導(dǎo)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限sp的情況。,按照抽象的概念，

16、細(xì)長(zhǎng)中心壓桿在臨界力Fcr作用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫截面上的應(yīng)力可按scrFcr /A來(lái)計(jì)算，亦即,第九章 壓桿穩(wěn)定,38,式中，scr稱為臨界應(yīng)力； 為壓桿橫截面對(duì)于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑；ml /i為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比(slenderness)或柔度，記作l，即,根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于scrsp的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件就是,第九章 壓桿穩(wěn)定,39,可見 就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。 對(duì)于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有,通常把llp的壓桿，亦即能夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力Fcr的壓

17、桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿，而把llp的壓桿，亦即不能應(yīng)用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。,第九章 壓桿穩(wěn)定,40,圖中用實(shí)線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)(llp)的scr -l曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡(jiǎn)稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實(shí)際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)分析，可以應(yīng)用歐拉公式求臨界力的最小柔度比這里算得的lp要大一些。,第九章 壓桿穩(wěn)定,41,*. 研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論,工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應(yīng)用歐拉公式。研究小柔度壓桿（llp）臨界應(yīng)力的理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之一。,現(xiàn)先以矩形截面小柔度

18、鋼壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)為例來(lái)探討。,第九章 壓桿穩(wěn)定,42,第九章 壓桿穩(wěn)定,(a),圖a所示為鋼在壓縮時(shí)的se 曲線。 當(dāng)加載過(guò)程中應(yīng)力s 超過(guò)比例極限時(shí)，材料在某一應(yīng)力水平下的彈性模量可應(yīng)用切線模量Es； 而卸載時(shí)，材料的彈性模量由卸載規(guī)律可知，它與初始加載時(shí)的彈性模量E 相同。,43,(1) 橫截面上應(yīng)力的變化情況,按抽象的概念，小柔度中心壓桿與大柔度中心壓桿一樣，當(dāng)F=Fcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡，也可在微彎狀態(tài)下保持平衡。 小柔度壓桿在直線狀態(tài)下保持平衡時(shí)其橫截面上的應(yīng)力是均勻的，其值為scr = Fcr/A（圖b）。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),44,當(dāng)壓桿在此應(yīng)力水平下發(fā)生微

19、彎時(shí)，中性軸一側(cè)(圖b中 z 軸右側(cè))橫截面上產(chǎn)生附加拉應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr減小，故屬于減載，附加彎曲拉應(yīng)力為st=Ey/r (x)；,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),中性軸另一側(cè)橫截面上產(chǎn)生附加應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr 增大，故屬于加載，附加彎曲壓應(yīng)力為sc=Es y/r (x)。因?yàn)镋Es，故微彎時(shí)中性軸不通過(guò)橫截面形心，它離左邊緣的距離為h1，離右邊緣的距離為h2。,45,(2) 中性軸的具體位置,根據(jù)壓桿由于微彎產(chǎn)生的正應(yīng)力在橫截面上不應(yīng)組成合力有,即應(yīng)有,亦即要求,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),46,這就要求,注意到h1+h2=h，由上式可解得,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),47,(3)

20、橫截面上彎矩M(x)與曲率r(x)的關(guān)系,根據(jù) 有,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z軸一側(cè)的矩形對(duì)z軸的慣性矩。,48,由上式可得,為了表達(dá)方便，用I 來(lái)表示bh3/12，于是有,為將上式表達(dá)為一般彎曲問(wèn)題中 的形式，引入折減彈性模量Er：,第九章 壓桿穩(wěn)定,(b),49,于是有,亦即,或者說(shuō)，撓曲線的近似微分方程為,對(duì)于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的形式仍如式(c)所示。,第九章 壓桿穩(wěn)定,(c),50,(4) 小柔度壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力表達(dá)式,小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程(c)與大柔

21、度壓桿的 wM(x)/EI 完全一致，可見對(duì)不同桿端約束下各種截面形狀的小柔度壓桿都有如下公式：,臨界力,臨界應(yīng)力,第九章 壓桿穩(wěn)定,51,. 壓桿的臨界應(yīng)力總圖,臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力scr隨柔度l 變化的關(guān)系曲線。,第九章 壓桿穩(wěn)定,在llp的部分，有歐拉公式scr p2E/l2表達(dá)scrl關(guān)系；,但在壓桿柔度l很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算所得scr可能會(huì)大于材料的屈服極限ss，故取scr ss。,在llp的范圍內(nèi)可利用折減彈性模量理論公式scr p2Er /l2表達(dá)scrl關(guān)系；,52,此外，該理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性模量Er，故llp范圍內(nèi)的s

22、crl曲線實(shí)際上還因截面形狀而有所不同。,第九章 壓桿穩(wěn)定,53,9-5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù),為保證實(shí)際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計(jì)算中需納入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stability condition)為,式中，sst=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。,亦即,第九章 壓桿穩(wěn)定,由于scr與壓桿的柔度l有關(guān)，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩(wěn)的危險(xiǎn)性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst也隨l 變化，因此sst是一個(gè)與壓桿柔度的關(guān)系比較復(fù)雜的量。,54,為了應(yīng)用方便，將穩(wěn)定許用應(yīng)力sst寫為材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力s乘以一個(gè)隨壓桿柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j =j (l)，即,我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

23、規(guī)范根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應(yīng)力所作數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在選取適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數(shù)j與柔度l的一系列關(guān)系值。 該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應(yīng)力對(duì)臨界應(yīng)力的影響從小到大分為a，b，c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j。,第九章 壓桿穩(wěn)定,55,表9-3 Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j,第九章 壓桿穩(wěn)定,56,思考： 1. 已知Q235鋼的s=170 MPa，E=206 GPa。表9-3中列出有l(wèi) 120的b類截面中心壓桿的相應(yīng)值j 0.437。試推算其所采用的

24、穩(wěn)定安全因數(shù)nst的值。,2. 已知Q235鋼的ss240 MPa，試推算取用s=170 MPa時(shí)的強(qiáng)度安全因數(shù)n 的值。,第九章 壓桿穩(wěn)定,57,第九章 壓桿穩(wěn)定,58,解：1. 確定組合截面形心和形心主慣性軸,圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的距離顯然就是 y035.7 mm，并落在對(duì)稱軸y軸上。根據(jù)y軸為對(duì)稱軸可知，圖c中所示通過(guò)組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面的形心主慣性軸。,2. 計(jì)算組合截面的形心主慣性矩,第九章 壓桿穩(wěn)定,59,可見，在組合截面對(duì)于所有形心軸的慣性矩中，Imax= Iz ，Imin= Iy , 按通常的說(shuō)法就是z 軸為強(qiáng)軸，而y軸為弱軸。,3. 計(jì)算壓桿的柔

25、度,此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個(gè)縱向平面內(nèi)對(duì)桿端的約束相同，故失穩(wěn)時(shí)橫截面將繞弱軸 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。壓桿的柔度應(yīng)據(jù)此計(jì)算。,第九章 壓桿穩(wěn)定,60,4. 計(jì)算壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力,按b類截面中心壓桿，由表93查得l97時(shí)j0.575，從而得,第九章 壓桿穩(wěn)定,61,9-6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的合理截面,根據(jù)上節(jié)中所述，中心壓桿的穩(wěn)定條件可以表達(dá)為,需要注意的是，式中A所表示的橫截面面積，即使當(dāng)壓桿被釘孔等局部削弱時(shí)也還采用不考慮削弱的毛面積，因?yàn)閴簵U的穩(wěn)定性取決于整體的抗彎能力，受局部削弱的影響很小。這與強(qiáng)度計(jì)算中必須以橫截面被釘孔等削弱后的凈面積為依據(jù)是有所不同的。,第九章 壓桿穩(wěn)定,62,在穩(wěn)

26、定計(jì)算中如需按穩(wěn)定條件選擇壓桿的橫截面尺寸，那么由于查表確定穩(wěn)定因數(shù)j 時(shí)需要依據(jù)與截面尺寸相關(guān)的柔度l，所以要用試算法。,壓桿的臨界應(yīng)力隨柔度 的減小而增大，因而當(dāng)桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同時(shí)，壓桿的合理截面應(yīng)是： . 對(duì)兩個(gè)形心主慣性軸的慣性半徑相等的截面，亦即兩個(gè)形心主慣性矩相等( Imax= Imin)的截面； . 在橫截面面積相同的條件下，對(duì)形心主慣性軸的慣性半徑盡可能大的截面，亦即形心主慣性矩盡可能大的截面。,第九章 壓桿穩(wěn)定,63,對(duì)于桿端約束在壓桿各縱向平面內(nèi)不同的情況，其橫截面以使壓桿在各縱向平面內(nèi)的柔度l相同或接近相同為合理。,圖示截面中，對(duì)于桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同的壓

27、桿來(lái)說(shuō)，正方形截面較矩形截面合理；圓截面合理，且空心圓截面較實(shí)心圓截面更合理。圖e所示組合截面其兩個(gè)槽鋼的形心間距離h以能使Iy等于或稍大于Iz者為合理。,第九章 壓桿穩(wěn)定,64,例題9-4 圖示為簡(jiǎn)易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d =300 mm的紅松，長(zhǎng)度 l6 m，順紋抗壓強(qiáng)度許用應(yīng)力s 10 MPa。試求該扒桿所能承受的許可壓力值。,第九章 壓桿穩(wěn)定,65,解：1. 我國(guó)規(guī)范的有關(guān)規(guī)定,我國(guó)木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)木制壓桿，按樹種的彎曲強(qiáng)度分兩類給出穩(wěn)定因數(shù)j 的計(jì)算公式。紅松屬于樹種強(qiáng)度TC13級(jí)(“13”表示彎曲強(qiáng)度為13 MPa)，該等級(jí)所屬分類的穩(wěn)定因數(shù)計(jì)算公式為,時(shí),時(shí)

28、,第九章 壓桿穩(wěn)定,66,2. 扒桿的柔度,該扒桿在軸向壓力作用下如果在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)，則由于其上端受水平鋼絲繩的約束而基本上不能產(chǎn)生側(cè)向位移而只能轉(zhuǎn)動(dòng)，其下端由于銷釘?shù)募s束也只能轉(zhuǎn)動(dòng)，故扒桿大致相當(dāng)于兩端鉸支壓桿，長(zhǎng)度因數(shù)可取為m1。 扒桿在垂直于圖示平面的方向，其上端通常沒(méi)有任何約束，而下端由于受銷釘約束基本上不能轉(zhuǎn)動(dòng)而可視為固定端，故長(zhǎng)度因數(shù)可取為m2。,第九章 壓桿穩(wěn)定,67,比較扒桿在兩個(gè)相互垂直平面內(nèi)的長(zhǎng)度因數(shù)m，并注意到這是圓截面桿可知，決定該扒桿許可壓力的是垂直于圖示平面內(nèi)的穩(wěn)定性。從而有,第九章 壓桿穩(wěn)定,3. 穩(wěn)定因數(shù)及許可壓力,因l 91，故按下式計(jì)算穩(wěn)定因數(shù)：,從而有許

29、可壓力：,68,例題9-5 廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270 kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度因數(shù)取為m1.3。鋼柱長(zhǎng)7 m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力s=170 MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個(gè)直徑為d0=30 mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號(hào)碼。,第九章 壓桿穩(wěn)定,69,解：1. 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼,為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同樣的穩(wěn)定性，應(yīng)根據(jù)ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h?，F(xiàn)先按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過(guò)試算選擇槽鋼號(hào)碼。,假設(shè)j0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)

30、力為,因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為,第九章 壓桿穩(wěn)定,70,由型鋼表查得，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm218.5110-4 m2，而它對(duì)z軸的慣性半徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面來(lái)檢查采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j 是否不小于假設(shè)的j 0.5。,第九章 壓桿穩(wěn)定,注意到此組合截面對(duì)于z 軸的慣性矩 Iz 和面積 A 都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz 值就等于單根槽鋼的iz 值。于是有該組合截面壓桿的柔度：,71,由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j0.262。 顯然，前面假設(shè)的j0.5這個(gè)值過(guò)大，需重新假設(shè)j 值再來(lái)試算；重新假設(shè)的j 值大致上取以前面假設(shè)的j0.5和所得的j0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j 的值。,重新假設(shè)j0.35，于是有,第九章 壓桿穩(wěn)定,72,試選16號(hào)槽鋼，其 A