高中數(shù)學(xué)拋物線(xiàn)練習(xí)(有答案)

1、1拋物線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)2拋物線(xiàn)的圖形和性質(zhì)：頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線(xiàn)所作垂線(xiàn)段中點(diǎn)。焦準(zhǔn)距：通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為。頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)段：。焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切。所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)F、準(zhǔn)線(xiàn)是公切線(xiàn)。焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 FP為直徑的圓必與過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)相切。所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)F、過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)是公切線(xiàn)。焦點(diǎn)弦為直徑的圓：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切。所有這樣的圓的公切線(xiàn)是準(zhǔn)線(xiàn)。3拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：4拋物線(xiàn)的圖像和性質(zhì)：

2、焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線(xiàn)方程是：。焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離（稱(chēng)為焦半徑）是：，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P5一般情況歸納：方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)定義特征y2=kxk0時(shí)開(kāi)口向右(k/4,0)x= k/4到焦點(diǎn)(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)x= k/4的距離k0時(shí)開(kāi)口向上(0,k/4)y= k/4到焦點(diǎn)(0,k/4)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)y= k/4的距離k0)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；(4) 求經(jīng)過(guò)P (4，2)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；分析：這是為掌握拋物線(xiàn)四類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程而設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)題，解題時(shí)首先分清屬哪類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)型，再錄求P值(注意p0)特別是(3)題，要先化

3、為標(biāo)準(zhǔn)形式：，則(4)題滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)有向左和向下開(kāi)口的兩條，因此有兩解答案：(1) ，(2) x2=12y (3) ，；(4) y2=x或x2=8y例4 求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程：（1）過(guò)點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線(xiàn)x2y4=0上分析：從方程形式看，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開(kāi)口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論解：（1）設(shè)所求的拋物線(xiàn)方程為y2=2px或x2=2py（p0），過(guò)點(diǎn)（3，2），4=2p（3）或9=2p2p=或p=所求的拋物線(xiàn)方程為y2=x或x2=y，前者的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=，后者的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=

4、（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，p=8，此時(shí)拋物線(xiàn)方程y2=16x；焦點(diǎn)為（0，2）時(shí)，=2，p=4，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為x2=8y所求的拋物線(xiàn)的方程為y2=16x或x2=8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是x=4，y=2常用結(jié)論 過(guò)拋物線(xiàn)y22px的焦點(diǎn)F的弦AB長(zhǎng)的最小值為2p 設(shè)A(x1，y)， 1B(x2，y2)是拋物線(xiàn)y22px上的兩點(diǎn)， 則AB過(guò)F的充要條件是y1y2p2 設(shè)A， B是拋物線(xiàn)y22px上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)， 則OAOB的充要條件是直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p，0)例5：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px (p0)的頂點(diǎn)O作弦OA

5、OB，與拋物線(xiàn)分別交于A(yíng)(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求證：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之積等于1，從而得到x1、x2，y1、y2之間的關(guān)系又A、B是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，故(x1，y1)、(x2，y2)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程從這幾個(gè)關(guān)系式可以得到y(tǒng)1、y2的值證：由OAOB，得，即y1y2=x1x2，又，所以：，即 而y1y20所以y1y2=4p2弦的問(wèn)題例1 A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程解：(1)設(shè)A(x1,y1)

6、, B(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直線(xiàn)AB的斜率k=, 直線(xiàn)AB的方程為yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)C(2p,0)(3)解法1:設(shè)M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故兩直線(xiàn)的斜率之積為1, 即= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x0)解法2: 由OMAB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn)

7、) 立即可求出例2 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線(xiàn):x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等號(hào)在直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此時(shí)x=(x1+x2)=

8、y= 即M(,), N(,)例3設(shè)一動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A(2, 0)且與拋物線(xiàn)相交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B、C在軸上的射影分別為, P是線(xiàn)段BC上的點(diǎn),且適合,求的重心Q的軌跡方程,并說(shuō)明該軌跡是什么圖形解析: 設(shè), 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知關(guān)于是減函數(shù)且, 且所以Q點(diǎn)軌跡為一線(xiàn)段(摳去一點(diǎn)): (且)例4 已知拋物線(xiàn),焦點(diǎn)為F,一直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn),且,且AB的垂直平分線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)S(6, 0) 求拋物線(xiàn)方程; 求面積的最大值解: 設(shè), AB中點(diǎn) 由得 又 得所以 依題意, 拋物線(xiàn)方程為 由及, 令得 又由和得: 例5 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=x上移動(dòng)

9、，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線(xiàn):x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等號(hào)在直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此時(shí)x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)綜合類(lèi)(幾何)例1 過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的一條直線(xiàn)

10、與它交于兩點(diǎn)P、Q，通過(guò)點(diǎn)P和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)M，如何證明直線(xiàn)MQ平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸？解：思路一：求出M、Q的縱坐標(biāo)并進(jìn)行比較，如果相等，則MQ/x軸，為此，將方程聯(lián)立，解出直線(xiàn)OP的方程為即令，得M點(diǎn)縱坐標(biāo)得證由此可見(jiàn)，按這一思路去證，運(yùn)算較為繁瑣思路二：利用命題“如果過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的一條直線(xiàn)和這條拋物線(xiàn)相交，兩上交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為、，那么”來(lái)證設(shè)、，并從及中消去x，得到，則有結(jié)論，即又直線(xiàn)OP的方程為， ，得因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以從而這一證法運(yùn)算較小思路三：直線(xiàn)MQ的方程為的充要條件是將直線(xiàn)MO的方程和直線(xiàn)QF的方程聯(lián)立，它的解（x ,y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo)，消去的充要條件是點(diǎn)P在拋物線(xiàn)

11、上，得證這一證法巧用了充要條件來(lái)進(jìn)行逆向思維，運(yùn)算量也較小說(shuō)明：本題中過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)（即斜率不存在），容易證明成立例2 已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)R是含拋物線(xiàn)頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn)，求RAB的最大面積分析：求RAB的最大面積，因過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的弦長(zhǎng)為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可解：設(shè)AB所在的直線(xiàn)方程為將其代入拋物線(xiàn)方程，消去x得當(dāng)過(guò)R的直線(xiàn)l平行于A(yíng)B且與拋物線(xiàn)相切時(shí)，RAB的面積有最大值設(shè)直線(xiàn)l方程為代入拋物線(xiàn)方程得由得，這時(shí)它到AB的距離為RAB的最大面積為例3 直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，P是線(xiàn)段的中點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)P和拋

12、物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k（1）將直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之比表示為k的函數(shù)；（2）求出的定義域及單調(diào)區(qū)間分析：過(guò)點(diǎn)P及F，利用兩點(diǎn)的斜率公式，可將的斜率用k表示出來(lái)，從而寫(xiě)出，由函數(shù)的特點(diǎn)求得其定義域及單調(diào)區(qū)間解：（1）設(shè)的方程為：，將它代入方程，得設(shè)，則將代入得：，即P點(diǎn)坐標(biāo)為由，知焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率函數(shù)（2）與拋物線(xiàn)有兩上交點(diǎn)，且解得或函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)例4 如圖所示：直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，并且與這拋物線(xiàn)相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求證：對(duì)于這拋物線(xiàn)的任何給定的一條弦CD，直線(xiàn)l不是CD的垂直平分線(xiàn)分析：本題所要證的命題結(jié)論是否定形式，一方面可根據(jù)垂直且平分列方程得矛盾結(jié)論；別一方面也可

13、以根據(jù)l上任一點(diǎn)到C、D距離相等來(lái)得矛盾結(jié)論證法一：假設(shè)直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的弦CD的垂直平方線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)l的斜率存在，且不為零；直線(xiàn)CD的斜率存在，且不為0設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為與則l的方程為直線(xiàn)l平分弦CDCD的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上，即，化簡(jiǎn)得：由知得到矛盾，所以直線(xiàn)l不可能是拋物線(xiàn)的弦CD的垂直平分線(xiàn)證法二：假設(shè)直線(xiàn)l是弦CD的垂直平分線(xiàn)焦點(diǎn)F在直線(xiàn)l上，由拋物線(xiàn)定義，到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，CD的垂直平分線(xiàn)l：與直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)有兩上交點(diǎn)矛盾，下略例5 設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)O在A(yíng)B上射影N的軌跡方程分析：求與拋物線(xiàn)有關(guān)的軌跡方程，

14、可先把N看成定點(diǎn)；待求得的關(guān)系后再用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，也可結(jié)合幾何知識(shí)，通過(guò)巧妙替換，簡(jiǎn)化運(yùn)算解法一：設(shè)則：，即， 把N點(diǎn)看作定點(diǎn)，則AB所在的直線(xiàn)方程為：顯然代入化簡(jiǎn)整理得：， 由、得：，化簡(jiǎn)得用x、y分別表示得：解法二：點(diǎn)N在以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的交點(diǎn)（非原點(diǎn)）的軌跡上，設(shè)，則以O(shè)A為直徑的圓方程為： 設(shè)，OAOB，則在求以O(shè)B為直徑的圓方程時(shí)以代，可得 由得：例6如圖所示，直線(xiàn)和相交于點(diǎn)M，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線(xiàn)段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)段C的方程分析：因?yàn)榍€(xiàn)段C上的任一點(diǎn)是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的一段，所以

15、本題關(guān)鍵是建立適當(dāng)坐標(biāo)系，確定C所滿(mǎn)足的拋物線(xiàn)方程解：以為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系由題意，曲線(xiàn)段C是N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的一段，其中A、B分別為曲線(xiàn)段的兩端點(diǎn)設(shè)曲線(xiàn)段C滿(mǎn)足的拋物線(xiàn)方程為：其中、為A、B的橫坐標(biāo)令則，由兩點(diǎn)間的距離公式，得方程組：解得或AMN為銳角三角形，則，又B在曲線(xiàn)段C上，則曲線(xiàn)段C的方程為例7如圖所示，設(shè)拋物線(xiàn)與圓在x軸上方的交點(diǎn)為A、B，與圓在x由上方的交點(diǎn)為C、D，P為AB中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)（1）求（2）求ABQ面積的最大值分析：由于P、Q均為弦AB、CD的中點(diǎn)，故可用韋達(dá)定理表示出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式即可求出解：（1）設(shè)由得：，

16、由得，同類(lèi)似，則，（2），當(dāng)時(shí)，取最大值例8已知直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在上，求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程分析：設(shè)出直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，由點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入拋物線(xiàn)方程或設(shè)，利用對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識(shí)求解解法一：設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，則有點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為、，則有解得解得如圖，、在拋物線(xiàn)上兩式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直線(xiàn)的方程為，拋物線(xiàn)的方程為解法二：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為、，又設(shè)，依題意，有，故，由，知，又，故為第一象限的角、將、的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，得，即從而，得拋物線(xiàn)的方程為又直線(xiàn)

17、平分，得的傾斜角為直線(xiàn)的方程為說(shuō)明：(1)本題屬于點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解法一是解對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題的基本方法，它的思路明確，但運(yùn)算量大，若不仔細(xì)、沉著，難于解得正確結(jié)果解法二是利用對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)來(lái)解，它的技巧性較強(qiáng)，一時(shí)難于想到(2)本題是用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程在已知曲線(xiàn)的類(lèi)型求曲線(xiàn)方程時(shí)，這種方法是最常規(guī)方法，需要重點(diǎn)掌握例9如圖，正方形的邊在直線(xiàn)上，、兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，求正方形的面積分析：本題考查拋物線(xiàn)的概念及其位置關(guān)系，方程和方程組的解法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力解：直線(xiàn)，設(shè)的方程為，且、由方程組，消去，得，于是，(其中)由已知，為正方形，可視為平行直線(xiàn)與間的

18、距離，則有，于是得兩邊平方后，整理得，或當(dāng)時(shí)，正方形的面積當(dāng)時(shí)，正方形的面積正方形的面積為18或50說(shuō)明：運(yùn)用方程（組）的思想和方法求某些幾何量的值是解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應(yīng)充分考慮正方形這一條件例10設(shè)有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線(xiàn)軌道運(yùn)行，地球恰好位于拋物線(xiàn)軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)闀r(shí)，經(jīng)過(guò)地球與彗星的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離分析：利用拋物線(xiàn)有關(guān)性質(zhì)求解解：如圖，設(shè)彗星軌道方程為，焦點(diǎn)為，彗星位于點(diǎn)處直線(xiàn)的方程為解方程組得，故故，得由于頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，所以頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離為，所以彗星與地球

19、的最短距離為或，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊與右邊時(shí)，所求距離取不同的值）說(shuō)明：(1)此題結(jié)論有兩個(gè)，不要漏解；(2)本題用到拋物線(xiàn)一個(gè)重要結(jié)論：頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，其證明如下：設(shè)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，依拋物線(xiàn)定義，有，當(dāng)時(shí)，最小，故拋物線(xiàn)上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)例11如圖，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)與圓依次為、四點(diǎn)，求的值分析：本題考查拋物線(xiàn)的定義，圓的概念和性質(zhì)，以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)被圓錐曲線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為已知

20、圓的圓心，得到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線(xiàn)方程為，為已知圓的直徑，則設(shè)、，而、在拋物線(xiàn)上，由已知可知，直線(xiàn)方程為，于是，由方程組消去，得，因此，說(shuō)明：本題如果分別求與則很麻煩，因此把轉(zhuǎn)化成是關(guān)鍵所在，在求時(shí)，又巧妙地運(yùn)用了拋物線(xiàn)的定義，從而避免了一些繁雜的運(yùn)算11.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p0)，過(guò)焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為(0),且與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)、B兩點(diǎn).（1）求證：|AB|=;(2)求|AB|的最小值.（1）證明：如右圖，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（,0）.設(shè)過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線(xiàn)方程為y=tan（x-）,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y并整理，得tan2x2-(2p+ptan2)x+=0.此方程的兩根應(yīng)為交點(diǎn)A、B

21、的橫坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=.設(shè)A、B到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-的距離分別為|AQ|和|BN|，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.（2）解析：因|AB|=的定義域是00)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分，求證：為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線(xiàn)，你能得到什么結(jié)論？解析：（1）當(dāng)ABx軸時(shí)，m=n=p，=.（2）當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m=+x1,n=+x2.將AB方程代入拋物線(xiàn)方程，得k2x2-(k2p+2p)x+=0,=.本題若推廣到橢圓，則有=（e是橢圓的離心率）；若推廣到雙曲線(xiàn)，則要求弦AB與雙曲線(xiàn)交于同一支，此時(shí)，同樣有=(e為雙曲線(xiàn)的離心率).13.如右圖，M是拋物線(xiàn)y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦 ME、MF分別交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且|MA|=|MB|.（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線(xiàn)EF的斜率為定值；（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且EMF=90，求EMF的重心G的軌跡方程.（1）證明：設(shè)M（y02,y0），直線(xiàn)ME的斜率為k(k0),則直線(xiàn)MF的斜率為-k，直線(xiàn)ME的方程為y-y0=k(x-y02).由得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得y0