01屆 普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）理(附解答)

1、絕密啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷1至2頁(yè)第卷3至8頁(yè)共150分考試時(shí)間120分鐘第卷（選擇題 共60分）注意事項(xiàng)：1.答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回參考公式： 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式三角函數(shù)的積化和差公式 其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線長(zhǎng) 球體的體積公式 其中表示球的半徑一

2、、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）集體的子集個(gè)數(shù)是（A）32（B）31（C）16（D）15（2）函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有（A）（B）（C）（D）（3）（A）0（B）2（C）（D）（4）函數(shù)的反函數(shù)是（A）（B）（C）（D）（5）極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是（A）（B）（C）（D）（6）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)以O(shè)P為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（A）圓（B）兩條平行直線（C）拋物線（D）雙曲線（7）已知，那么等于（A）（B）8（C）18（D）（8）若A、B是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)在（A）第一象限（B）第二

3、象限（C）第三象限（D）第四象限（9）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（A）（B）（C）（D）（10）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（A）18（B）6（C）（D）（11）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中，平行CN與BE是異面直線CN與BM成角DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（A）（B）（C）（D）（12）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬(wàn)件）近似地滿足按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是（A）5月、6月（B）6月、7月（C）7月、8月（D）8月、9月絕密啟用前 2001年普通高等學(xué)校春季

4、招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：1.第卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚題 號(hào)二三總 分171819202122分 數(shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上得分評(píng)卷人（13）已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于_（14）橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_（15）已知、均為銳角），那么的最大值等于_（16）已知、是直線，、是平面，給出下列命題： 若，則；若，則；若不垂直于，則不可能垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；若，且，

5、則其中正確的命題的序號(hào)是_（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟得分（17）（本小題滿分12分）評(píng)卷人設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性得分（18）（本小題滿分12分）評(píng)卷人已知（）證明；（）設(shè)的輻角為，求的值得分（19）（本小題滿分12分）評(píng)卷人已知VC是所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在的高CD上之間的距離為（）證明MDC是二面角MABC的平面角；（）當(dāng)MDC=CVN時(shí)，證明VC；（）若MDC=CVN=，求四面體MABC的體積得分（20）（本小題滿分12分）評(píng)卷人在1與2之間插入個(gè)

6、正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列記（）求數(shù)列和的通項(xiàng)；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論得分（21）（本小題滿分12分）評(píng)卷人某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)投入成本）年銷售量（）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？得分（2

7、2）（本小題滿分14分）評(píng)卷人已知拋物線過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，（）求的取值范圍；（）若線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值絕密啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的

8、一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分60分（1）A（2）C（3）D（4）C（5）A（6）B（7）D（8）B（9）C（10）B（11）C （12）C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分（13）（14）（15）（16）三、解答題（17）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)推理判斷能力滿分12分解：函數(shù)的定義域?yàn)?在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)也是減函數(shù) 4分證明在內(nèi)是減函數(shù)取，且，那么 6分即在內(nèi)是減函數(shù)

9、 9分同理可證在內(nèi)是減函數(shù) 12分（18）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，考查綜合運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力滿分12分解：（）由 ， 得4分 因?yàn)?， 所以 6分 （）因?yàn)椋?所以 ，而，所以， ，同理， 由（）知 ， 即 ， 所以 的實(shí)部為，8分 而的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為 ， 所以 12分（19）本小題主要考查線面關(guān)系的基本概念，考查運(yùn)用直線與直線、直線與平面的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明的能力滿分12分（）證明：由已知， ， 2分 又V、M、N、D都在VNC所在平面內(nèi)，所以，DM與VN必相交，且，MDC為二面角的平面角4分（）證明：由已知，MDC=CVN，在中，NCV=MCD，又VN

10、C=，DMC=VNC=故有，6分8分（）解：由（）、（），又在中，10分 12分（20）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法滿分12分解：（I）成等比數(shù)列，4分成等差數(shù)列，所以，數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)6分（II），要比較與的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)時(shí)，與的大小當(dāng)時(shí)，得知，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，均有命題成立猜想當(dāng)時(shí)有用數(shù)學(xué)歸納法證明9分 （i）當(dāng)時(shí)，已驗(yàn)證，命題成立 （ii）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，那么 又當(dāng)時(shí)，有 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，命題成立根據(jù)（i）、（ii），可知命題對(duì)于都成立故當(dāng)時(shí)，12分（21）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分12分解：（）由題意得，4分 整理得 6分 （）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng) 即 9分 解不等式得 答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)滿足 12分（22）本小題考查