垂線 習(xí)題 (含答案)

1、2019年4月16日初中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1如圖是某跳遠(yuǎn)運(yùn)動員在一次比賽中跳遠(yuǎn)時沙坑的示意圖，測量成績時先使皮尺從后腳跟的點A處開始并與起跳線1垂直于點B，然后記錄AB的長度，這樣做的理由是( )A過一點可以作無數(shù)條直線B垂線段最短C過兩點有且只有一條直線D兩點之間線段最短【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答即可【詳解】解：這樣做的理由是根據(jù)垂線段最短 故選：B【點睛】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理2下列說法一個角的余角一定是銳角；因為12，所以1與2是對頂角；過一點與已知直線平行的直線只有一條；從直線外一點到這條直線的

2、垂線段叫做點到直線的距離；兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.其中正確的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互余的定義、對頂角的定義、點到直線的距離的定義、平行線的性質(zhì)來逐一判斷即可.【詳解】解：一個角的余角一定是銳角，所以正確；相等的角不一定是對頂角，所以錯誤；過直線外一點與已知直線平行的直線只有一條，所以錯誤；從直線外一點到這條直線的垂線段的長叫做點到直線的距離，所以錯誤；兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，所以錯誤故本題答案應(yīng)為：A【點睛】本題主要考查了互余、對頂角、點到直線的距離的定義及平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.3如圖，直線A

3、B和CD相交于O，那么圖中 DOE與COA 的關(guān)系是（ ）A對頂角B相等C互余D互補(bǔ)【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定義得到AOE=BOE=90，則DOE+BOD=90，再根據(jù)對頂角相等得到BOD=AOC，所以DOE+AOC=90，然后根據(jù)互余的定義進(jìn)行判斷【詳解】解：OEAB，AOE=BOE=90，DOE+BOD=90，BOD=AOC，DOE+AOC=90，即DOE與COA互余故選：C【點睛】本題考查了垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足垂線的性質(zhì)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直也考查了對頂

4、角和兩角互余4下列說法正確的是( )A直線一定比射線長B過一點能作已知直線的一條垂線C射線AB的端點是A和BD角的兩邊越長，角度越大【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本概念和公理，利用排除法求解【詳解】解：A、直線和射線長都沒有長度，故本選項錯誤； B、過一點能作已知直線的一條垂線，正確； C、射線AB的端點是A，故本選項錯誤； D、角的角度與其兩邊的長無關(guān)，錯誤； 故選：B【點睛】本題考查了直線、射線和線段相關(guān)概念： 直線：是點在空間內(nèi)沿相同或相反方向運(yùn)動的軌跡向兩個方向無限延伸過兩點有且只有一條直線 射線：直線上的一點和它一旁的部分所組成的圖形稱為射線，可向一方無限延伸5如圖，BDAC于點D

5、，ECAB于點E，AFBC點F，AF、BD、CE交于點O，則圖中能表示點A到直線OC的距離的線段長是（）AAEBAFCADDOD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念即可解答【詳解】解：點A到直線OC的距離的線段長是AE，故選：A【點睛】本題考查點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是理解點到直線的距離的概念6如圖，A、B、C、D都在直線MN上，點P在直線外，若1=60，2=90，3=120，4=150，則點P到直線MN的距離是（）AP，A兩點之間的距離BP，B兩點之間的距離CP，C兩點之間的距離DP，D兩點之間的距離【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】2=9

6、0， 點P到直線MN的距離是P，A兩點之間的距離，故選A【點睛】本題考查了點到直線的距離，熟記概念是解題的關(guān)鍵7如圖,直線AB、CD相交于點O,OEAB于O,EOC=35,則AOD的度數(shù)為A125B115C55D35【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖形求得COB=COE+BOE=125；然后由對頂角相等的性質(zhì)，求AOD的度數(shù)【詳解】解：EOAB，EOB=90又COE=35，COB=COE+BOE=125AOD=COB（對頂角相等），AOD=125故選：A【點睛】本題考查了垂線，對頂角、鄰補(bǔ)角等知識點本題也可以利用鄰補(bǔ)角的定義先求得BOD=55，再由鄰補(bǔ)角的定義求AOD的度數(shù)8下列說法中不正確的是

7、()A兩點之間的所有連線中，線段最短B兩點確定一條直線C小于平角的角可分為銳角和鈍角兩類D在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【解析】【分析】利用線段公理、確定直線的條件、角的分類及垂線的定義分別判斷后即可確定正確的選項【詳解】解：A、兩點之間的所有連線中，線段最短，正確；B、兩點確定一條直線，正確；C、小于平角的角可分為銳角、直角和鈍角三類，故此選項錯誤；D、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確.故選C.【點睛】本題主要考查了線段、直線、垂線及角的分類9在同一平面內(nèi)，下列判斷中錯誤的是()A過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B垂直于已知線段并且經(jīng)

8、過這條線段中點的垂線只有一條C垂直于已知直線的垂線只有一條D連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短【答案】C【解析】【分析】根據(jù)垂線的定義和性質(zhì)分析即可.(1)過直線上或直線外的一點，有且只有一條直線和已知直線垂直；(2)從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂直線段最短?！驹斀狻緼、B、D根據(jù)性質(zhì)可知都是正確的，故不符合題意；C中 垂直于一直直線的垂線有無數(shù)條，本項錯誤，故符合題意；故本題答案應(yīng)為：C【點睛】本題考查了垂線的定義及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10如圖，直線a與b相交于點O，MOa，垂足為O，若235，則1的度數(shù)為( )A75 B65 C60 D5

9、5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平角和垂線的性質(zhì)解答即可【詳解】2=35，MO直線a，1=180-9035=55.故選D.【點睛】本題考查垂線, 平角，熟練掌握垂線和平角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（ABCD）開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是（）A兩點之間線段最短 B點到直線的距離C兩點確定一條直線 D垂線段最短【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答【詳解】要把河中的水引到水池A中,應(yīng)在河岸B處(ABCD)開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是：垂線段最短，故選：D.【點睛】本題考查垂線段的性

10、質(zhì)：垂線段最短.12如圖，OMNP，ONNP，所以O(shè)N與OM重合，理由是( )A兩點確定一條直線B經(jīng)過一點有一條直線與已知直線垂直C過一點只能作一條直線D同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【解析】【分析】利用在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，進(jìn)而得出答案即可【詳解】OMNP，ONNP，所以O(shè)N與OM重合，理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.故選D.【點睛】本題考查垂線，同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.二、填空題13在直線AB上任取一點O，過點O作射線OC、OD，使OCOD，當(dāng)AOC=30o時，BOD的度數(shù)是

11、_【答案】60或120【解析】【分析】此題可分兩種情況，即OC，OD在AB的一邊時和在AB的兩邊，分別求解【詳解】解：當(dāng)OC、OD在AB的一旁時，OCOD，COD=90，AOC=30，BOD=180-COD-AOC=60；當(dāng)OC、OD在AB的兩旁時，OCOD，AOC=30，AOD=60，BOD=180-AOD=120故答案為：60或120【點睛】此題主要考查了直角、平角的定義，注意分兩種情況分析，理清圖中的角之間的關(guān)系14平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多有_ 個交點【答案】6【解析】【分析】畫出符合條件的所有情況，即可得出答案【詳解】四條直線兩兩相交有以下情況：交點個數(shù)最多有6個，故答案為：6【點

12、睛】本題考查了直線兩兩相交時交點的情況，關(guān)鍵是能畫出符合的所有圖形15如圖是小凡同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印,他的跳遠(yuǎn)成績是線段_的長度. 【答案】AP【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷【詳解】解：根據(jù)點到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則，可得：他的跳遠(yuǎn)成績是線段AP的長度故答案為：AP【點睛】本題考查點到直線的距離，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握由點到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則16若A與B的兩邊分別垂直,則這兩個角的等量關(guān)系為_.【答案】互補(bǔ)或相等【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義，作出草圖即可判斷【詳解】如圖1，A+B=360-902=180，如圖

13、2，由三角形外角的性質(zhì)可得：1=B+90=A+90，A=B所以A與B的關(guān)系是互補(bǔ)或相等故答案是：互補(bǔ)或相等【點睛】考查了垂直的定義和角的比較，注意作出圖形有助于題意的理解，更形象直觀并且不容易出錯17如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，且ABCD，130，則2_【答案】60【解析】【分析】根據(jù)題意由對頂角相等先求出 FOD，然后根據(jù)ABCD，2與 FOD互為余角，求出即可【詳解】CD、EF相交于點OFOD=1=30ABCD2=90FOD=9030=60故本題答案應(yīng)為：60【點睛】對頂角相等和垂線的定義及性質(zhì)是本題的考點，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.18如圖，直線AB，CD相交于點O，OEO

14、F，OC平分AOE，且BOF2BOE，則BOD_.【答案】75【解析】【分析】首先根據(jù)OEOF，BOF=2BOE，求出BOE=30；然后求出AOE=150，再根據(jù)OC平分AOE，求出AOC的度數(shù)；最后根據(jù)BOD和AOC互為對頂角，求出BOD的度數(shù)即可【詳解】OEOF，EOF=90，BOF=2BOE，3BOE=90，BOE=903=30，AOE=180BOE=18030=150，又OC平分AOE，AOC=12AOE=12150=75，BOD和AOC互為對頂角，BOD=AOC=75.故答案為：75.【點睛】本題考查垂線， 對頂角、角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂線， 對頂角、角平分線的性質(zhì).三、解

15、答題19如圖，點O在直線AB上，COAB，BODCOD=34，求AOD的度數(shù).【答案】118【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義得到AOC=BOC=90，得到BOD+COD=90，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論.【詳解】解：COAB，AOC=BOC=90，BOD+COD=90，BOD-COD=34，COD=28，AOD=AOC+COD=118.【點睛】本題考查了垂線以及角的計算，正確把握垂線的定義是解題關(guān)鍵.20如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位，A、B、C均在格點上(1)過點C畫線段AB的平行線CD；(2)過點A畫線段BC的垂線，垂足為E；(3)過點A畫線段AB的垂線，交線段CB的延長線于點F；(4)

16、線段AE的長度是點_到直線_的距離；(5)線段AE、BF、AF的大小關(guān)系是_.(用“”連接)【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析（4）線段AE的長度是點A到直線BC的距離（5）A，BC，AEAFBF【解析】【分析】123利用網(wǎng)格的特點直接作出平行線及垂線即可；4利用垂線段的性質(zhì)直接回答即可；5利用垂線段最短比較兩條線段的大小即可【詳解】1直線CD即為所求；2直線AE即為所求；3直線AF即為所求；4線段AE的長度是點A到直線BC的距離；5AEBE，AEAF，AEAFBF故答案為：A，BC，AEAFBF【點睛】考查了垂線段最短和點到直線的距離的知識，解題的關(guān)鍵是理解有關(guān)垂線段的性質(zhì)及能進(jìn)行

17、簡單的基本作圖21畫圖題：（1）在如圖所示的方格紙中，經(jīng)過線段AB外一點C，不用量角器與三角尺，僅用直尺畫線段AB的垂線CD和平行線CE（其中D、E為格點）（2）連接AC和BC，若圖中每個最小正方形的邊長為1，試求三角形ABC的面積是_【答案】（1）見解析；（2）4【解析】【分析】（1）過點C作31的矩形的對角線所在的直線，可得AB的垂線和平行線；（2）設(shè)小方格的邊長為1，利用三角形的面積求解即可【詳解】解：（1）如圖所示，直線CD和CE即為所求；（2）如圖，連接AC和BC，設(shè)小方格的邊長為1，則三角形ABC的面積=33-1213-1222-1213=4故答案為：4【點睛】本題主要考查了基本作

18、圖，割補(bǔ)法求圖形的面積等知識.解題的關(guān)鍵是利用方格紙的特點正確的作出圖形22（認(rèn)識概念）點P、Q分別是兩個圖形G1、G2上的任意一點，當(dāng)P、Q兩點之間的距離最小時，我們把這個最小距離叫作圖形G1、G2的親密距離，記為d（G1，G2）例如，如果點M、N分別是兩條相交直線a、b上的任意一點，則d（a，b）0（初步運(yùn)用）如圖1，長方形四個頂點分別是點A、B、C、D，邊ABCD5，ADBC3那么d（AB，CD），d（AD，BC），d（AD，AB）各等于多少（深入探究）（1）在圖1中，如果將線段CD沿它所在直線平移（邊AB不動），且使d（CD，AB）不變，那么線段CD的中點偏離它原來位置的最大距離為多少

19、；（2）如圖2，線段AB直線CD，AB1，點A到CD的距離為3，將線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)90后的對應(yīng)線段為AB，則d（AB，CD）等于多少【答案】【初步運(yùn)用】d（AB，CD）3，d（AD，BC）5，d（AD，AB）0；【深入探究】（1）CD的原中點E和平稱后的中點F的最大距離為：5；（2）d（AB，CD）2或3，【解析】【分析】初步運(yùn)用根據(jù)圖形G1、G2的親密距離的定義可得結(jié)論；深入探究（1）在圖1中，注意線段CD平移的最遠(yuǎn)距離，可得結(jié)論；（2）如圖2，要分情況討論，可以順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)親密距離的定義解決問題【詳解】解：初步運(yùn)用如圖1，AB與CD的距離為AD3，d（AB，CD）3，AD和B

20、C的距離為5，d（AD，BC）5，AD和AB交于點B，d（AD，AB）0， 深入探究（1）如圖所示：CD的原中點E和平稱后的中點F的最大距離為：5；（2）將線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)90后的對應(yīng)線段為AB或AB，如圖2，延長AB交CD于E，ABABAB1，AE3，BE2，則d（AB，CD）2或3【點睛】本題考查了學(xué)生的理解能力和創(chuàng)新能力，題中通過介紹“親密距離”來引出學(xué)生對動態(tài)圖象最小距離的識別，這是新課標(biāo)要求我們掌握的技能在深度理解親密距離定義、特點后難度并不高，并且再討論運(yùn)動路徑的時候需要學(xué)生動手作圖理解運(yùn)動過程，是一道非常值得學(xué)生鍛煉的題目23如圖，已知直線AB以及直線AB外一點P按下述要求畫圖

21、并填空：（1）過點P畫直線MNAB；（2）過點P畫直線PCAB，垂足為點；（3）量出點P到直線AB的距離約是多少cm（精確到0.1cm）【答案】（1）如圖，直線MN為所作；見解析；（2）如圖，PC為所作；見解析；（3）量得點P到直線AB的距離約是4.3cm【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，過P點作小正方形的對角線得到MNAB；（2）利用網(wǎng)格特點，過P點作小正方形的對角線得到PCAB；（3）用刻度尺測量PC的長即可【詳解】解：（1）如圖，直線MN為所作；（2）如圖，PC為所作；（3）量得點P到直線AB的距離約是4.3cm（精確到0.1cm）【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練正方形網(wǎng)格的性質(zhì)對

22、角線與變成45角是關(guān)鍵24如圖，三角形ABC是鈍角三角形，用三角尺按下列要求畫圖；（1）畫出過點A到線段BC所在直線的垂線段AE ;（2）畫出表示點B到直線AC的距離的線段BF .【答案】見解析【解析】【分析】（1）把三角板的一條直角邊與BC對齊，使另一條直角邊經(jīng)過點A，即可畫出垂線段AE；（2）先延長CA，然后用三角板的兩條直角邊畫圖即可.【詳解】如圖，【點睛】本題考查了垂線段的畫法在解答此題時，用到的作圖工具是三角尺，正確掌握基本作圖的作法是作圖的關(guān)鍵同時考查了點到直線的距離的定義25如圖，由相同邊長的小正方形組成的網(wǎng)格圖形，A、B、C都在格點上，利用網(wǎng)格畫圖：（注：所畫線條用黑色簽字筆描

23、黑）（1）過點C畫AB的平行線；（2）過點B畫AC的垂線，垂足為點G；過點B畫AB的垂線，交AC的延長線于H（3）點B到AC的距離是線段 的長度，線段AB的長度是點 到直線 的距離（4）線段BG、AB的大小關(guān)系為：BG AB（填“”、“”或“=”），理由是 .【答案】（1）如圖見解析；（2）如圖見解析；（3）BG、A、BH；（4），直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格進(jìn)而得出過點C畫AB的平行線；（2）利用網(wǎng)格得出過點B畫AC的垂線，以及畫AB的垂線，交AC的延長線于H；（3）利用點的直線以及線段的距離定義得出答案；（4）利用點到直線的距離性質(zhì)得出答

24、案【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）點B到AC的距離是線段 BG的長度，線段AB的長度是點 A到直線 BH的距離故答案為：BG、A、BH；（4）線段BG、AB的大小關(guān)系為：BGAB，理由是：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短（填垂線段最短也算對）故答案為：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短（填垂線段最短也算對）【點睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)以及結(jié)合網(wǎng)格是解題關(guān)鍵26如圖，根據(jù)下列要求畫圖：（1）畫直線AC，線段BC和射線BA；（2）畫出點A到線段BC的垂線段AD；（3）用量角器（半圓儀）測量ABC的度數(shù)是 （精確到度）【答案】

25、（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）70【解析】【分析】（1）根據(jù)直線、線段、射線的定義進(jìn)行畫出即可；（2）利用直角三角板，將三角板中直角的一邊放在BC上，然后移動三角板，當(dāng)另一條直角邊經(jīng)過點A時，過點A及直角頂點畫線段即可；（3）利用量角器進(jìn)行測量即可【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖，AD為所作；（3）量出ABC的度數(shù)為70，故答案為70【點睛】本題考查了作圖知識的把幾何語言轉(zhuǎn)化為幾何圖形的能力，三角板的使用，量角器的使用等，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作27如圖，已知直線a，b，點P在直線a外，在直線b上，過點P

26、分別畫直線a，b的垂線【答案】圖形見解析.【解析】【分析】根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線和過直線上一點作已知直線的垂線分別畫出即可【詳解】解：如答圖所示，PA為直線a的垂線，PB為直線b的垂線 【點睛】垂線的作法是本題的考點，熟練掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵.28如圖，已知O為直線AB上的一點，CDAB于點O，POOE于點O，OM平分COE，點F在OE的反向延長線上(1)當(dāng)OP在BOC內(nèi)，OE在BOD內(nèi)時，如圖所示，直接寫出POM和COF之間的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)OP在AOC內(nèi)且OE在BOC內(nèi)時，如圖所示，試問(1)中POM和COF之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并說明理由【答案】（1）POM12CO

27、F，理由見解析；（2）POM12COF，理由見解析【解析】【分析】（1）利用垂直的定義，CDAB，POEO，等量代換得COP=BOE，利用角平分線的性質(zhì)，得POM=12POB=12(90-POC)，COF=90-COP，得出結(jié)論；（2）利用垂直的定義，同角的余角相等可得COPAOF，可推出COPCOBAOFAOC，即BOPCOF，由對頂角相等得AOFBOECOP，利用角平分線的性質(zhì)，得COPCOMBOEMOE，即POM12BOP，等量代換得出結(jié)論【詳解】解：(1)POM12COF.證明：CDAB，COP+BOP=90，OPOE，BOE+BOP=90，COP=BOE，OM平分COE，POM=MOB=12POB=12 (90POC)，COF=90COP，POM=12COF；(2)不發(fā)生變化理由：CDAB于點O，AOPCOP90.POO