數(shù)學(xué)物理方法課件：2-復(fù)變函數(shù)的積分

1、2.1 復(fù)變函數(shù)的積分,（一）復(fù)變函數(shù)積分的定義,復(fù)平面上的路積分 復(fù)平面分段光滑曲線 l 上定義的連續(xù)函數(shù) f(z)，作和,1,A ,x,y,o, B,z0,zn,l,z1,zk-1,zk,k,第二章 復(fù)變函數(shù)的積分(2),若,2,即,分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy,參數(shù)形式：曲線 l 的參數(shù)方程 x=x(t), y=y(t), 起始點(diǎn)A 和結(jié)束點(diǎn) BtA, tB,存在且與k的選取無關(guān), 則這個和的極限稱為函數(shù) f(z) 沿曲線 l從 A到 B的路積分，記為,3,（二）復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì),因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個實(shí)變函數(shù)的線積分，所以實(shí)變函數(shù)線積分

2、的許多性質(zhì)也適用于復(fù)變函數(shù)路積分。,1.常數(shù)因子可以移到積分號之外 2.函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和 3.反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號,4,4.全路徑上的積分等于各分段上的積分之和 即： 如果 l=l1+l2+ln 5.積分不等式1： 6.積分不等式2： 其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全長。,5,例 計(jì)算積分,一般而言，復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，同時還與路徑有關(guān)。,解：,6,2.2 柯西（Cauchy）定理 研究積分與路徑之間的關(guān)系 （一）單連通區(qū)域情形 單連通域 在其中作任何簡單閉合圍線，圍線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。 單連通區(qū)域的Cauchy 定理

3、 ：如果函數(shù) f(z) 在閉單連通區(qū)域 中單值且解析， 則沿 中任何一個分段光滑的閉合曲線 l (也可以是 的邊界 ), 函數(shù)的積分為零。,復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的Green公式:,試著證明 Cauchy 積分定理:,假定函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及其對x、y偏導(dǎo)數(shù)是閉合曲線 l 及所圍單通區(qū)域 S上的連續(xù)函數(shù)，則,因 f(z)在 上解析，因而 在 上連續(xù)， 對實(shí)部虛部分別應(yīng)用格林公式，將回路積分化成面積分,7,8,又u、v 滿足C-R條件,解：函數(shù) 根據(jù)Cauchy積分定理, 有,例 ：計(jì)算積分,推廣：若 f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域 上連續(xù)，則沿 上任一分段光滑閉合曲線 l (也可

4、以是 的邊界)，有,9,（二）復(fù)通區(qū)域情形,函數(shù)在區(qū)域上存在奇點(diǎn)，作一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線把這些奇點(diǎn)挖掉而形成的帶“孔”區(qū)域，即所謂的復(fù)通區(qū)域。,復(fù)連通區(qū)域的Cauchy 定理： 如果 f(z) 是閉復(fù)連通區(qū)域 中的單值解析函數(shù)，則,l 為外邊界線， li為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向。,證：作割線連接內(nèi)外邊界線，復(fù)通區(qū)域變成了單通區(qū)域， f(z)在這單通區(qū)域上解析，由單通區(qū)域Cauchy 定理，有,10,沿同割線兩邊緣上的積分值相互抵消,沿內(nèi)、外境界線逆時針方向積分相等。,11,柯西定理總結(jié)： 1. 若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域 上連續(xù)，則沿 上任一分段光滑閉合曲線l(也可以是 的邊

5、界)的積分為零； 2. 閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分為零； 3. 閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和.,12,由Cauchy 定理可推出: 在解析域中，積分路徑在保持兩端不動的前提下可連續(xù)變形(不跳過“孔”不解析的區(qū)域)。,故,12,2.3 不定積分（原函數(shù)）,F(z) 的性質(zhì)： (1) F(z) 在B上是解析的； (2) F (z)= f(z) 即 F(z) 是 f(z) 的一個原函數(shù)。,根據(jù) Cauchy 定理，若函數(shù) f(z) 在單連通區(qū)域 B上解析,則沿B上任一分段光滑曲線 l 的積分 只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而與

6、路徑無關(guān)。因此如果固定起點(diǎn) z0 而變化終點(diǎn) z, 可以定義一個以終點(diǎn)z為自變量的單值函數(shù)F(z):,13,原函數(shù)不是唯一的，原函數(shù)之間僅僅相差一復(fù)常數(shù)。,14,還可以證明(Newton-Leibniz 公式)：,例：求積分 ，其路徑為直線段。 解：由于 于全平面解析，故只要求出 f(z) 的任一個原函數(shù)即可.,15,例(p14):已知 解析函數(shù)實(shí)部 u=x2-y2 ,求 f(z),故,解：根據(jù)(p10),16,例(重要):計(jì)算積分( n 為整數(shù)）,(2)如果 l 包含 點(diǎn), 又要分兩種情況：,解：(1)如果 l 不包含 點(diǎn)，被積函數(shù)總解析,按柯西定理， I=0;,(a) n0, 因被積函數(shù)解

7、析, 故 I=0;,(b) n0,被積函數(shù)在l 內(nèi)有奇點(diǎn) ， 由柯西定理推論可知，l 可連續(xù)變形為以 為圓心而半徑為R的圓周C,在 C 上,17,(一) n-1,(二) n=-1,總結(jié)起來有,18,2.4 柯西（Cauchy）公式 解析函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，特殊性表現(xiàn)之一是，在解析區(qū)域各處的函數(shù)值并不相互獨(dú)立，而是密切相關(guān)，這種關(guān)聯(lián)的表現(xiàn)之一就是Cauchy 積分公式. (一)單連通域情形 若 f(z)在閉單通區(qū)域 上單值解析；l 為 的境界線，為 內(nèi)的任一點(diǎn),則有Cauchy 積分公式：,柯西積分公式的數(shù)學(xué)意義：一個解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值 f(z)所決定

8、。,19,證明： 由 p28（2.3.4）式,從而僅需證明,20,對右端值作一估計(jì),因,于是,（2.4.2）左端與 無關(guān)，故必有,21,如果 點(diǎn)在 內(nèi)任意變動，上式也成立。因此用z 代替 ，用代替z，將柯西公式改寫為,對復(fù)連通區(qū)域，（2.4.3）式仍成立只要將 l 理解成所有境界線，且均取正向.,22,如果 點(diǎn)在 內(nèi)任意變動，上式也成立。因此用z 代替 ，用代替z，將柯西公式改寫為,對復(fù)連通區(qū)域，（2.4.3）式仍成立只要將 l 理解成所有境界線，且均取正向.,一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。,23,（二）*無界區(qū)域的Cauchy積分公式 如果f(z) 在 l 外部解析，以z=

9、0為圓心，以充分大的半徑 R 作圓周CR ，使回路 l 包含于 內(nèi)，有：,24,（三）Cauchy 積分公式的重要推論（任意次可導(dǎo)?。?由于z為區(qū)域的內(nèi)點(diǎn),積分變數(shù) 在區(qū)域的境界線上, z- 0 ,積分號下的函數(shù) 在區(qū)域上處處可導(dǎo)，因此，可在積分號下對z求導(dǎo),反復(fù)在積分號下對z求導(dǎo)可得,解析函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)都存在,并且都是這個區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù).同樣，對于復(fù)通區(qū)域，將 l 理解為所有境界線,且取正向.,25,例 計(jì)算積分 I, 其中 l 為不經(jīng)過點(diǎn) 0 和 1 的正向曲線。 解： (1) 如果 0 和 1 都不在l 中，則被積函數(shù)解析，因 此, 由 Cauchy 定理得 I=0;,26,（3）若僅 1 在 l內(nèi),27,而在 l0 上及l(fā)0 包圍的圓內(nèi) f0(z) 解析，同樣，在 l1