線性代數(shù)（第五版）課件：3-1 矩陣的初等變換

1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組,知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則,結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）,結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）,設(shè),用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：,(1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；,(2) 系數(shù)行列式不等于零.,線性方程組的解受哪些因素的影響？,1 矩陣的初等變換,一、初等變換的概念 二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系 四、初等變換的應(yīng)用,引例：求解線性方程組,一、矩陣的初等變換,2,2,3, 2,5,3,2,取 x3

2、為自由變量，則,令 x3 = c ，則,恒等式,三種變換：,交換方程的次序，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作 ；,一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,結(jié)論： 由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解. 在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算,定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：,對(duì)調(diào)兩行，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,初等

3、變換,初等行變換,初等列變換,增廣矩陣,結(jié)論： 對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.,B5 對(duì)應(yīng)方程組為,令 x3 = c ，則,備注,帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“ = ”例如： 矩陣加法 數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)） 方陣的行列式| 不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“”例如： 初等行變換 初等列變換,有限次初等行變換,有限次初等列變換,行等價(jià)，記作,列等價(jià)，記作,二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系,有限次初等變換,矩陣 A 與矩陣 B 等價(jià)，記作,矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)： 反身性 ； 對(duì)稱性 若 ，則 ； 傳遞性 若 ，則 ,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零；

4、 每個(gè)臺(tái)階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣： 左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參 數(shù)完全確定，其中 r 就是行階 梯形矩陣中非零行的行數(shù).,三者之間的包含關(guān)系,任何矩陣,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,結(jié)論,定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣.,三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣. 對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）； (2)以常數(shù) k0 乘單位

5、陣的某一 行（列）； (3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） ,三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系,(1) 對(duì)調(diào)單位陣的第 i, j 行（列），,記作 E5(3, 5),記作 Em( i, j ),(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列），,記作 E5(3(5),記作 Em(i(k),(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k),記作 Em(ij(k),以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列,?,兩種理解！,結(jié)論,把矩陣A的第 i 行與第 j 行對(duì)調(diào)，即 .,把矩陣A的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即

6、 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .,把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .,把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .,性質(zhì)1 設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣， 對(duì) A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣； 對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.,口訣：左行右列.,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,?,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,初等矩陣的逆矩陣,初等矩陣的逆矩陣是：,?,性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣. 其實(shí)，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣