幾何與代數(shù)課件：lec14-向量組的線性相關(guān)性

1、,幾何與代數(shù),2010年國(guó)家級(jí)精品課程,教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配,第四章 n維向量,問題式預(yù)習(xí)及思考題,1. 線性相關(guān)和線性無關(guān)的充要條件分別有哪些？,2. 證明一組向量線性無關(guān)的常用方法有哪些？,3. 線性相關(guān)和線性無關(guān)還有哪些性質(zhì)？,思考題,請(qǐng)證明滿足“各行和=各列和”的魔方集合也構(gòu)成一個(gè)向量空間，再列舉出它的幾個(gè)子空間，即把和相等的限制再增強(qiáng)一些。,能否將魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？,令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,(1) 10維魔方空間U：R=C,令H為主對(duì)角線和，N為付對(duì)角線和(類似于行列式的對(duì)角線法則),R=C=H=N,(4) 泛對(duì)角方的向量空間B:,和為46.,魔方

2、空間的子空間,(2) 8維魔方空間Q：R=C=D,(3) Drer魔方空間D：R=C=D=S,能否將魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？,令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和,(1) 10維魔方空間U：R=C,R=C=H=N,(4) 泛對(duì)角方的向量空間B:,魔方空間的子空間,(2) 8維魔方空間Q：R=C=D,(3) Drer魔方空間D：R=C=D=S,(5) 要求所有數(shù)都相等:,向量空間G = rI,rR， 其中I是一個(gè)全1的矩陣.,(6) 特別的，要求所有數(shù)都為0：,向量空間 O,O, G, B, D,魔方空間,維 數(shù),0, 1, 5, 7, Q, U, 8, 10,零向量可被任意一

3、組向量線性表示,例3,第四章 n維向量,4.1 n維向量空間, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,都有零解,與,的共同點(diǎn)：,的不同點(diǎn)：,(1)只有零解，,(2)還有非零解, r(e1, e2, e3)=3，, r(1, 2, 3)3，,零向量可被任意一組向量線性表示,例3,第四章 n維向量,4.1 n維向量空間, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,與,(1)只有零解，,(2)有非零解,線性相關(guān).,存在一組不全為零的數(shù) y1, y2, y3, 使得,只有在 x1 = x2 = x3= 0 時(shí)才成立., r(e1, e2, e3)=3，, r(1

4、, 2, 3)3，, 能由向量組 I:1,s唯一的線性表示, r(A)=r(A,) = s, Ax = 有唯一解.,向量組的線性表示與線性相關(guān)的聯(lián)系, 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, r(A)=r(A,) s, Ax = 有無窮多解., 能由向量組 I:1,s唯一的線性表示, Ax = 只有零解, 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, Ax = 有非零解, r(A) s,1,s線性相關(guān), r(A) = s,1,s線性無關(guān),4.2 向量組的線性相關(guān)性,向量組1,s-1,s線性相關(guān), 存在一組不全為零的數(shù)x1, x2, , xs, 使得 x11+x22+xs-1s-1+ xss=,一

5、. 線性相關(guān)與線性無關(guān),第四章 n維向量,4.2 線性組的線性相關(guān)性,(ARns),=向量個(gè)數(shù), 能由向量組 I:1,s不唯一的線性表示, (1,s) x = Ax = 有非零解, r(A) s,(linearly dependent 則,例5. 判斷下列命題是否正確：,錯(cuò)。只有零解，而不是有零解。,錯(cuò)。如：,對(duì)。,時(shí)有,同理,任意,錯(cuò)。兩組的組合系數(shù)不一定相同。,錯(cuò)。 不一定是哪一個(gè)向量可由其余向量線性表示。,例6. 判斷下列命題是否正確：,(4) 若向量組 線性相關(guān)且s2，則s可由 線性表示.,(5) 若向量組 線性相關(guān)， 線性相 關(guān)， 則有不全為0的數(shù) 使 且,解：（4）是正確的。,其中 不全為0.,作業(yè)、問題式預(yù)習(xí)及思考題,1. 什么是向量組的極大無關(guān)組和秩？,2. 向量組等價(jià)關(guān)系下的不變量和最簡(jiǎn)形是什么？,3. 向量組的秩有哪些性質(zhì)？,二. (A) 1(2,3) 2(1,2,3) (B) 6,7,8,10,1