大物練習(xí)答案

1、1,課程指導(dǎo)課四 第4章 振動(dòng) 4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述 4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 4.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 4.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 4.5 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,教師：鄭采星,大學(xué)物理,2,基本要求,教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式,第4章振動(dòng),掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其特征量（頻率、周期、振幅和周相），掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。能建立諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。理解諧振動(dòng)的能量。了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振。掌握同方向同頻率諧振動(dòng)的合成。了解同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成，相互垂直的諧振動(dòng)的合成。了解頻譜分析。,1. 振動(dòng)、簡(jiǎn)諧振動(dòng),任何物理量在某值附近變化都稱振動(dòng)。,簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦

2、(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量（振幅、周期、頻率和相位）,振幅 A,周期T 和頻率,相位,初相位,3,諧振動(dòng)微分方程,該方程的通解可寫為：,A和0由初始條件確定,動(dòng)力學(xué)分析：,物體所受的力F跟位移x正比反向，物體作諧振動(dòng)。,物體的加速度跟位移正比反向，物體作諧振動(dòng)。, 固有(圓)頻率，由系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)所決定。,4,2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 (以水平彈簧振子為例),動(dòng)能,勢(shì)能,系統(tǒng)總的機(jī)械能：,簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒,3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,(1)兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 合振動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其頻率與分振動(dòng)的頻率相同。,若兩分振動(dòng)同相 20 10 =2k ( k = 0,1,2, )

3、 則A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng),若兩分振動(dòng)反相 20 10 =(2k+1) ( k = 0,1,2, ) 則A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)相互減弱,5,(2)同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率1和2很接近，合成產(chǎn)生拍現(xiàn)象。,拍頻: 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù),(3)兩個(gè)同頻率相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,合運(yùn)動(dòng)一般一個(gè)橢圓。,(4)方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比，合運(yùn)動(dòng)軌跡稱為李薩如圖形。,兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：,6,1. 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T當(dāng)它由平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為 (A)

4、T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4 ,旋轉(zhuǎn)矢量法,首先畫出二分之一最大位移處旋轉(zhuǎn)矢量圖，,然后，再畫最大位移處旋轉(zhuǎn)矢量圖。,設(shè)所求的時(shí)間為t，則有,C,7,2. 如圖所示，質(zhì)量為m的物體，由勁度系數(shù)為k1和k2的兩個(gè)輕彈簧連接到固定端，在水平光滑導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為,(A) (B) (C) (D), ,D,彈簧(上)可視為 兩彈簧(下)的串聯(lián),8,設(shè)2個(gè)彈簧的彈性系數(shù)分別為k1，k2，他們的伸長量分別是x1和x2， 那么有關(guān)系：,而同一根繩子上的張力相等，也就是說2個(gè)彈簧中的張力相等，即有：,聯(lián)立2式，可解出：,對(duì)于等效的k，有,所以,9,3. 一質(zhì)點(diǎn)作

5、簡(jiǎn)諧振動(dòng)其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如圖所示若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相應(yīng)為 (A) p/6 (B) 5p/6 (C) -5p/6 (D) -p/6 (E) -2p/3,答案：(C),參考解答：,令簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式：,對(duì) t 求導(dǎo)數(shù)得速度表達(dá)式：,在本題中，,考慮,即,10,4. 一物塊懸掛在彈簧下方作簡(jiǎn)諧振動(dòng),當(dāng)這物塊的位移等于振幅的一半時(shí),其動(dòng)能是總能量的_（設(shè)平衡位置處勢(shì)能為零）當(dāng)這物塊在平衡位置時(shí)，彈簧的長度比原長長Dl，這一振動(dòng)系統(tǒng)的周期為_,3/4，,位移等于振幅的一半時(shí),11,5. 圖中所示為兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線若以余弦函數(shù)表示這兩個(gè)振動(dòng)的合成結(jié)果，則合振動(dòng)的方程為x =

6、 x1+ x2 = _(SI),設(shè)：,同理：,12,6. N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為0, , 2, ., 依次差一個(gè)恒量 ，求合振動(dòng)的振幅。,設(shè)單縫處的波陣面分成N個(gè)（N為很大的數(shù)）等寬的面元（垂直于畫面）。,假設(shè)每一個(gè)面元在P點(diǎn)引起的光波振幅為，根據(jù)多個(gè)等幅同頻振動(dòng)的合振幅公式，可以分析單縫衍射光強(qiáng)分布，,為光柵衍射光強(qiáng)分布奠定了基礎(chǔ)；也可以說是為光的衍射定量分析提供了一種巧妙的方法。,遷移與應(yīng)用,13,N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為0, , 2, ., 依次差一個(gè)恒量 ，振動(dòng)表達(dá)式可寫成,采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡(jiǎn)化，從而避開煩瑣的

7、三角函數(shù)運(yùn)算。,根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：,多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。 合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵!,14,因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為a,上圖中各個(gè)矢量 的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以C為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得,15,在三角形DOCM中,OM 的長度就是合振動(dòng)的振幅A,角度MOX就是合振動(dòng)的初相，據(jù)此得,考慮到,16,7. 分別敲擊某待測(cè)音叉和標(biāo)準(zhǔn)音叉，使它們同時(shí)發(fā)音，聽到時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍音若測(cè)得在20 s內(nèi)拍的次數(shù)為180次，標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為300 Hz，則待測(cè)音叉的頻率為_,拍頻: 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次

8、數(shù),8. 圖為兩個(gè)互相垂直的諧振動(dòng)合成運(yùn)動(dòng)的軌跡若 且動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向如圖所示，則y = _,查閱教材李薩如圖形，為,17,對(duì)結(jié)果進(jìn)行核對(duì),18,9. 一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10 cm求： (1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率,解：,可知,(1) 以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸指向右方,t = 0時(shí)，,t = 2s時(shí)，,由上二式解得,因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以,A和B所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn) 矢量在同一直線上。,1

9、9,9. 一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10 cm求： (1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率,解：,t = 0時(shí)，, 振動(dòng)方程,(2) 速率,當(dāng)t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn),20,10如圖1所示，一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如圖所示設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動(dòng)，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手

10、，證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求出其角頻率,解：取如圖x坐標(biāo)，平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正，m在平衡位置時(shí)彈簧已伸長x0,設(shè)m在x位置，分析受力, 這時(shí)彈簧伸長,由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：,聯(lián)立解得,由于x系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率為,21,1. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相0是不是一定指它開始振動(dòng)時(shí)刻的位相？,參考解答： 對(duì)于一個(gè)振幅和周期已定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，用數(shù)學(xué)公式表示時(shí)，由于選作原點(diǎn)的時(shí)刻不同，0值就不同。,例如，選物體到達(dá)正向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，0則值等于零；,如果選物體到達(dá)負(fù)向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，0則等于。,由于0是由對(duì)時(shí)間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以把它叫做振動(dòng)的初相。 簡(jiǎn)諧

11、振動(dòng)的初相不是一定指它開始振動(dòng)時(shí)刻的位相。,研討題,22,任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量， 彈簧振子的振動(dòng)周期將變大還是變小？,變大,變小,參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大則周期越大。因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的周期肯定會(huì)變大。,若振子的質(zhì)量為M，彈簧的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，可以計(jì)算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為,研討題,23,解：平衡時(shí)0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，速度為v.,設(shè)此時(shí)彈簧的長度為L,彈簧元dl的質(zhì)量,位移為：,x,例：勁度系數(shù)為k、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。( m M ),設(shè)彈簧各等長小段變形相同，位移是線性規(guī)律,速度為：,彈簧動(dòng)能：,物體動(dòng)能：,系統(tǒng)彈性勢(shì)能為,24,例：勁度系數(shù)為k、