幾種特殊形式的光波.ppt

1、,上節(jié)課的內(nèi)容：光波與電磁波 麥克斯韋方程組,1.2 幾種特殊形式的光波 (Several light waves with special forms ),3. 柱面光波 (Cylindrical light wave),上節(jié)得到的交變電場 E 和交變磁場 H 所滿足的波動(dòng)方程，可以表示為如下的一般形式：,1.2 幾種特殊形式的光波,這是一個(gè)二階偏微分方程，根據(jù)邊界條件的不同，解的具體形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束。,首先說明，光波中包含有電場矢量和磁場矢量，從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從光與介質(zhì)的相互作用來看，其作用不同。 在通常應(yīng)用的情況下

2、，磁場的作用遠(yuǎn)比電場弱，甚至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量 E 稱為光矢量，把電場 E 的振動(dòng)稱為光振動(dòng)，在討論光的波動(dòng)持性時(shí)，只考慮電場矢量 E 即可。,1. 平面光波 (Plane light wave),1）波動(dòng)方程的平面光波解,在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯算符的表示式為,為簡單起見，假設(shè) f 不含 x、y 變量，則波動(dòng)方程為,1. 平面光波 (Plane light wave),1）波動(dòng)方程的平面光波解,為了求解波動(dòng)方程，先將其改寫為,令,可以證明,1）波動(dòng)方程的平面光波解,因而，上面的方程變?yōu)?求解該方程，f 可表示為,對于式中的 f1 (z - t)，(z - t)為常數(shù)的點(diǎn)都

3、處于相同的振動(dòng)狀態(tài)。如圖所示，t0 時(shí)的波形為 I，tt1時(shí)的波形相對于波形 I 平移了 t1 , 。,1）波動(dòng)方程的平面光波解,f1(z - t) 表示的是沿 z 方向、以 速度傳播的波。類似地，分析可知 f2(z + t) 表示的是沿 - z 方向、以速度 傳播的波。,波陣面：將某一時(shí)刻振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連接起來，所組成的曲面叫波陣面。由于此時(shí)的波陣面是垂直于傳播方向 z 的平面，所以 fl 和 f2 是平面光波。,1）波動(dòng)方程的平面光波解,在一般情況下，沿任一方向 k、以速度 v 傳播的平面波，如右圖所示。,1）波動(dòng)方程的平面光波解,2）單色平面光波,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,(2

4、0)式是波動(dòng)方程在平面光波情況下的一般解形式，根據(jù)具體條件的不同，可以采取不同的具體函數(shù)表示。最簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式，即,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,若只計(jì)沿+ z 方向傳播的平面光波，其電場表示式為,這就是平面簡諧光波的三角函數(shù)表示式。式中，e 是 E 振動(dòng)方向上的單位矢量。,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,所謂單色，即指單頻。一個(gè)單色平面光波是一個(gè)在時(shí)間上無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動(dòng)，在時(shí)間、空間中均具有周期性。 其時(shí)間周期性用周期（T）、頻率（v）、圓頻率（）表征，而由（21）式形式的對稱性，其空間周期性可用 、1/ 、k 表征，并分別可以稱為空間周期、空間頻率和

5、空間圓頻率。,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,單色平面光波的時(shí)間周期性與空間周期性密切相關(guān),并由 v / 相聯(lián)系。,為便于運(yùn)算，經(jīng)常把平面簡諧光波的波函數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式。,例如，可以將沿 z 方向傳播的平面光波寫成,采用這種形式，就可以用簡單的指數(shù)運(yùn)算代替比較繁雜的三角函數(shù)運(yùn)算。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,例如，在光學(xué)應(yīng)用中，經(jīng)常因?yàn)橐_定光強(qiáng)而求振幅的平方 E20，對此，只需將復(fù)數(shù)形式的場乘以它的共軛復(fù)數(shù)即可，,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，任意描述真實(shí)存在的物理量的參量都應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)，在這里采用復(fù)數(shù)形式只是數(shù)學(xué)上運(yùn)算方便的需要。,由于對（22）式取實(shí)部即為（21）式所示的函數(shù)

6、，所以，對復(fù)數(shù)形式的量進(jìn)行線性運(yùn)算，只有取實(shí)部后才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進(jìn)行同樣運(yùn)算得到相同的結(jié)果。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,此外，由于對復(fù)數(shù)函數(shù) exp-i(t-kz)與expi(t-kz) 兩種形式取實(shí)部得到相同的函數(shù)，所以對于平面簡諧光波，采用，exp-i(t-kz)和expi(t-kz)兩種形式完全等效。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,exp-i(t-kz),expi(t-kz),（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,對于平面簡詣光波的復(fù)數(shù)表示式，可以將時(shí)間相位因子與空間相位因子分開來寫：,式中,稱為復(fù)振幅。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,若考慮場強(qiáng)的初相位，復(fù)振幅為,復(fù)振幅

7、表示場振動(dòng)的振幅和相位隨空間的變化。在許多應(yīng)用中，由于 exp(-it) 因子在空間各處都相同，所以只考察場振動(dòng)的空間分布。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,進(jìn)一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢 k 方向傳播,則其三角函數(shù)形式和復(fù)數(shù)形式表示式分別為,相應(yīng)的復(fù)振幅為,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,在信息光學(xué)中，經(jīng)常遇到相位共扼光波的概念。所謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的復(fù)振幅之間是復(fù)數(shù)共軛的關(guān)系。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,假設(shè)有一個(gè)平面光波的波矢量 k 平行于 xOz 平面，在 z0 平面上的復(fù)振幅為,式中的 為 k 與 z 軸的夾角。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,則相應(yīng)的相位

8、共扼光波復(fù)振幅為,此相位共軛光波是與 波來自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于 xOz 平面，與 z 軸夾角為- 。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,此相位共軛光波是與 波來自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于 xOz 平面，與 z 軸夾角為- 。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,如果對照（30）式，把（28）式的復(fù)數(shù)共扼寫成,則這個(gè)沿 -k 方向，即與 波反向傳播的平面光波也是其相位共扼光波。,（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示,一個(gè)各向同性的點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面。,2. 球面光波 (Spherical light wave),球

9、面光波所滿足的波動(dòng)方程仍然是（18）式，只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動(dòng)方程僅與 r 有關(guān)，與坐標(biāo) 、 無關(guān)，所以球面光波的振幅只隨距離 r 變化。若忽略場的矢量性，采用標(biāo)量場理論，可將波動(dòng)方程表示為,式中， 。,2. 球面光波 (Spherical light wave),對于球面光波，利用球坐標(biāo)討論比較方便。此時(shí)，（32）式可表示為,2. 球面光波 (Spherical light wave),即,因而其解為,f1 (r -t) 代表從原點(diǎn)沿 r 正方向向外發(fā)散的球面光波， f2 (r +t) 代表向原點(diǎn)傳播的會(huì)聚球面光波。球面波的振幅隨 r 成反比例變化。,2. 球面光波 (Spher

10、ical light wave),其復(fù)數(shù)形式為,最簡單的簡諧球面光波單色球面光波的波函數(shù)為,復(fù)振幅為,上面三式中的 A1 為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅值。,2. 球面光波 (Spherical light wave),一個(gè)各向同性的無限長線光源，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸展開的同軸圓柱面，如圖所示。,3. 柱面光波 (Cylindrical light wave),柱面光波所滿足的波動(dòng)方程可以采用以 z 軸為對稱軸、不含 z 的圓柱坐標(biāo)系形式描述：,式中， 。這個(gè)方程的解形式比較復(fù)雜，此處不詳述。但可以證明，當(dāng) r 較大（遠(yuǎn)大于波長）時(shí)，其單色柱

11、面光波的表示式為,3. 柱面光波 (Cylindrical light wave),復(fù)振幅為,可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。,3. 柱面光波 (Cylindrical light wave),由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。 在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應(yīng)用最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可參閱激光原理教科書。,4. 高斯光束 (Gaussian beams),從求解波動(dòng)方程的觀點(diǎn)看，基模高斯光束仍是

12、波動(dòng)方程（18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是以 z 軸為柱對稱的波，其表達(dá)式內(nèi)包含有 z，且大體朝著 z 軸的方向傳播。,4. 高斯光束 (Gaussian beams),考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用圓柱坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程形式：,其解的一般函數(shù)形式為,可以證明，下面的表達(dá)式滿足上述波動(dòng)方程：,4. 高斯光束 (Gaussian beams),式中 E0 常數(shù)，其余符號的意義為,4. 高斯光束 (Gaussian beams),這里，0=(z = 0) 為基模高斯光束的束腰半徑； f 為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長度； R(z) 為與傳播軸線相交于 z 點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半

13、徑；(z) 是與傳播軸線相交于 z 點(diǎn)高斯光束等相位面上的光斑半徑。,4. 高斯光束 (Gaussian beams),(42) 式的波場就是基模高斯光束的標(biāo)量波形式，由它可以研究：,4. 高斯光束 (Gaussian beams),（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布按照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑地下降，如圖所示。,4. 高斯光束 (Gaussian beams),由中心振幅值下降到 1/e ( 1/2.718281828459=0.3678)點(diǎn)所對應(yīng)的寬度，定義為光斑半徑。,（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布,可見，光斑半徑隨著坐標(biāo) z 按雙曲線的規(guī)律擴(kuò)展

14、，即,在 z0 處，(z)=0，達(dá)到極小值，稱為束腰半徑。,（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布,由（45）式可見，只要知道高斯光束的束腰半徑0 ，即可確定任何 z 處的光斑半徑.0 是由激光器諧振腔決定的, 改變激光器諧振腔的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì), 即可改變0 值.,（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布,(2) 基模高斯光束場的相位因子,決定了基模高斯光束的空間相移特性。,(2) 基模高斯光束場的相位因子,(a) kz 描述了高斯光束的幾何相移； (b) arctan(z/f ) 描述了高斯光束在空間行進(jìn)距離 z 處、 相對于幾何相移的附加相移； (c) 因子 kr2/(2R(z) 則表示與橫向坐標(biāo) r 有關(guān)的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z) 為半 徑的球面。,（2）基模高斯光束場的相位因子,R(z) 隨 z 的變化規(guī)律為,（2）基模高斯光束場的相位因子,可見： 當(dāng) z0 時(shí)，R(z)，表明束腰所在處的等相位 面為平面； 當(dāng) z 時(shí)，R(z)z，表明離束腰無限遠(yuǎn) 處的等相位面亦為平面，且曲率心就在束腰處； 當(dāng) zf 時(shí)，R(z)2f，達(dá)到極小值；,（2）基模高斯光束場的相位因子,當(dāng) 0zf 時(shí)，R(z)2f，表明等相位面的曲率中 心在（，f）區(qū)間上； 當(dāng) zf 時(shí)，zR(z)zf，表