復(fù)變函數(shù)教學(xué)資料31

1、3.1 多維隨機變量,的聯(lián)合分布函數(shù).,為 維隨機變量(或 維隨機向量).,相應(yīng)地,稱 元函數(shù),為該 維隨機變量的分布函數(shù),或,矩形內(nèi)的概率.,合分布函數(shù).,特別地，當(dāng) 時,稱 為二維隨機,變量,對任意實數(shù) 稱二元函數(shù),為二維隨機變量 的分布函數(shù),或 的聯(lián),同時發(fā)生的概率.如果將 解釋為,坐標(biāo)平面上的隨機點坐標(biāo),則 即是對應(yīng)點,落在以點 為頂點的左下方(包括邊界)的,成立;,(2)對 和 都是右連續(xù)的，即,或簡記為,對于二維隨機變量,我們?nèi)苑譃殡x散型與連續(xù)型兩種情況來討論.,一、二維離散型隨機變量及其分布,稱相應(yīng)的概率,分布列.,定義 設(shè)二維隨機變量 可能取值為,為 的分布列，或 的聯(lián)合,對二

2、維隨機變量 ,如果 和 都是離散型隨機變量，則稱 是二維隨機變量.,的分布列也可由以下矩形表格表示:,的可能取值，從而成立,反之，如果某非負數(shù)列,滿足 則它定可作為某二維離散型隨機變量的分布列。,解 可能取值為,由乘法原理，得：,例1 袋中裝有四個球,上面依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3.從袋中任取一球后不放回的再取一球,假設(shè)每次取球時袋中各球被取到的可能性相同,以 表示第一次和第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字.求 的分布列.,類似可得：,從而所求的分布列為：,二、二維連續(xù)型隨機變量及其分布,如果存在一非負可積的二元函數(shù),反之,若某二元函數(shù)滿足以上兩條性質(zhì),則它一定可作為某二維連續(xù)型隨機變量的概率密度.,

3、聯(lián)合概率密度.它滿足:,則稱 是二維連續(xù)型隨機變量.相應(yīng)的二,容易證明，在 的連續(xù)點：,即 取值落入 中的概率為以 為底,以 為頂?shù)那斨w體積.,并且 取值落入 平面上某區(qū)域 內(nèi)的概率為,例2 二維隨機變量 的概率密度為,試求(1) 常數(shù) 的值；,（3） 的分布函數(shù).,解 （1）由概率密度的性質(zhì)：,從而,（3）由分布函數(shù)的定義，,當(dāng) 或 時， 從而,當(dāng) 且 時， 從而,(2) 取值落入 中的概率為：,從而所求的分布函數(shù)為：,下面我們介紹兩個常見的二維分布.,例3 設(shè) 是平面上的有界區(qū)域，其面積為 若二維隨機變量 具有概率密度:,則稱 在 上服從均勻分布。,的面積成正比，而且與 的形狀及位置無關(guān)。,向平面上有界區(qū)域 上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在 內(nèi)任一小區(qū)域 的概率與小區(qū)域,例4 甲乙兩人各自在0,1區(qū)間上隨機取數(shù),求甲所取數(shù)超過乙所取數(shù)兩倍的概率。,上的均勻分布,從而所求概率為:,解 用 表示甲所取的數(shù), 表示乙所取的數(shù),則 服從正方形區(qū)域,若二維隨機變量 具有概率密度：,記作：,密度函數(shù)圖形體積為1,均勻分布與正