復(fù)變函數(shù)教學(xué)資料21

1、第2章 一維隨機(jī)變量及其分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),第一節(jié) 隨機(jī)變量,2.1.1 隨機(jī)變量的定義,在上一章中，我們研究了隨機(jī)事件與概率,的一些基本概念和理論。為了更深入地研究隨,機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示其相應(yīng)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì),規(guī)律性，從本章起，我們將引進(jìn)隨機(jī)變量的概,念。其基本想法是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，,即用一個(gè)變量來(lái)描述試驗(yàn)的結(jié)果。先看下面,的例子。,其中 表示“出現(xiàn)正面”， 表示“出現(xiàn)反面”,這個(gè)結(jié)果與數(shù)似乎沒(méi)有關(guān)系，但按照上述的,基本想法。我們可以用下面的方法使其與數(shù),聯(lián)系起來(lái)：,這就相當(dāng)于引入一個(gè)定義在樣本空間 上的,函數(shù) 。由它的取值依賴(lài)樣本點(diǎn)，而,哪一個(gè)樣本點(diǎn)（基本結(jié)果）在試驗(yàn)中出現(xiàn)是,

2、隨機(jī)的，因此常稱(chēng) 為隨機(jī)變量。,例2 觀察某電話(huà)交換臺(tái)在給定的時(shí)間,段 內(nèi)接到的呼喚次數(shù),這個(gè)隨機(jī)事件的樣本空間為,記時(shí)間 內(nèi)接到的呼喚次數(shù)，就引入一,變量 ，它仍然可以看作定義在 上的函數(shù)：,它依樣本點(diǎn)的不同而取不同值 0，1，2.,這里的試驗(yàn)結(jié)果本身就是數(shù)值。我們?nèi)粢?例3 等可能的向區(qū)間 上投擲一,其中， 表示“在時(shí)間 內(nèi)接到 次呼喚”,這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,每個(gè)樣本點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著區(qū)間 上的某一實(shí)數(shù),其中， 表示“落點(diǎn)的坐標(biāo)”。顯然，這里的,，我們以 記落點(diǎn)的位置，這就引入了一,個(gè)變量 ，它仍可以看做定義在 的函數(shù)：,質(zhì)點(diǎn),觀察落點(diǎn)的位置。,滿(mǎn)了區(qū)間 。,從上面三例看到，不論樣本空間的樣

3、本,點(diǎn)是否與數(shù)值有關(guān)，我們都可以建立起它,們與某些數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將其,數(shù)量化。由上面各例分析，可歸納出如下,隨機(jī)變量的定義。,它也是一個(gè)隨機(jī)變量，它所有可能取的值充,定義1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為 ，其樣本空間為,，如果對(duì)于每個(gè) ，都有一個(gè)實(shí)數(shù),和它對(duì)應(yīng)，于是就得到一個(gè)定義在 上的實(shí),單值函數(shù) ，稱(chēng) 為隨機(jī)變量。習(xí)慣上,以大寫(xiě)字母 ， ， ，等表示隨機(jī)變量。,上述定義并不是隨機(jī)變量的嚴(yán)格定義，還要,求:對(duì)任意的 ， 為事件， 即是,第1章所說(shuō)事件域中的元素，這樣才能研究,其概率。還該注意，隨機(jī)變量作為定義在,上的函數(shù)，其值域是某個(gè)實(shí)數(shù)集，但其定義,域卻未必是一個(gè)實(shí)數(shù)集，因?yàn)榻M成樣本空間,的元素

4、不一定是數(shù)。,由上述定義可見(jiàn)，隨機(jī)變量 的取值由,隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而確定，從而它具有如下特,征:一是它的取值帶有隨機(jī)性；二是 取各個(gè),值有一定的概率，今后對(duì)隨機(jī)變量的討論總,是從兩方面進(jìn)行的，即不但要知道它取哪些,值而且要知道它以多大的概率取這些值。,以后，隨機(jī)事件即可用隨機(jī)變量滿(mǎn)足某關(guān)系,對(duì)所考察的隨機(jī)現(xiàn)象，當(dāng)引入隨機(jī)變量,如：,系式，它將表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象中的某個(gè)事件，比,式來(lái)描述，反之，給出隨機(jī)變量 滿(mǎn)足某關(guān),例1中， 表示該試驗(yàn)中“正面向上”,事件，反之，事件“反面向上”則可用,來(lái)表示 。,到呼喚次數(shù)不少于5次”的事件， 可用隨機(jī)變,例2中，電話(huà)交換臺(tái)“在 時(shí)間段內(nèi)接,量 滿(mǎn)足的關(guān)系式 表示。,注 為 的簡(jiǎn)寫(xiě)， 為,的簡(jiǎn)寫(xiě)。事件都是 的子集。,2.1.2 分布函數(shù)的定義,的概率為：,定義 2 設(shè) 為一隨機(jī)變量，對(duì)任意,實(shí)數(shù) ，隨機(jī)變量 取值落入?yún)^(qū)間 內(nèi),稱(chēng) 為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)。,顯然，對(duì)任意 ， 。且對(duì)任意,， 取值在 中的概率為 取值在,分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：,也