高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)問題的題型與方法

1、第7講 概率與統(tǒng)計(jì)問題的題型與方法（4課時(shí)）一、考試內(nèi)容離散型隨機(jī)變量的分布列，離散型隨機(jī)變量的期望值和平方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計(jì)，線性回歸。二、考試要求了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列。 了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差。 會(huì)用抽機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。 會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。 了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。 了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。 會(huì)根據(jù)樣本的特征數(shù)估計(jì)總體。 了解線性回歸的方法。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 了解典型分布列：01

2、分布，二項(xiàng)分布，幾何分布。2 了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差。3 在實(shí)際中經(jīng)常用期望來比較兩個(gè)類似事件的水平，當(dāng)水平相近時(shí)，再用方差比較兩個(gè)類似事件的穩(wěn)定程度。4 了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。5 了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式及其應(yīng)用。6 通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。7 了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點(diǎn)圖等概念，會(huì)求回歸直線方程。8 了解相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式及其意義，會(huì)用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。9 了解相關(guān)性檢驗(yàn)的方法與步驟，會(huì)用相關(guān)性檢驗(yàn)方法進(jìn)行

3、檢驗(yàn)。四、雙基透視隨機(jī)事件和統(tǒng)計(jì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)：隨機(jī)事件和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容提要1主要內(nèi)容是離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布和線性回歸。2隨機(jī)變量的概率分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布列：P兩條基本性質(zhì))；P1+P2+=1。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布：由頻率分布直方圖，估計(jì)總體分布密度曲線y=f(x)；總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：f(x) 0(xR)；由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（1）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：；反映隨機(jī)變量取值的平均水平。（2）離散型隨機(jī)變量的方差：；反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度。（3）基本性

4、質(zhì)：；。4三種抽樣方法。5二項(xiàng)分布和正態(tài)分布（1）記是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則B（n，p）；其概率。期望E=np，方差D=npq。（2）正態(tài)分布密度函數(shù)：期望E=，方差。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則，。6線性回歸：當(dāng)變量x取值一定時(shí)，如果相應(yīng)的變量y的取值帶有一定的隨機(jī)性，那么就說變量y與x具有相關(guān)關(guān)系。對于它們的一組觀測值來說，如果與之相應(yīng)的在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)大體上集中在一條直線的附近，就說變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)用來檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著水平，通常通過查表取顯著水平0.05自由度n-2的，若為顯著；否則為不顯著。離散型隨機(jī)變量的分布列隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以

5、用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量最常見的兩種類型，即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的分布列：如果離散型隨機(jī)變量的可能取值為xi（i1，2，），由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，于是隨機(jī)變量取每一個(gè)值也有一定的概率P（xi）pi，人們常常習(xí)慣地把它們寫成表格的形式，如：x1x2xiPp1p2pi這種表即為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱為的分布列。分布列的表達(dá)式可有如下幾種：（1）表格形式；（2）一組等式；

6、（3）壓縮為一個(gè)帶“i”的等式。1在實(shí)際問題中，人們常關(guān)心隨機(jī)變量的特征，而不是隨機(jī)變量的具體值。離散型隨機(jī)變量的期望和方差都是隨機(jī)變量的特征數(shù)，期望反映了隨機(jī)變量的平均取值，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位。2離散型隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算公式設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為P（xi）pi，i1，2，則：Ei pi，DiE)2 pii2 pi(E)2E(2)(E)2。3離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)E (ab)aEb，D (ab)a2 D。4二項(xiàng)分布的期望與方差若B (n，p)，則Enp，Dnp (1p)。抽樣方法三種常用抽樣方法

7、：1簡單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N。如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。實(shí)現(xiàn)簡單隨機(jī)抽樣，常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法。2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（1）將總體中的個(gè)體編號(hào)；（2）將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段；（3）確定起始的個(gè)體編號(hào)；（4）抽取樣本。3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，

8、其中所分成的各部分叫做層?？傮w分布的估計(jì)總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布。總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：， 式中的實(shí)數(shù)、(0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)總體是有無限容量的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(，2)。的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)中，當(dāng)=0，=1時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是， 相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個(gè)總體的分布時(shí)，往往總是從總體中抽取一個(gè)樣本，并用樣本的頻率

9、分布去估計(jì)總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時(shí)，頻率分布直方圖就會(huì)演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線?？梢灾?，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。1正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則

10、這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測量的誤差；炮彈落點(diǎn)的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述，另外，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。2正態(tài)曲線及其性質(zhì)對于正態(tài)分布函數(shù)：，x（-，+）由于中學(xué)知識(shí)范圍的限制，不必去深究它的來龍去脈，但對其函

11、數(shù)圖像即正態(tài)曲線可通過描點(diǎn)（或計(jì)算機(jī)中的繪圖工具）畫出課本圖1-4中的圖（1）、（2）、（3），由此，我們不難自己總結(jié)出正態(tài)曲線的性質(zhì)。3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，它是本小節(jié)的重點(diǎn)。由于它具有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。對于抽像函數(shù)，課本中沒有給出具體的表達(dá)式，但其幾何意義非常明顯，即由正態(tài)曲線N（0，1）、x軸、直線所圍成的圖形的面積。再由N（0，1）的曲線關(guān)于y軸對稱，可以得出等式，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率。4一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，所以，研究其在某個(gè)區(qū)間的概率

12、時(shí)，無法利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)我們自然會(huì)思考：能否將一般的正態(tài)總體轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)總體N（0，1）進(jìn)行研究。人們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。對于這個(gè)公式，課本中不加證明地給出，只用了“事實(shí)上，可以證明”這幾個(gè)字說明。這表明，對等式的來由不作要求，只要會(huì)用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。5“小概率事件”和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，因?yàn)閷τ谶@類事件來說，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)20次，才能發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識(shí)便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)識(shí)：一是這

13、里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗(yàn)”來說的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5%的犯錯(cuò)誤的可能。就是說，這里在概率的意義上所作的推理與過去確定性數(shù)學(xué)中的“若a則b”式的推理有所不同。課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)一般分三步：第一步，提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是這個(gè)工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布。第二步，確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍（-3，+3）。 第三步，作出推斷。如果a（-3，+3），接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)；如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)。上面

14、這種拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)的推理，與我們過去學(xué)習(xí)過的反證法有類似之處。事實(shí)上，用反證法證明一個(gè)問題時(shí)，先否定待證命題的結(jié)論，這本身看成一個(gè)新的命題，從它出發(fā)進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)了矛盾，就把這個(gè)矛盾歸因于前述新命題不正確，從而將它否定。否定了新命題，也就等于證明了原命題的結(jié)論。線性回歸回歸分析：對于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系?；貧w直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個(gè)方程為y對x的回歸直線方程。 1相關(guān)關(guān)系研究兩個(gè)變量

15、間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。即對于邊長x的每一個(gè)確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系。（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個(gè)因素年齡，當(dāng)兒童長大一些，他們

16、的閱讀能力會(huì)提高而且由于長大身高也會(huì)高些。（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測量邊長時(shí)，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而對于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來說，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，還可使我們對函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。2回歸分析本節(jié)所研究的回歸分析是回歸分析中最

17、簡單，也是最基本的一種類型一元線性回歸分析。對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：（1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。（2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。（3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。3相關(guān)系數(shù)有時(shí)散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程。顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒

18、有實(shí)際意義。那么，在什么情況下求得的回歸直線方程才能對相應(yīng)的一組觀測數(shù)據(jù)具有代表意義？課本中不加證明地給出了相關(guān)系數(shù)的公式。相關(guān)系數(shù)公式的作用在于，我們對一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析，而不是僅憑畫出散點(diǎn)圖，直覺地從散點(diǎn)圖的形狀粗淺地得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度。4線性相關(guān)性檢驗(yàn)相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的具體辦法。限于要求，中學(xué)階段只要求掌握這種檢驗(yàn)方法的操作步驟，而不要求對這種方法包含的原理進(jìn)行深入研究。其具體檢驗(yàn)的步驟如下：（1）在課本中的附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值。（2）根據(jù)公

19、式計(jì)算r的值。（3）檢驗(yàn)所得結(jié)果。如果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如果，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了。這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。有了相關(guān)性檢驗(yàn)方法后，我們對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析，只須先對這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。如若具有線性相關(guān)性，則可依據(jù)求回歸直線方程的方法進(jìn)行求解，而不必像前面那樣，先畫散點(diǎn)圖，再依照散點(diǎn)圖呈直線性后再求回歸直線方程。這樣就使得回歸直線方程更能真實(shí)地反映實(shí)際情況，具有應(yīng)用于實(shí)際的價(jià)值。五、注意

20、事項(xiàng)1由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p21。2若隨機(jī)變量的分布列為：P (k)Cnk pk qn-k。（k0，1，2，n，0p1，q1p，則稱服從二項(xiàng)分布，記作B (n，p)，其中n、 p為參數(shù)，并記Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。對二項(xiàng)分布來說，概率分布的兩個(gè)性質(zhì)成立。即：（1）P (k)Cnk pk qn-k0，k0，1，2，n；（2）P (k)Cnk pk qn-k(pq) n1。二項(xiàng)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。1三種抽樣方法的共同點(diǎn)都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相

21、等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性。若樣本容量為n，總體的個(gè)體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時(shí)，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是。2三種抽樣方法的各自特點(diǎn)、適用范圍、相互聯(lián)系及共同點(diǎn)如下表：類 別共 同 點(diǎn)各 自 特 點(diǎn)相 互 聯(lián) 系適 用 范 圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾個(gè)部分，然后按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成總體密度曲線反映了總體分布，即反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率?？傮w在區(qū)間

22、（a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。1正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，如果隨機(jī)變量N(，2)，根據(jù)定義有：=E，=D。2正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交。（2）曲線關(guān)于直線x =對稱。（3）曲線在x =時(shí)位于最高點(diǎn)。（4）當(dāng)x 時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近。（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。在“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”中相應(yīng)于x0的值(x0)是指總體取值小于的概率，則：（1）(x0)=P(x 0.

23、02 。例4. 2003年全國高考江蘇卷(14) 遼寧卷(14) 天津文科卷(14) 天津理科卷(14)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取 6 ， 30 ， 10 輛。 提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20； 1200 = 6，6000 = 30，2000 = 10。例5. 抽樣本檢查是產(chǎn)品檢查的常用方法.分為返回抽樣和不返回抽樣兩種具體操作方案.現(xiàn)有100只外型相同的電路板，其中有40只A類版后60只B類板.問

24、在下列兩種情況中“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？ 每次取出一只，測試后放回，然后再隨機(jī)抽取下一只（稱為返回抽樣）； 每次取出一只，測試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）解： 設(shè)“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復(fù)排列，共有個(gè).再求M所包含的基本事件數(shù)，由于每次抽出后又放回，故是重復(fù)排列，共有 個(gè)，所以 由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個(gè)，事件M的基本事件數(shù)為，所以 例6. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，且f(x) 0，求常數(shù)k的值，并計(jì)

25、算概率P(1.52.5)。 分析:凡是計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(ab)都需要通過求面積來轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) 0且在a，b上為線性，那么P(ab)的值等于以b-a為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即。解: ； 例7. 對劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰更優(yōu)秀。分析:根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，需要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的與，然后加以比較，最后再作出判斷。解: ，；，由此可以說明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙

26、比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀。說明：與作為總體方差的兩個(gè)估計(jì)量，當(dāng)樣品容量不是很大時(shí)，更接近，故在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，我們常用去估計(jì)，但當(dāng)容量較大時(shí)，與則沒有什么差別。例8幾何分布某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P。求從射擊開始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望、方差。解：123 令 例9設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，xR。（1）求，；（2）求及的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對照已知函數(shù)求出和。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決。解： （1）由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知=1，故XN（1，2）。（2） 。又 。說明：在解決數(shù)學(xué)問題

27、的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點(diǎn)。通過本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。例10公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N（173，7）（單位：cm），問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高（精確到1cm）？分析：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm，使其總體在不低于x的概率小于1%。解：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm，由題意，需使P(x)179.16，即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞。說

28、明：解決本題的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上，找出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式；而逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問題時(shí)思維的靈活性。例11已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0（1）求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)

29、是否線性相關(guān)；（2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。分析：（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來完成；（2）查表得出顯著性水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界比較，若則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。解：（1）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i1234567891011121314157074807885929095921081151231301381455.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0357444544608.4765938.

30、490011401058118813571500.616251766.41885，。故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù)。由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值，則，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。（2）設(shè)所求的回歸直線方程為，則，回歸直線方程為。說明：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心、謹(jǐn)慎地計(jì)算。如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。例12.設(shè)隨機(jī)變量服從N（0，1），

31、求下列各式的值：（1）P(2.55)； （2）P(-1.44)； （3）P(|1.52)。分析:一個(gè)隨機(jī)變量若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值。但在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了，即的情形，對于其它情形一般用公式：(-x)=1-(x)；p(ax0)（B）0.38（C）0.41（D）0.2819.設(shè)隨機(jī)變量的的分布列為P（=k）=（k=1、2、3、4、5、6），則P（1.5100），問a如何確定，可是保險(xiǎn)公司期望獲利？36.某公司有三個(gè)部門，第一個(gè)部門800個(gè)員工，第二個(gè)部門604個(gè)員工，第三個(gè)部門500個(gè)員工，現(xiàn)在用按部門分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為380名員工的樣本，求應(yīng)該刪除

32、幾個(gè)人，每個(gè)部門應(yīng)該抽取多少名員工？4，160，120，10037.已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為： f(x)= 且f(x)0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率p（1.52.5）。k=-, p（1.52.5）=0.062538.在同樣條件下，用甲乙兩種方法測量某零件長度（單位mm），由大量結(jié)果得到分布列如下：4849505152P0.10.10.60.10.1甲： 4849505152P0.20.20.20.20.2乙：問哪種方法精度較好？E=E=50, DE乙E丙八、近幾年全國高考概率題集錦12000年全國高考天津理科卷(17) 甲乙兩人參加普法知識(shí)競賽，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依

33、次各抽一題.(I) 甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？(II) 甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：(I) 甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為=(II) 設(shè) 甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題為事件B，則對立事件為兩人均抽到判斷題，則 P(B) = 1 P() = 1 =22001年全國高考天津理科卷(18) 用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2. 當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作. 已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80, 0.90, 0.90，分別求系統(tǒng)N1、N2正常工

34、作的概率。解：分別記三個(gè)元件A、B、C能正常工作為事件A、B、C，由題意，這三個(gè)事件相互獨(dú)立，系統(tǒng)N1正常工作的概率為P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 0.80.90.9 = 0.648系統(tǒng)N2中，記事件D為B、C至少有一個(gè)正常工作，則P(D) = 1 P() =1 P() P() = 1 (1 0.9)(1 0.9) = 0.99系統(tǒng)N2正常工作的概率為P(A D) = P(A) P(D) = 0.80.99 = 0.792說明：用事件的并可知，系統(tǒng)N2正常工作的概率為 P() = P(AB) + P(AC) P(ABC) = 0.80.9 + 0.80.9 0.80.90.9 = 0.792 32002年全國高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) （本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。）某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概