線性代數(shù)課件4-3.ppt

1、3 向量組的秩,矩陣,線性 方程組,有限 向量組,系數(shù)矩陣 增廣矩陣,有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng),Ax = b 有解 當(dāng)且僅當(dāng) 向量 b 可由矩陣 A的列向量組線性表示,課本P. 88定理4： 向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的個(gè)數(shù) m ； 向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的個(gè)數(shù) m ,矩陣,線性 方程組,有限 向量組,無限 向量組,系數(shù)矩陣 增廣矩陣,有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng) 矩陣的秩等于列（行）向量組的秩,Ax = b 有解

2、當(dāng)且僅當(dāng) 向量 b 能否由向量組 A 線性表示,向量組與自己的 最大無關(guān)組等價(jià),回顧：矩陣的秩,定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式 規(guī)定：零矩陣的秩等于零,定義：設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A),結(jié)論： 矩陣的秩 = 矩陣中最高階非零子式的階數(shù) = 矩陣對(duì)應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù),向量

3、組的秩的概念,定義：設(shè)有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足 向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)； 向量組 A 中任意 r + 1個(gè)向量（如果 A 中有r + 1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組， 簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組 最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù) r 稱為向量組 A 的秩，記作RA ,例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個(gè) 最高階非零子式,第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行 的第一個(gè)非零元所在的列,，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、 二、四列,解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行

4、階梯形矩陣,行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故R(A) = 3 ,R(A0) = 3，計(jì)算 A0的前 3 行構(gòu)成的子式,因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式 結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩 是唯一的,事實(shí)上， 根據(jù) R(A0) = 3 可知： A0的 3 個(gè)列向量就是矩陣 A 的列向量組的一個(gè)線性無關(guān)的部分組 在矩陣 A 任取 4 個(gè)列向量，根據(jù) R(A) = 3 可知：A中所有4 階子式都等于零，從而這 4 個(gè)列向量所對(duì)應(yīng)的矩陣的秩小于 4，即這 4 個(gè)列向量線性相關(guān) A0的 3 個(gè)列向量就是矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組 矩陣 A 的列向量組的秩等于 3 同理

5、可證，矩陣 A 的行向量組的秩也等于 3,矩陣,線性 方程組,有限 向量組,系數(shù)矩陣 增廣矩陣,有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng) 矩陣的秩等于列（行）向量組的秩,Ax = b 有解 當(dāng)且僅當(dāng) 向量 b 能否由向量組 A 線性表示,一般地， 矩陣的秩等于它的列向量組的秩 矩陣的秩等于它的行向量組的秩（P.90 定理6）,一般地， 矩陣的秩等于它的列向量組的秩 矩陣的秩等于它的行向量組的秩（P.90 定理6） 今后，向量組 a1, a2, , am 的秩也記作 R(a1, a2, , am ) 若Dr 是矩陣 A 的一個(gè)最高階非零子式，則Dr 所在的 r 列是 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，Dr 所在的

6、 r 行是 A 的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組 向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的,例：已知 試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性 解： 可見 R(a1, a2 ) = 2，故向量組 a1, a2 線性無關(guān)， 同時(shí)， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組 a1, a2, a3 線性相關(guān)， 從而 a1, a2 是向量組 a1, a2, a3 的一個(gè)最大無關(guān)組 事實(shí)上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大無關(guān)組,最大無關(guān)組的等價(jià)定義,結(jié)論：向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的 定義：設(shè)有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個(gè)向量a1, a

7、2, , ar，滿足 向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)； 向量組 A 中任意 r + 1個(gè)向量（如果 A 中有 r + 1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)； 向量組 A 中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個(gè)最大無關(guān)組,矩陣,線性 方程組,有限 向量組,無限 向量組,系數(shù)矩陣 增廣矩陣,有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng) 矩陣的秩等于列（行）向量組的秩,Ax = b 有解 當(dāng)且僅當(dāng) 向量 b 能否由向量組 A 線性表示,向量組與自己的 最大無關(guān)組等價(jià),最大無關(guān)組的意義,結(jié)論：向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的 用 A0 來代表 A，掌

8、握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體 特別，當(dāng)向量組 A 為無限向量組，就能用有限向量組來代表 凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去,例： 全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作 Rn，求 Rn 的一個(gè)最大 無關(guān)組及 Rn 的秩,解： n 階單位矩陣 的列向 量組是 Rn 的一個(gè)最大無關(guān)組，Rn 的秩等于n 思考：上三角形矩陣 的列向量組是 Rn 的 一個(gè)最大無關(guān)組嗎？,例：設(shè)齊次線性方程組 的通解是 試求全體解向量構(gòu)成的向量組 S 的秩,例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個(gè) 最高階非零子式,例：設(shè)矩陣 求矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大

9、無 關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示,第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行 的第一個(gè)非零元所在的列,，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、 二、四列,解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣,行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故R(A) = 3 ,R(A0) = 3，計(jì)算 A0的前 3 行構(gòu)成的子式,因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式 A0的 3 個(gè)列向量就是矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組,思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的線性組合？ 思路1：利用P.83 定理1 的結(jié)論 思路2：利用矩陣 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣,向量 b 能由 向量組 A 線性表示,線性方程組 Ax = b 有解,令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0 x = a3 A0 x = a5,解（續(xù)）：為把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的線性組合，把矩陣 A 再變成行最簡(jiǎn)形矩陣,于是 Ax = 0 與 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 +