函數(shù)概念的產(chǎn)生及其背景.ppt

1、,函數(shù)概念的產(chǎn)生及其背景,函數(shù)產(chǎn)生的社會(huì)背景:,歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說(shuō)是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過(guò)程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對(duì)函數(shù)概念來(lái)龍去脈認(rèn)識(shí)的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用。,(一)馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來(lái)源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究。由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽。 自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們?cè)谒妓鳎杭热坏?/p>

2、球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問(wèn)題，既是科學(xué)家的力圖解決的問(wèn)題，也是軍事家要求解決的問(wèn)題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來(lái)源。,(二)早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等。1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直

3、到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的一般意義。,1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為。,當(dāng)時(shí)，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算，所以后來(lái)歐拉就索性把用這些運(yùn)算連

4、接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”。 18世紀(jì)中葉，由于研究弦振動(dòng)問(wèn)題，達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說(shuō)法在解釋“任意的函數(shù)”概念的時(shí)候，達(dá)朗貝爾說(shuō)是指“任意的解析式”，而歐拉則認(rèn)為是“任意畫(huà)出的一條曲線”?，F(xiàn)在看來(lái)這都是函數(shù)的表達(dá)方式，是函數(shù)概念的外延。,(三)函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實(shí)踐的尖銳矛盾。例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒(méi)有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立。1833年至1834年，高斯開(kāi)始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)，他在和W威伯爾合作發(fā)明電報(bào)的過(guò)程中，做了許多關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)工作，提出了“力

5、與距離的平方成反比例”這個(gè)重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支而出現(xiàn)了，實(shí)際的需要促使人們對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)一步研究。,后來(lái)，人們又給出了這樣的定義：如果一個(gè)量依賴著另一個(gè)量，當(dāng)后一量變化時(shí)前一量也隨著變化，那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù)。“這個(gè)定義雖然還沒(méi)有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進(jìn)步。” 在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國(guó)數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式。1822年，他在名著熱的解析理論中說(shuō)，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律；他們以任何方式

6、一個(gè)挨一個(gè)?！?在該書(shū)中,他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè)由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù).更確切地說(shuō)就是,任意一個(gè)以2為周期函數(shù).在-，區(qū)間內(nèi)，可以由 表示出，其中 , 。 富里埃的研究，從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動(dòng)。原來(lái)，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙。,通過(guò)一場(chǎng)爭(zhēng)論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義。 1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可

7、以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的?！边@個(gè)定義建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展，因?yàn)椤皩?duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分。,1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！?根據(jù)這個(gè)定義，即使像如下表述的，它仍然被說(shuō)成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：,在這個(gè)函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1，在無(wú)論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無(wú)限止地忽0忽1。因此，它難用一個(gè)或幾個(gè)

8、式子來(lái)加以表示，甚至究竟能否找出表達(dá)式也是一個(gè)問(wèn)題。但是不管其能否用表達(dá)式表示，在狄里克萊的定義下，這個(gè)f（x）仍是一個(gè)函數(shù)。 狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受。至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。,（四）生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀(jì)20年代，人類開(kāi)始研究微觀物理現(xiàn)象。1930年量子力學(xué)問(wèn)世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)函數(shù)， 即 。, - 函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭(zhēng)論。按照函數(shù)原來(lái)的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，

9、而沒(méi)有把“”作為數(shù)。另外，對(duì)于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的。然而， - 函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象，例如，當(dāng)汽車、火車通過(guò)橋梁時(shí)，自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力，從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè)，設(shè)車輛對(duì)軌道、橋面的壓力為一單位，這時(shí)在接觸點(diǎn)x = 0處的壓強(qiáng)是P（0）= 壓力接觸面 =10 = ；其余點(diǎn)x 0處，因無(wú)壓力，故無(wú)壓強(qiáng)，即P（x）= 0。另外，我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力。,函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y = f（x

10、），元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個(gè)字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系。,函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)二百多年來(lái)的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說(shuō)已經(jīng)相當(dāng)完善了。不過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展是無(wú)止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關(guān)系”。 設(shè)集合X、Y，我們定義X 與Y 的積集X Y 為X Y =（x ，y ）x X ，y Y 積集X Y 中的一子集稱為 R 與 Y 的一個(gè)關(guān)系，若（x ，y

11、）R，則稱 x 與 y 有關(guān)系 R ，記為x R y。若（x，y）R，則稱 x 與 y 無(wú)關(guān)系。,現(xiàn)設(shè) f 是 X 與 Y 的關(guān)系，即f X Y，如果（x，y），（x，z）f，必有y = z，那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù)。在此定義中，已在形式上回避了“對(duì)應(yīng)”的術(shù)語(yǔ)，全部使用集合論的語(yǔ)言了。 從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過(guò)程中，我們體會(huì)到，聯(lián)系實(shí)際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要。,早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù),十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學(xué)一書(shū)中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。167

12、3年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒(méi)有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。 1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系。,十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù),1718年約翰貝努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布尼茲函數(shù)概念

13、的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。 1755歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?18世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。”他把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出

14、，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。,十九世紀(jì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù),1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限。 1822年傅里葉（Fourier，法，17681830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念

15、是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。,1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！边@個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。 等到康托爾(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量、矩陣等）。,現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù),1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，其避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。 1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在