高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何與空間向量8.8立體幾何中的向量方法(二)--求空間角和距離課件理新人教版.ppt

1、8.8立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則,1.兩條異面直線所成角的求法,知識梳理,設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為 ，a與n的夾角為，則sin |cos |.,2.直線與平面所成角的求法,3.求二面角的大小 (1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小.,(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).

2、,|cosn1，n2|,利用空間向量求距離(供選用) (1)兩點間的距離 設點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則|AB| . (2)點到平面的距離 如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為 .,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.() (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.() (3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.(),(5)若二面角a的兩個半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.(),1.(2017煙臺質檢)已知兩平面

3、的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為 A.45 B.135 C.45或135 D.90,考點自測,答案,解析,即m，n45. 兩平面所成的二面角為45或18045135.,2.已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，則l與所成的角為 A.30 B.60 C.120 D.150,答案,解析,090，30.故選A.,3.(2016鄭州模擬)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為,答案,解析,設CA2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1

4、(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 (2,2,1)， (0,2，1)，由向量的夾角公式得cos ，故選A.,4.(教材改編)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長為2，側棱長為2 ，則AC1 與側面ABB1A1所成的角為_.,答案,解析,C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，,5.P是二面角AB棱上的一點，分別在平面、上引射線PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小為_.,答案,解析,90,不妨設PMa，PNb，如圖， 作MEAB于E，NFAB于F， EPMFPN45，,二面角AB的大小為90.,題型分類深度剖析,題型一求

5、異面直線所成的角,例1(2015課標全國)如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC. (1)證明：平面AEC平面AFC；,證明,如圖所示，連接BD，設BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF. 在菱形ABCD中，不妨設GB1. 由ABC120，可得AGGC . 由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC. 又AEEC，所以EG ，且EGAC.,在直角梯形BDFE中，由BD2，BE ，DF ，可得EF ，從而EG2FG2EF2，所以EGFG.,又ACFGG，可得EG平面AFC. 因為EG平面AEC，所以平面AE

6、C平面AFC.,(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.,解答,所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為 .,思維升華,用向量法求異面直線所成角的一般步驟 (1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系； (2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量； (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值； (4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.,跟蹤訓練1 如圖所示正方體ABCDABCD，已知點H在ABCD的對角線BD上，HDA60.求DH與CC所成的角的大小.,解答,如圖所示，以D為原點，DA為單位長度，建立空間直角坐標系Dxyz，,即DH與CC所成的角為45

7、.,題型二求直線與平面所成的角,例2(2016全國丙卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點. (1)證明MN平面PAB；,證明,取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TN BC2.,又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT. 因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,解答,取BC的中點E，連接AE. 由ABAC得AEBC，,以A為坐標原點， 的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Ax

8、yz. 由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，,設n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則,思維升華,利用向量法求線面角的方法 (1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)； (2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.,跟蹤訓練2 在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示. (1)求證：ABCD；,證明,平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD. 又CD平

9、面BCD，ABCD.,(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.,解答,過點B在平面BCD內作BEBD，如圖. 由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD. ABBE，ABBD. 以B為坐標原點， 分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.,依題意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0， )，,設平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，,取z01，得平面MBC的一個法向量n(1，1,1). 設直線AD與平面MBC所成角為，,題型三求二面角,例3(2016山東)在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直

10、徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線. (1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH平面ABC；,證明,設FC的中點為I，連接GI，HI， 在CEF中，因為點G是CE的中點，所以GIEF. 又EFOB，所以GIOB. 在CFB中，因為H是FB的中點，所以HIBC，又HIGII， 所以平面GHI平面ABC. 因為GH平面GHI，所以GH平面ABC.,解答,連接OO，則OO平面ABC.又ABBC， 且AC是圓O的直徑，所以BOAC. 以O為坐標原點， 建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.,設m(x，y，z)是平面BCF的一個法向量.,因為平面ABC的一個法向量n(0,0,1)，

11、,思維升華,利用向量法計算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小. (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.,跟蹤訓練3 (2016天津)如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，ABBE2. (1)求證：EG平面ADF；,證明,依題意，OF平面ABCD， 如圖，以O為原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建

12、立空間直角坐標系，依題意可得,O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)， D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(xiàn)(0,0,2)，G(1,0,0).,設n1(x1，y1，z1)為平面ADF的法向量，,(2)求二面角OEFC的正弦值；,解答,易證 (1,1,0)為平面OEF的一個法向量， 依題意， (1,1,0)， (1,1,2).,設n2(x2，y2，z2)為平面CEF的法向量，,不妨取 x21，可得n2(1，1,1).,解答,題型四求空間距離(供選用),例4如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求點A到平面MB

13、C的距離.,解答,如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，因為BCD與MCD均為正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD. 以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz. 因為BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，,設平面MBC的法向量為n(x，y，z)，,思維升華,求點面距一般有以下三種方法： (1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離； (2)等體積法； (3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便.,跟蹤訓練4 (2016四川成都外國語學校月考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，側面

14、PAD底面ABCD，側棱PAPD ，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD中點. (1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；,解答,在PAD中，PAPD，O為AD中點，POAD. 又側面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO平面PAD， PO平面ABCD. 在PAD中，PAPD，PAPD ，AD2.,在直角梯形ABCD中，O為AD的中點，ABAD， OCAD.,以O為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，,則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (

15、1，1，1). 易證OA平面POC， (0，1,0)為平面POC的法向量，,(2)求B點到平面PCD的距離；,解答, (1，1，1)， 設平面PCD的法向量為u(x，y，z)，,取z1，得u(1,1,1).,解答,Q(0，1). 設平面CAQ的法向量為m(x，y，z)，,取z1，得m(1，1，1). 平面CAD的一個法向量為n(0,0,1)，,整理化簡，得321030.,典例(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點E為棱PC的中點. (1)證明：BEDC； (2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值； (3)若F為棱PC上一點，滿足

16、BFAC，求二面角FABP的余弦值.,利用空間向量求解空間角,答題模板系列6,規(guī)范解答,答題模板,(1)證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系如圖，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 1分 由E為棱PC的中點，得E(1,1,1).,設n(x，y，z)為平面PBD的一個法向量，,可得n(2,1,1).,因此，2(12)2(22)0，解得 ，,設n1(x，y，z)為平面FAB的一個法向量，,不妨令z1，可得n1(0，3,1). 取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，,易知，二面角FABP是銳角，,返回,利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐

17、標系； 第二步：確定點的坐標； 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標； 第四步：計算向量的夾角(或函數(shù)值) ； 第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角； 第六步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.,返回,課時作業(yè),1.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于 A.120 B.60 C.30 D.60或30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,設直線l與平面所成的角為，直線l與平面的法向量的夾角為. 則sin |cos |cos 120| . 又0，90，30，故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

18、11,12,2.(2016廣州模擬)二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，則該二面角的大小為 A.150 B.45 C.60 D.120,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為,答案,解析,以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，,設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，,1,2,3,4,

19、5,6,7,8,9,10,11,12,平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2016長春模擬)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為,答案,解析,以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 由ABAC1，PA2，,設平面DEF的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,取z1，則

20、n(2,0,1)， 設直線PA與平面DEF所成的角為，,直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 .故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12 ，E為CC1的中點，則直線AC1到平面BDE的距離為,答案,解析,以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)， 則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2 )， E(0,2， )，易知AC1平面BDE. 設n(x，y，z)是平面BD

21、E的法向量，,取y1，則n(1,1， )為平面BDE的一個法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又 (2,0,0)， 點A到平面BDE的距離是,故直線AC1到平面BDE的距離為1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的側棱長為3，底面邊長A1C1B1C11，且A1C1B190，D點在棱AA1上且AD2DA1，P點在棱C1C上，則 的最小值為,答案,解析,建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9

22、,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(2016合肥模擬)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11， 則直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_.,答案,解析,如圖，建立空間直角坐標系Dxyz， 則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0).,設平面A1BC1的一個法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,設直線D1C1與平面A1BC1所成角為，則,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.

23、在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線CD與平面BDC1 所成角的正弦值等于_.,答案,解析,以D為坐標原點，建立空間直角坐標系， 如圖，設AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，,所以有令y2， 得平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1).,設CD與平面BDC1所成的角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(2016石家莊模擬)已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與

24、平面ABC所成的 二面角的正切值為_.,答案,解析,如圖，建立空間直角坐標系Dxyz， 設DA1，由已知條件得,設平面AEF的法向量為n(x，y，z)， 平面AEF與平面ABC所成的二面角為，由圖知為銳角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,取平面ABC的法向量為m(0,0，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,令y1，z3，x1，則n(1,1，3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(2016南昌模擬)如圖(1)，在邊長為4的菱形ABCD中，DAB60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，ACEFO，沿EF將CEF翻折到P

25、EF，連接PA，PB，PD，得到如圖(2)的五棱錐PABFED，且PB . (1)求證：BD平面POA；,證明,點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點， BDEF. 菱形ABCD的對角線互相垂直， BDAC，EFAC， EFAO，EFPO. AO平面POA， PO平面POA，AOPOO， EF平面POA，BD平面POA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)求二面角BAPO的正切值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,設AOBDH，連接BO. DAB60，ABD為等邊三角形， BD4，BH2，HA2 ，HOPO ，,在PBO中，BO2PO210PB2

26、， POBO. POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED， PO平面BFED.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,以O為原點，OF所在直線為x軸，AO所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示，,設平面PAB的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由(1)知平面PAO的一個法向量為 (2,0,0)，,設二面角BAPO的平面角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(2016四川)如圖，在四棱錐P-ABCD中

27、，ADBC， ADCPAB90，BCCD AD.E為棱AD的 中點，異面直線PA與CD所成的角為90. (1)在平面PAB內找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；,解答,在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點.理由如下： 由已知，BCED且BCED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形， 從而CMEB. 又EB平面PBE，CM平面PBE， 所以CM平面PBE. (說明：延長AP至點N，使得APPN，則所找的點可以是直線MN上任意一點),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)若二面角P-CD-A的大小為45，

28、求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,方法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以CD平面PAD，從而CDPD. 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角， 所以PDA45， 設BC1，則在RtPAD中，PAAD2. 過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH， 易知PA平面ABCD， 從而PACE，且PAAHA，于是CE平面PAH. 又CE平面PCE， 所以平面PCE平面PAH.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE， 所以APH是PA與平面PCE所成的角. 在RtAEH中，AEH45，AE1，,方法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以CD平面PAD. 于是CDPD.,1,2,3,