高一數(shù)學(xué)教案：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積教案

1、【課題】平面向量基本定理【教學(xué)目標(biāo)】1. 了解平面向量基本定理；2. 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示， 初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3. 能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).【教學(xué)重點(diǎn)】 平面向量基本定理【教學(xué)難點(diǎn)】 平面向量基本定理的理解與應(yīng)用【教學(xué)過程】一 . 復(fù)習(xí)引入實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a 的積是一個(gè)向量，記作：a（ 1）| a |=| | a | ；（ 2） 0 時(shí) a 與 a 方向相同； 0 時(shí) a 與 a 方向相反； =0 時(shí) a = 02運(yùn)算定律結(jié)合律： ( a )=( )a ；aa+a， (a+b)= a+

2、b分配律： ( +) =3. 向量共線定理向量 b 與非零向量a 共線的充要條件是： 有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使b = a .4. 由火箭升空和小練習(xí): 已知向量 e1 ， e2 , 求作向量2.5 e1 +3 e2 引入二 . 新課講解1平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a ，有且只有一對實(shí)數(shù)1， 2 ，使 a1e12e2 其中我們把不共第1頁共 17頁線的向量 e1 ， e2 叫做表示這一平面所有向量的一組基底。注：e1，e2均非零向量；e1，e2不唯一（事先給定） ；1 ，2 唯一； 2 0 時(shí)，a 與 e1 共線； 10

3、時(shí)，a 與 e2 共線； 120時(shí)， a 0 一個(gè)平面向量用一組基底e1 ,e2 表示成 a 1 e12 e2 的形式 , 稱它為向量 a 的分解 . 當(dāng) 1 2 所在直線互相垂直時(shí)這種分解稱為a 的e , e正交分解 .2例題分析：例 1. 書 P69 例 1變式練習(xí) :1. 已知OADB 的對角線交于點(diǎn)C, 且BM11如果BC ,CNCD .MD33BOA a, OB b ,試 用 a,bC N表 示OM ,ON .OA2. 已知ABCD 中 ,M,N 分別是ADC,BC 的中點(diǎn)且 AMc, AN dDM用 c, d 表示 AB , AD .例 2.書 P69 例 3.BNC變式練習(xí) :1

4、. 如果向量e1e2 與 e1e2 共線 , 求.第2頁共 17頁2. 如 果 a 2e1 3e2 , b2e1 3e2 , 其 中 e1, e2為 基 底 , 向 量c 2e1 9e2 , 問是否存在這樣的實(shí)數(shù)和, 使 da b 與 c 共線 ?例 3. 書 P69 例 2.【課堂小結(jié)】1. 熟練掌握平面向量基本定理；2會應(yīng)用平面向量基本定理 . 充分利用向量的加法、 減法及實(shí)數(shù)與向量的積的幾何表示。【課后作業(yè)】第3頁共 17頁【課題】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1理解向量的坐標(biāo)表示法, 掌握平面向量與一對有序?qū)崝?shù)一一對應(yīng)關(guān)系；2正確地用坐標(biāo)表示向量，對起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等

5、的關(guān)系來用坐標(biāo)表示；3掌握兩向量的和、差, 實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)難點(diǎn)】 向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性【教學(xué)過程】一 . 復(fù)習(xí)：1平面向量的基本定理：a121 e2 e ；2在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對實(shí)數(shù)( x, y) 表示，那么，每一個(gè)向量可否也用一對實(shí)數(shù)來表示？二 . 新課講解：1向量的坐標(biāo)表示的定義：分別選取與 x 軸、 y 軸方向相同的單位向量i ， j 作為基底，對于任一向量 a ， a xi y j ，（ x, yR ），實(shí)數(shù)對 ( x, y) 叫向量 a 的坐標(biāo)，記作a( x, y) 其中 x 叫向量 a 在 x 軸上的

6、坐標(biāo)， y 叫向量 a 在 y 軸上的坐標(biāo)。說明：（1）對于 a ，有且僅有一對實(shí)數(shù)( x, y) 與之對應(yīng)；（ 2） i (1,0) ， j (0,1)， 0(0,0)；（ 3）從原點(diǎn)引出的向量OA 的坐標(biāo) ( x, y) 就是點(diǎn) A 的坐標(biāo)。2.(1)如 a (x1, y1 ) ， b(x2 , y2 ) , 則 ab 等價(jià)于x1x2 .y1y2(2)已知向量 AB ，且點(diǎn) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則 AB OB OA (x2 , y2 ) (x1, y1 ) ( x2x1 , y2y1 )3. 坐標(biāo)運(yùn)算 : 已知 a ( x1 , y1 ) ， b( x

7、2 , y2 )第4頁共 17頁(1) a b x1 x2 , y1 y2(2) ab( x1x2 , y1y2 )(3) a ( x1, x2 )例 1. 已知平行四邊形 ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A, B, C 的坐標(biāo)分別為 ( 2,1) 、 ( 1,3)、(3, 4) ，求頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。變式練習(xí) :1. 已知 A(1, 2), B(2,1),C (3,2), D ( 2,3) , 以 AB, AC 為一組基底來表示向量 ADBDCD .2. 設(shè)向量a=(1, 3) ， b =( 2,4) ，c =( 1, 2) ，若表示向量4a、 4b2c、 2( ac) 、 d 的有向線段首尾相接能構(gòu)成

8、四邊形，則向量d 為 ()3. 設(shè)點(diǎn) P 在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng) , 速度向量 v (4, 3) , 設(shè)起始 P(-10,10),則 5 秒鐘后點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ().例 2. 書 P72 例 4.變式練習(xí) :設(shè) A(2,3), B(5,4), C (7,10) 滿足 APABAC(1)為何值時(shí) , 點(diǎn) P 在直線 yx 上?(2) 設(shè)點(diǎn) P在第三象限 , 求 的范圍 .【課堂小結(jié)】1正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；2掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3能用平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算解決一些實(shí)際問題【課后作業(yè)】第5頁共 17頁【課題】向量平行的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1掌握兩向量平行時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件；2能利用兩

9、向量平行的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問題。【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)難點(diǎn)】利用向量平行的坐標(biāo)表示解題【教學(xué)過程】一 . 復(fù)習(xí)1. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2. 向量 a 與非零向量b 平行的充要條件是：ab(R,b0) .二 . 新課向量平行的坐標(biāo)表示：設(shè) a(x1, y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，（ b0 ），且 a / b ，則 ab(R,b0)， (x1, y1 )( x2 , y2 )( x2 ,y2 ) . x1x2 ， x1 y2x2 y10 .y1y2歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達(dá)形式： a / b (b0)ab(R, b0) ； a / b (b 0) 且 設(shè)

10、 a(x1, y1 ) ， b (x2 , y2 )x1 y2x2 y1 0（ x1 , x2 , y1 , y2R ）例 1. 已知 a(4, 2) ， b(6, y) ，且 a / b ，求 y .變式練習(xí) :1. 已知 a(3,4) , b(sin,cos) 且 a / b , 求 tan.第6頁共 17頁2. 已知 a(1,0) , b(2,1) , 當(dāng)實(shí)數(shù) k 為何值時(shí) , 向量 kab 與 a3b 平行 ?并確定它們是同向還是反向.例 2. 已知 A( 1, 1) ， B(1,3) ， C (2,5) ，求證 A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線 .變式練習(xí) :1. 如三點(diǎn) A(1,2),

11、B(2,4),C(3,m)共線 , 求 m.2.如果 OA (k,12) , OB (4,5) , OC( k,10) , 且 A,B,C 三點(diǎn)共線 , 求k.3.已知 A(-1,6),B(3,0),在直線 AB 上求一點(diǎn) P, 使 AP1 AB.34.已知 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)(1) 求 AC和 BD交點(diǎn)的坐標(biāo) .( 并據(jù)此法推導(dǎo)三角形重心的坐標(biāo)公式)(2) 求證四邊形 ABCD是梯形 .例 3. 已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn) , A(3,1), B(1,3) , 點(diǎn) C 滿足 OCOAOB ,其中,R,1, 求點(diǎn) C 的軌跡方程 .【課堂小結(jié)】1. 熟悉平面向量共

12、線充要條件的兩種表達(dá)形式；2 會用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點(diǎn)共線和兩直線平行；3 明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同?！菊n后作業(yè)】第7頁共 17頁【課題】平面向量的數(shù)量積【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積定義【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【教學(xué)過程】一 .復(fù)習(xí)引入：1向量共線定理2平面向量基本定理3平面向量的坐標(biāo)表示4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5 a b( b0 )的充要條件是x1y

13、2 -x2y1=06. 物理課中，物體所做的功的計(jì)算方法：W| F | s | cos（其中 是 F 與 s 的夾角）（圖 1）二 .新課講解：1向量的夾角：已知兩個(gè)向量 a 和 b （如圖2），作 OA a ， OBb ，則AOB（ 0180）叫做向量 a 與 b 的夾角。當(dāng)0 時(shí)， a 與 b 同向；（圖 2）當(dāng)180時(shí)， a 與 b 反向；當(dāng)90時(shí)， a 與 b 的夾角是 90 ，我們說 a 與 b 垂直，記作 a b 2向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量 a 和 b ，它們的夾角為 ，則數(shù)量 | a | | b | cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積） ，記作 a b ，即 a

14、 b | a | |b | cos 第8頁共 17頁說明：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量， 這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角有關(guān)實(shí)數(shù)與向量的積與向量數(shù)量積的本質(zhì)區(qū)別： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量；實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量；規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積是0 3.數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a 、 b 都是非零向量，是 a 與 b 的夾角，則cosa b；| a | b |當(dāng) a 與 b 同向時(shí)， a b| a | b |；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a b| a | b |；特別地： aa | a |2或 | a |a a ； | a b | | a | b | ；a ba b0 ；若e 是與 b 方向相

15、同的單位向量，則e a ae | a | cos4.數(shù)量積的運(yùn)算律已知 a， b， c 和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：ab ba(交換律 )( a) b (ab) a( b)(數(shù)乘結(jié)合律 )(a b) c ac bc (分配律 )說明： (1) 一般地， (ab)ca(bc)(2)ac bc， c0a b(3)有如下常用性質(zhì)：a2 a 2，(a b) (c d) ac ad bc bd( ab) 2a2 2ab b2例 1. 已知： a 3， b 6，當(dāng) ab， ab， a 與 b 的夾角是 135時(shí)，分別求 ab.變式練習(xí) :1. 已知 a 8， b 10， a b 16，求 a 與

16、 b 的夾角 .2.已知 | a |5, ， |b |4 ,且 a,b 的夾角為 600(1)求 ab(2) 當(dāng) k 為何值時(shí) ,向量 kab 與 a2b 平行 ?垂直 ?第9頁共 17頁例2. 已 知 正ABC 的 邊長 為 2 ，設(shè) BCa ， CAb ， ABc ， 求a bb cc a 變式練習(xí) :1. 已知 | a |3 ，| b | 3 ，| c |23 ，且 abc0 ，求 a bb cc a2.已知 a, b 是兩個(gè)非零的向量且| a |bab ,求 a 與 ab 的夾角 .【課堂小結(jié)】要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的幾個(gè)重

17、要性質(zhì)解決相關(guān)問題.【課后作業(yè)】第 10頁共 17頁【課題】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件【教學(xué)重點(diǎn)】面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及由其推出的重要公式【教學(xué)難點(diǎn)】向量數(shù)量積坐標(biāo)表示在處理有關(guān)長度、角度、垂直問題中的應(yīng)用【教學(xué)過程】一 .復(fù)習(xí)：1兩平面向量垂直的充要條件；2兩向量共線的坐標(biāo)表示；3 x 軸上單位向量i ， y 軸上單位向量j ，則： i i1 ， j j1 ，i jj i 0二 .新課講解：1 向 量 數(shù) 量 積 的 坐 標(biāo) 表 示 ： 設(shè) a (x1, y1 ),b( x2 , y2 )， 則a x1iy1

18、j ,bx2 iy2 j a b(x1iy1 j )( x2 iy2 j )22x1x2 ix1 y2 i j y1x2 j i y1y2 jx1 x2y1 y2 .從而得向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：a bx1x2y1 y2 2長度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示：長度： a( x, y)| a |2x2y2| a |x2y2 ；兩點(diǎn)間的距離公式：若A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，則第11頁共 17頁AB( x2 x1 ) 2( y2y1) 2 ；夾角： cosabx1x2y1 y2；| a | |b |x12y12x22y22垂直的充要條件：a ba b0，即 x1 x2y1 y2

19、0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別）例 1. 設(shè) a(5,7), b( 6,4)，求 (a3b)(2ab) 變式練習(xí) :1. 已知 a(1 ， 3 )， b (3 1，31) ，則 a 與 b 的夾角是多少 ?2. 已知 | a |1， |b |3 , 且 ab(3,1) 求(1)| a b |(2)a b 與 ab 的夾角 .3. 書 P79 例 3.例 2. 已知 A(1 ， 2) ，B(2 ， 3) ，C( 2，5) ，試判斷 ABC的形狀，并給出證明 .變式練習(xí) :1. 如圖，以原點(diǎn)和A(5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角OABB 90 ，使求點(diǎn) B 和向量 AB 的坐標(biāo)。解：設(shè) B(x, y

20、) ，則 OB( x, y) ， AB( x5, y2) ，OBAB，x( x 5)y( y2)0 ，第 12頁共 17頁即： x2y25x 2y0 ，又 |OB | | AB | ， x2y2( x 5) 2( y 2) 2 ， 即 ：10 x 4y 29 ，由 x2y2 5x 2 y0x17或 x2322 ，10x4y29y13y2722 B(7 ,3) ， AB (3 ,7) 或 B( 3 , 7 ) ， AB ( 7 , 3) 22222222，k) ，若 ABC中有一個(gè)角為直2. 在 ABC中， AB (1，1) ，AC (2角，求實(shí)數(shù)k 的值 .3. 已知 AB( x,3) , A

21、C(2,1) , 如果 AB 與 AC 的夾角為鈍角,求 x 的取值范圍 .【課堂小結(jié)】【課后作業(yè)】第 13頁共 17頁【課題】習(xí)題課1. 在 ABC中， ABa， BC b，且 a b0，則 ABC的形狀是 ()2. 已知 a， b，c 兩兩垂直，且 | a| 1， | b| 2， | c| 3，求 r ab c的長及它與a， b， c 的夾角的余弦 .3.與向量d 平行的單位向量是 ()4.已知 a( 3,1) , b 是不平行于x 軸的單位向量, 且 a b3 , 則 b=()例 1. 四邊形 ABCD中，AB a，BC b，CD c，DA d，且 abb c cd d a，試問四邊形 ABCD是什么圖形 ?例 2.已知a、b都是非零向量，且a 3與 7 5 垂直， 4b與 7 babaa2b 垂直，求a 與 b 的夾角 .例 3. 如果 ab且 | a | 2, |b |1 , 又 k 與 t 是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)(1)如 x a(t 3)b 與向量 yka tb 垂直 , 求 k 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式(2)求函數(shù) kf (t) 的