5.1__等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、(理解等差數(shù)列的概念/掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式/了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系),第五單元 數(shù)列,5.1 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差 等于 常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù) 列的 (公差常用字母“d”表示)即anan1d(n2，nN) 2等差中項(xiàng)：若a，A，b成 ，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng) A a，A，b成等差數(shù)列,同一個(gè),公差,等差數(shù)列,3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1(n1)d(或anam(nm)d) 思考：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于直線方程的點(diǎn)斜式，已知an、am(nm)，如何求出等差數(shù)列的公差？ 提示

2、：d 4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn ，Snna1 提示：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)和其結(jié)果的形式都類似于梯形面積公式， 具體采用的是“倒序相加法”,1an為等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d() A2 B C. D2 解析：由已知條件： 整理得：解得 d 答案：B,2(2009湖南)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611， 則S7等于() A13 B35 C 49 D63 解析：d 2，a1a2d1，S77a1 d49. 答案：C,3公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S832，則S10等于() A18 B24 C60 D90 答案：C

3、,4已知數(shù)列的通項(xiàng)an5n2，則其前n項(xiàng)和Sn_. 解析：Sna1a2an5(12n)2n (n2n)2n,1. 等差數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公差d確定，所有關(guān)于等差數(shù)列的計(jì)算和證明，都可圍繞a1和d進(jìn)行 2對(duì)于等差數(shù)列問題一般要給出兩個(gè)條件，可以通過列方程求出a1，d.如果再給出第三個(gè)條件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”問題,【例1】已知等差數(shù)列an中a3a716，a4a60， 求an的前n項(xiàng)和Sn. 解答：解法一：由已知條件 即 代入整理得：d24，則d2； 當(dāng)d2時(shí)，a18，Snna1 dn29n； 當(dāng)d2時(shí)，a18，,解法二：由已知條件解方程x2160得 ，x4或x4,1.

4、 根據(jù)定義證明：當(dāng)n2時(shí)，anan1d. 2根據(jù)中項(xiàng)證明：當(dāng)n2時(shí)，2anan1an1. 3若通項(xiàng)公式為anpnq，可證數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列 4若數(shù)列前n項(xiàng)和SnAn2Bn，可證數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列,【例2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之積與第n項(xiàng)的和等于1(nN*) (1)求證 是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bnan ，求證：2nb1b2b3bn2n1. 證明：(1)由已知條件a1a2an1an(nN*) 當(dāng)n2時(shí)a1a2an11an1 因此數(shù)列 為等差數(shù)列，公差d1.,變式2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有Sn ， 證明：an是等差數(shù)列 兩式相減整理得(n2)a

5、n(n1)an1a1 (n1)an1nana1，即nana1(n1)an1. 得2(n1)an(n1)(an1an1)，即2anan1an1(nN*，n2)， 因此數(shù)列an為等差數(shù)列.,對(duì)于已知遞推關(guān)系：形如an ，anaan1an等，求數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題解決,【例3】由已知在數(shù)列an中a11，求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)an1 ；(2)an12an2n1.,變式3.數(shù)列an中，a32，a71，且數(shù)列 成等差數(shù)列，則a11等于 () 答案：B,1對(duì)于等差數(shù)列有關(guān)計(jì)算問題主要圍繞著通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共五個(gè)量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個(gè)量可求出

6、剩余的量，而a1與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式 2要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等 3在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為a，ad，a2d； a d， a，ad；ad，ad，a3d等，可視具體情況而定 4可根據(jù)通項(xiàng)公式和定義判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列，可根據(jù)遞推公式、 定義或等差中項(xiàng)證明一個(gè)數(shù)列成等差數(shù)列.,【方法規(guī)律】,(2010湖北)(本題滿分12分)已知數(shù)列an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列， 且滿足a3a655，a2a716. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式：an (n為正整數(shù))， 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,【考卷實(shí)錄】,解答：(1)由已知條件 又a3a6，解得a35，a611，d 2. ana3(n3)d2n1. (2)由已知條件,【答題模板】,： (2n1)(2n3)2， 當(dāng)n2時(shí)，bn2n1. 當(dāng)n1時(shí)，b12a12， Snb1b2b3bn2 2n26.,在考卷實(shí)錄提供的答案中，