正弦定理(一)

1、聽 課 記 錄課題：正弦定理（一） 教 者：謝寶明【教學過程簡記】（一）創(chuàng)設情境:問題1、在建設水口電站閩江橋時,需預 先測量橋長AB,于是在江邊選取一個測量 點C,測得CB=435m,CBA=,BCA=。由以上數(shù)據(jù)，能測算出橋長AB嗎？這是一個什么數(shù)學問題?引出課題：“正弦定理（二）猜想、實驗：1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關系，猜想可能存在哪些關系？2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關系，提煉出asinA=bsinB=csinC。 3、實驗驗證，完善猜想：這一關系式在任一三角形中是否成立呢？請學生以量角器、刻度尺、計算器為工具，對一般三角形

2、的上述關系式進行驗證，教師用幾何畫板演示。在此基礎上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。（三）證明探究：對此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學需要理性思維。如何通過嚴格的數(shù)學推理，證明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中，。2、推廣拓展，探究證明 ： 問題2：在銳角三角形ABC中，如何構造、表示 “a與、 b與sinB”的關系呢

3、？ 探究1：能否構造直角三角形，將問題化歸為已知問題？ 圖1 圖2_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B)_B(c,0) 圖3 圖4探究2：能否引入向量，歸結為向量運算？ （1）圖2中蘊涵哪些向量關系式？學生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個式子本質上是相同的）, 等,（2）如何將向量關系轉化為數(shù)量關系？(施以什么運算?) （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運算？探究3：能否引入向量的坐標形式，把向量關系轉化為代數(shù)運算？（1）如圖4，建立直角坐標系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量的坐標=？ （bcosA-

4、c，bsinA）（3）哪一點的坐標與向量的坐標相同？由三角函數(shù)的定義，該點的坐標又為多少？根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建立等量關系：bcosAc= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。問題3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？（留做課后作業(yè)）（四）理解定理、基本應用：1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即問題4、定理結構上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結構看：各邊與其對角的正弦嚴格對應，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美。 （2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，

5、知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。評述：定理的直接應用，對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2在中，已知，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。3、課堂練習：（1）、引題（問題1）（2）、在ABC中，sinAsinB是AB的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件（五）課堂小結：請同學們用一句話表述學習本課的收獲和感受。（六）作業(yè)布置：書面作業(yè)：P10習題1.1 1、2【課后點評】本課通過精心設計“發(fā)現(xiàn)和解決問題”的過程，注重講背景、講過程、講應用，引導學生主動學習、勇于探索。首先從具體問題情境出發(fā)，在教師的指導下，結合學生的已有知識經(jīng)驗，通過自主學習，進行發(fā)散式猜想與探究判斷，去偽存真，提煉猜想，并通過實驗驗證，完善猜想。其次，在定理證明階段，通過新舊知識