201X年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、.2019年普通高等學(xué)校春季招生考試(北京、內(nèi)蒙古、安徽卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷至2頁(yè).第卷3至8頁(yè).共150分.考試時(shí)間120分鐘.第卷(選擇題 共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) 集合m=1，2，3，4，5的子集個(gè)數(shù)是( )(a) 32(b) 31(c) 16(d) 15(2) 函數(shù)f (x ) = ax(a 0且a 1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有( )(a) f (xy) = f (x) f (y)(b) f (xy) = f (x) + f (y)(c)

2、f (x + y) = f (x) f (y)(d) f (x + y) = f (x) + f (y)(3) ( )(a) 0(b) 2(c) (d) (4) 函數(shù)的反函數(shù)是( )(a) y = x21 (1x0)(b) y = x21 (0x1)(c) y = 1x2 (x0)(d) y = 1x2 (0x1)(5) 極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是( )(a) (b) (c) (d) (6) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)p在直線x = 1上，o為坐標(biāo)原點(diǎn). 以op為直角邊、點(diǎn)o為直角頂點(diǎn)作等腰rtopq，則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是( )(a) 圓(b) 兩條平行直線(c) 拋物線(d) 雙曲線(7) 已知f (x6) =

3、log2x，那么f (8)等于( )精品.(a) (b) 8(c) 18(d) (8) 若a、b是銳角abc的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)p(cosbsina，sinbcosa)在( )(a) 第一象限(b) 第二象限(c) 第三象限(d) 第四象限(9) 如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( )(a) 30(b) 45(c) 60(d) 90(10) 若實(shí)數(shù)a，b滿足a + b = 2，則3a + 3b的最小值是( )(a) 18(b) 6(c) (d) (11) 右圖是正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中， bm與ed平行 cn與be是異面直線 cn與bm成60

4、角 dm與bn垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是( )(a) (b) (c) (d) (12) 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量sn(萬(wàn)件)近似地滿足 (n=1，2，12)按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是( )(a) 5月、6月(b) 6月、7月(c) 7月、8月(d) 8月、9月第卷二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.(13) 已知球內(nèi)接正方體的表面積為s，那么球體積等于_(14) 橢圓x2 + 4y2 = 4長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為a，以a為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_精品.(

5、15) 已知(、均為銳角)，那么coscoscos的最大值等于_(16) 已知m、n是直線，、是平面，給出下列命題： 若，= m，nm，則n或n； 若，= m，= n，則mn； 若m不垂直于，則m不可能垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線； 若= m，nm；且，則n且n.其中正確的命題的序號(hào)是_ (注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)三.解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(17) (本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，求f ( x )的單調(diào)區(qū)間，并證明f ( x )在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(18) (本小題滿分12分)已知z7=1(zc且z1).()證明 1 + z + z2 +

6、 z3 + z4 + z5 + z6 = 0；()設(shè)z的輻角為，求cos+cos2+cos4的值.(19) (本小題滿分12分)已知vc是abc所在平面的一條斜線，點(diǎn)n是v在平面abc上的射影，且在abc的高cd上.ab = a，vc與ab之間的距離為h，點(diǎn)mvc.()證明mdc是二面角mabc的平面角；()當(dāng)mdc = cvn時(shí)，證明vc平面amb；()若mdc =cvn =()，求四面體mabc的體積.精品.(20)(本小題滿分12分)在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，an，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，bn，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記an

7、 = a1 a2 a3an，bn = b1 + b2 + b3 + + bn.()求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)；()當(dāng)n7時(shí)，比較an和bn的大小，并證明你的結(jié)論.(21)(本小題滿分12分)某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0 x 0).過(guò)動(dòng)點(diǎn)m(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)a、b，| ab | 2p.()求a的取值范圍；()若線段ab的垂直平分線交x軸于點(diǎn)n，求nab面積的最大值.2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（

8、北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.二對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.精品.三解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.（

9、1）a （2）c （3）d （4）c （5）a （6）b（7）d （8）b （9）c （10）b （11）c （12）c二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.(13) (14) (15) (16) 三解答題（17）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)推理判斷能力.滿分12分.解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，b）（b，+）.f ( x )在（，b）內(nèi)是減函數(shù)，f ( x )在（b，+）內(nèi)也是減函數(shù). 4分證明f ( x )在（b，+）內(nèi)是減函數(shù).取x1，x2（b，+），且x1 0，x2x10，（x1+b）(x2+b) 0， f (x1)f (x2) 0，即f (x

10、)在（b，+）內(nèi)是減函數(shù). 9分同理可證f (x)在（，b）內(nèi)是減函數(shù). 12分（18）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，考查綜合運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，滿分12分.解：（）由 z（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6+ z7精品.=1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6，得 （z1）（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= 0. 4分因?yàn)?z1，z10，所以 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6= 0. 6分（）因?yàn)閦7= 1.

11、可知 | z | = 1，所以 ，而z7= 1，所以zz6 = 1，同理，由（）知 z + z2 + z4 + z3 + z5 + z6= 1，即 ，所以的實(shí)部為， 8分而z的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以. 12分（19）本小題主要考查線面關(guān)系的基本概念，考查運(yùn)用直線與直線、直線與平面的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明的能力.滿分12分.（）證明：由已知，cdab，vn平面abc，ncd，平面abc，vnab.ab平面vnc. 2分又 v、m、n、d都在vnc所在的平面內(nèi)，所以，dm與vn必相交，且abdm，abcd，mdc為二面角mabc的平面角. 4分精品.（）證明：由已知，mdc = cvn，在v

12、nc與dmc中，ncv = mcd，又vnc = 90， dmc =vnc = 90， 故有dmvc，又abvc， 6分 vc平面amb. 8分（）解：由（）、（），mdab，mdvc，且dab，mvc， md = h.又 mdc =.在rtmdc中，cm = htg. 10分v四面體mabc = v三棱錐cabm. 12分（20）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法.滿分12分.解：（） 1，a1，a2，a3，an，2成等比數(shù)列， a1an = a2 an1 = a3 an2 = = ak ank+1 = = 12 = 2 ， ， . 4分 1，b1，b2，b3，bn，2成等差數(shù)列， b1 + b2 = 1 + 2 = 3， .精品.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)，數(shù)列bn的通項(xiàng). 6分（） ， ，要比較an和bn的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)n 7時(shí)，2n與的大小.當(dāng)n = 7時(shí)，2n = 128，得